Уравнение, приводящее к однородному

Уравнение, приводящее к однородному — дифференциальное уравнение первого порядка, которое заменой переменных, выраженное в явной форме, может быть преобразовано к однородному уравнению. Примером служит уравнение

<math>\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{ax + by + c}{\alpha x + \beta y + \gamma}\right) \quad \triangle = \begin{vmatrix} a & b \\ \alpha & \beta \end{vmatrix}\ne 0</math>,

которое заменой

<math>x = u + \psi, \quad y = v + \nu, \quad a\psi + b\nu + c = 0, \quad \alpha \psi + \beta \nu + \gamma = 0</math>,

приводится к однородному уравнению

<math>\frac{dv}{du} = f\left(\frac{au + bv}{\alpha u + \beta v}\right)</math>.

Интегрируя это уравнение и производя обратную замену переменных, получаем все решения исходного уравнения. При <math>\triangle = 0</math> исходное уравнение заменой <math>u = ax + by</math> непосредственно сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

См. также

• Обобщённое дифференциальное уравнение

Отрывок, характеризующий Уравнение, приводящее к однородному

И опять в бессильной борьбе с действительностью мать, отказываясь верить в то, что она могла жить, когда был убит цветущий жизнью ее любимый мальчик, спасалась от действительности в мире безумия.
Наташа не помнила, как прошел этот день, ночь, следующий день, следующая ночь. Она не спала и не отходила от матери. Любовь Наташи, упорная, терпеливая, не как объяснение, не как утешение, а как призыв к жизни, всякую секунду как будто со всех сторон обнимала графиню. На третью ночь графиня затихла на несколько минут, и Наташа закрыла глаза, облокотив голову на ручку кресла. Кровать скрипнула. Наташа открыла глаза. Графиня сидела на кровати и тихо говорила.
– Как я рада, что ты приехал. Ты устал, хочешь чаю? – Наташа подошла к ней. – Ты похорошел и возмужал, – продолжала графиня, взяв дочь за руку.
– Маменька, что вы говорите!..
– Наташа, его нет, нет больше! – И, обняв дочь, в первый раз графиня начала плакать.