Уравнение ренормгруппы

Уравнение ренормгруппы (уравнение Каллана — Симанчика) — дифференциальное уравнение для корреляционных функций (пропагаторов), показывающее их независимость от масштаба рассмотрения. Оно имеет место, например, при рассмотрении динамики системы вблизи критической точки.

Вид уравнения

Уравнение имеет вид:

<math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} + \gamma_W(g))W=0</math>

<math>\mathcal{D}_{P\Gamma}=\mu {\partial \over \partial\mu} + \beta(g){\partial \over \partial g} - \sum_i \gamma_i(g)e_i {\partial \over \partial e_i}</math>

где

• <math>W</math> — корреляционная функция,
• <math>g</math> — заряд (константа связи),
• <math>\mu</math> — вспомогательный размерный параметр, называемый ренормировочной массой,
• <math>e_i</math> — прочие параметры, характеризующие отклонение от критической точки,
• <math>\mathcal{D}_{P\Gamma}</math> для всех одинаков,
• коэффициент при <math>{\partial \over \partial g}</math> — <math>\beta</math>-функция, <math>\beta(g)=\mu {\partial g \over \partial\mu}</math>,
• <math>\gamma_i</math> — аномальные размерности,
• <math>\gamma_W</math> — аномальная размерность функции <math>W</math>.

В общем случае уравнение может быть расширено на любые ренорминвариантные величины — те величины, которые зависят только от затравочных параметров <math>e_i</math>. Такими величинами, например, являются функции Грина и различные функционалы над ней (производящий функционал связных функций Грина <math>W</math>, производящий функционал 1-неприводимых функций Грина <math>\Gamma</math>).

Соотношения, связывающие ренормированные и неренормированные производящие функционалы:

• полных функций Грина <math>G_R(A)=G(Z^{-1}_\varphi A)</math>, где <math>G(A)=\langle \exp(A\varphi) \rangle_\varphi</math>;
• связных функций Грина <math>W_R(A)=W(Z^{-1}_\varphi A)</math>, где <math>W=\ln(G(A))</math>.
• 1-неприводимых функций Грина <math>\Gamma_R(\alpha)=\Gamma(Z_\varphi \alpha)</math>, где <math>\Gamma(\alpha)=W(A(\alpha))-A\cdot \alpha, \alpha={\delta W \over \delta A}</math>.

Тогда уравнение запишется в виде:

• Для ренормированной связной функции <math>W_R(A)</math>:

  <math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} + \gamma_\varphi \mathcal{D}_{A})W_R(A; e,\mu)=0 </math>, где <math> \mathcal{D}_{A}=\int dx A(x){\delta \over \delta A(x)}</math>,</center>

• Для ренормированной 1-неприводимой функции <math>\Gamma_R(\alpha)</math>:

  <math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} - \gamma_\varphi \mathcal{D}_{A})\Gamma_R(\alpha; e, \mu)=0 </math>, где <math> \mathcal{D}_{A}=\int dx \alpha(x){\delta \over \delta \alpha(x)}</math></center>

В обоих уравнениях <math>\gamma_\varphi=\mathcal{D}_{P\Gamma} \ln (Z_\varphi)</math>. Коэффициенты при производных в операторе <math>\mathcal{D}_{P\Gamma}</math> и величину <math>\gamma_\varphi</math> называют РГ-функциями.

Физический смысл

При рассмотрении систем многих частиц, например, в квантовой теории поля или в теории критического поведения и стохастической динамике, часто оказывается, что функциональный интеграл, описывающий усреднение некоторой величины по различным конфигурациям системы, расходится. Тем не менее, оказывается возможным получить различную информацию о системе при помощи различных методов регуляризации и ренормировки. Одним из широко распространенных методов является мультипликативная ренормировка. Суть этого метода в том, что функции Грина являются обобщенно-однородными функциями параметров модели. Уже из этого свойства функций Грина можно многое сказать об их поведении вблизи критических точек, например, о критических показателях, если речь идет о критическом поведении систем многих частиц, или о том, как изменяется константа связи модели при изменении энергии взаимодействия частиц, если речь идет о квантовой электродинамике. При этом, уравнение ренормгруппы позволяет перейти от прямого анализа функций Грина модели, непосредственно, к анализу параметров и наблюдаемых величин.

Вывод уравнения

Вывод уравнения ренормгруппы основан на свойстве обобщенной однородности и гипотезе подобия.

Обозначим через <math>\phi_0</math> и <math>\phi</math> затравочное и перенормированное поля соответственно. Тогда парный коррелятор неперенормированных полей задается как <math>W_0=\langle \phi_0(x_1)\phi_0(x_2) \rangle</math>, а перенормированных: <math>W=\langle \phi(x_1)\phi(x_2) \rangle</math>. Согласно определению обобщенно-однородной (лямбда-однородной) функции <math>Z^{n/2}W(x_1,x_2,\mu,g(\mu),\{e_i(\mu)\})=W_0(x_1,x_2), \{e_i(\mu)\} - </math> набор наблюдаемых параметров системы. Теперь изменим немного параметры системы, но оставим неизменными импульс обрезания и затравочные константы. Очевидно, что при этом неперенормированные функции Грина не изменятся, так как они зависят только от импульса обрезания и затравочных констант. Поэтому полная производная по параметру \mu от обеих частей равна 0. Координаты частиц явно не зависят от масштаба <math>\mu</math>. Следовательно, имеем:

<math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} + \gamma_W(g))W=0, \mathcal{D}_{P\Gamma}=\mu {\partial \over \partial\mu} + \beta(g){\partial \over \partial g} - \sum_i \gamma_i(g)e_i {\partial \over \partial e_i}</math></center>

Примечание

В некоторых источниках под уравнением ренормгруппы понимается не вышеописанное уравнение, а одно из его следствий:

<math>{\partial g \over \partial \ln(\mu)} = \psi(g) = \beta(g)</math>.

И та, и другая форма уравнения ренормгруппы имеет как свои плюсы, так и минусы. К плюсам этой формы записи относится явный вид зависимости константы связи от масштаба энергии, к минусам — не очевидно, как выглядят аномальные размерности модели. Тем не менее, этот вид уравнения сыграл значительную роль в становлении квантовой электродинамики и теоретическом обосновании сильного взаимодействия.

См. также

• Ренормгруппа

Литература

• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998.

Отрывок, характеризующий Уравнение ренормгруппы

Объезжая Сухареву башню, Наташа, любопытно и быстро осматривавшая народ, едущий и идущий, вдруг радостно и удивленно вскрикнула:
– Батюшки! Мама, Соня, посмотрите, это он!
– Кто? Кто?
– Смотрите, ей богу, Безухов! – говорила Наташа, высовываясь в окно кареты и глядя на высокого толстого человека в кучерском кафтане, очевидно, наряженного барина по походке и осанке, который рядом с желтым безбородым старичком в фризовой шинели подошел под арку Сухаревой башни.
– Ей богу, Безухов, в кафтане, с каким то старым мальчиком! Ей богу, – говорила Наташа, – смотрите, смотрите!
– Да нет, это не он. Можно ли, такие глупости.
– Мама, – кричала Наташа, – я вам голову дам на отсечение, что это он! Я вас уверяю. Постой, постой! – кричала она кучеру; но кучер не мог остановиться, потому что из Мещанской выехали еще подводы и экипажи, и на Ростовых кричали, чтоб они трогались и не задерживали других.
Действительно, хотя уже гораздо дальше, чем прежде, все Ростовы увидали Пьера или человека, необыкновенно похожего на Пьера, в кучерском кафтане, шедшего по улице с нагнутой головой и серьезным лицом, подле маленького безбородого старичка, имевшего вид лакея. Старичок этот заметил высунувшееся на него лицо из кареты и, почтительно дотронувшись до локтя Пьера, что то сказал ему, указывая на карету. Пьер долго не мог понять того, что он говорил; так он, видимо, погружен был в свои мысли. Наконец, когда он понял его, посмотрел по указанию и, узнав Наташу, в ту же секунду отдаваясь первому впечатлению, быстро направился к карете. Но, пройдя шагов десять, он, видимо, вспомнив что то, остановился.
Высунувшееся из кареты лицо Наташи сияло насмешливою ласкою.
– Петр Кирилыч, идите же! Ведь мы узнали! Это удивительно! – кричала она, протягивая ему руку. – Как это вы? Зачем вы так?
Пьер взял протянутую руку и на ходу (так как карета. продолжала двигаться) неловко поцеловал ее.
– Что с вами, граф? – спросила удивленным и соболезнующим голосом графиня.
– Что? Что? Зачем? Не спрашивайте у меня, – сказал Пьер и оглянулся на Наташу, сияющий, радостный взгляд которой (он чувствовал это, не глядя на нее) обдавал его своей прелестью.
– Что же вы, или в Москве остаетесь? – Пьер помолчал.
– В Москве? – сказал он вопросительно. – Да, в Москве. Прощайте.
– Ах, желала бы я быть мужчиной, я бы непременно осталась с вами. Ах, как это хорошо! – сказала Наташа. – Мама, позвольте, я останусь. – Пьер рассеянно посмотрел на Наташу и что то хотел сказать, но графиня перебила его:
– Вы были на сражении, мы слышали?
– Да, я был, – отвечал Пьер. – Завтра будет опять сражение… – начал было он, но Наташа перебила его:
– Да что же с вами, граф? Вы на себя не похожи…
– Ах, не спрашивайте, не спрашивайте меня, я ничего сам не знаю. Завтра… Да нет! Прощайте, прощайте, – проговорил он, – ужасное время! – И, отстав от кареты, он отошел на тротуар.
Наташа долго еще высовывалась из окна, сияя на него ласковой и немного насмешливой, радостной улыбкой.


Пьер, со времени исчезновения своего из дома, ужа второй день жил на пустой квартире покойного Баздеева. Вот как это случилось.
Проснувшись на другой день после своего возвращения в Москву и свидания с графом Растопчиным, Пьер долго не мог понять того, где он находился и чего от него хотели. Когда ему, между именами прочих лиц, дожидавшихся его в приемной, доложили, что его дожидается еще француз, привезший письмо от графини Елены Васильевны, на него нашло вдруг то чувство спутанности и безнадежности, которому он способен был поддаваться. Ему вдруг представилось, что все теперь кончено, все смешалось, все разрушилось, что нет ни правого, ни виноватого, что впереди ничего не будет и что выхода из этого положения нет никакого. Он, неестественно улыбаясь и что то бормоча, то садился на диван в беспомощной позе, то вставал, подходил к двери и заглядывал в щелку в приемную, то, махая руками, возвращался назад я брался за книгу. Дворецкий в другой раз пришел доложить Пьеру, что француз, привезший от графини письмо, очень желает видеть его хоть на минутку и что приходили от вдовы И. А. Баздеева просить принять книги, так как сама г жа Баздеева уехала в деревню.
– Ах, да, сейчас, подожди… Или нет… да нет, поди скажи, что сейчас приду, – сказал Пьер дворецкому.
Но как только вышел дворецкий, Пьер взял шляпу, лежавшую на столе, и вышел в заднюю дверь из кабинета. В коридоре никого не было. Пьер прошел во всю длину коридора до лестницы и, морщась и растирая лоб обеими руками, спустился до первой площадки. Швейцар стоял у парадной двери. С площадки, на которую спустился Пьер, другая лестница вела к заднему ходу. Пьер пошел по ней и вышел во двор. Никто не видал его. Но на улице, как только он вышел в ворота, кучера, стоявшие с экипажами, и дворник увидали барина и сняли перед ним шапки. Почувствовав на себя устремленные взгляды, Пьер поступил как страус, который прячет голову в куст, с тем чтобы его не видали; он опустил голову и, прибавив шагу, пошел по улице.
Из всех дел, предстоявших Пьеру в это утро, дело разборки книг и бумаг Иосифа Алексеевича показалось ему самым нужным.
Он взял первого попавшегося ему извозчика и велел ему ехать на Патриаршие пруды, где был дом вдовы Баздеева.