Уравнение (неравенство) с параметрами

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

<math>

a\,x+1=4, </math>

Пример нелинейного уравнения с параметром:

<math>

\mbox{log}_{x^2}\frac{a+3}{7-x}=5, </math> где <math> x </math> — независимая переменная <math> a </math> — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком <math>a</math> квадратное уравнение <math>{x^2}+3\,x-a=0</math> имеет ровно один корень?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: <math>D=9+4\,a</math>. Далее имеем: <math>9+4\,a=0</math>, откуда <math>a=-\tfrac{9} {4}</math>.

Ответ:<math>a=-\frac{9}{4}</math>.

Пример 2. При каком <math>a</math> система уравнений :

<math> \begin{cases}

x^2+y^2-2ax-2y-8+a^2=0,\\ 
x^2+y^2-4x-2y+1=0 

\end{cases} </math>.

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты: <math> \begin{cases}

x^2+y^2-2ax-2y-8+a^2=0,\\ 
x^2+y^2-4x-2y+1=0 

\end{cases} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \begin{cases}

(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2y+1)=9, \\
(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=4

\end{cases} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \begin{cases}

(x-a)^2+(y-1)^2=9, \\
(x-2)^2+(y-1)^2=4

\end{cases} </math>

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть ни что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке <math>(a;1)</math>, радиус <math>3</math>, а вторая центр в точке <math>(2;1)</math> и радиус <math>2</math>. Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если <math>a\in (-3;7)</math>. И задачу можно считать решённой.

Ответ:<math>a\in (-3;7)</math>.

Пример 3. При всех <math>a</math> решить неравенство <math>ax^2+(a+1)x+1 \geqslant 0</math>.

Решение. Рассмотрим три случая:

1. Если <math>a=0</math>, то неравенство приобретает вид <math>x+1\geqslant 0 \Leftrightarrow x \in (-1;+ \infty )</math>;
2. Если <math>a \geqslant 0</math>, то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде <math>x \in (- \infty ;x_1] \cup [x_2 ;+ \infty)</math>, где <math>x_1</math>,<math> x_2</math> - корни многочлена и <math>x_1 \leqslant x_2</math>. Далее находим: <math>x_1 =\cfrac{-a-1- \sqrt{a^2 +2a+1-4a}} {2a} \Leftrightarrow x_1 = \cfrac{-a-1-| a-1 |} {2a} = \begin{cases} -1, a \geqslant 1,\\ -\tfrac{1} {a}, 0 \leqslant a \leqslant 1 \end{cases} </math>

<math>x_2 = \begin{cases} -\tfrac{1} {a}, a \geqslant 1 , \\ -1, 0 \leqslant a \leqslant 1 \end{cases} </math>

Следовательно, <math>x \in (-\infty ; -1] \cup [-\tfrac{1} {a} ; +\infty)</math>, если <math>a \geqslant 1</math> и <math>x\in (-\infty ;-\tfrac{1} {a}] \cup [-1; +\infty)</math>, если <math>0 \leqslant a \leqslant 1 </math>.

3. Если <math>a \leqslant 0</math>, то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: <math>x \in [x_1 ; x_2 ] \Leftrightarrow x \in [-1 ; -\tfrac{1} {a} ] </math>.

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если <math>a=0</math>, то <math> x \in (-1;+ \infty )</math>; если <math>a \geqslant 1</math>, то <math>x \in (-\infty ; -1] \cup [-\tfrac{1} {a} ; +\infty)</math>; если <math>0 \leqslant a \leqslant 1 </math>, то <math>x\in (-\infty ;-\tfrac{1} {a}] \cup [-1; +\infty)</math>; если <math>a \leqslant 0</math>, то <math>x \in [-1 ; -\tfrac{1} {a} ] </math>.

См. также

• Диофантово уравнение

Отрывок, характеризующий Уравнение (неравенство) с параметрами

– Плохо дело, а?
– Что плохо, батюшка?
– Жена! – коротко и значительно сказал старый князь.
– Я не понимаю, – сказал князь Андрей.
– Да нечего делать, дружок, – сказал князь, – они все такие, не разженишься. Ты не бойся; никому не скажу; а ты сам знаешь.
Он схватил его за руку своею костлявою маленькою кистью, потряс ее, взглянул прямо в лицо сына своими быстрыми глазами, которые, как казалось, насквозь видели человека, и опять засмеялся своим холодным смехом.
Сын вздохнул, признаваясь этим вздохом в том, что отец понял его. Старик, продолжая складывать и печатать письма, с своею привычною быстротой, схватывал и бросал сургуч, печать и бумагу.
– Что делать? Красива! Я всё сделаю. Ты будь покоен, – говорил он отрывисто во время печатания.
Андрей молчал: ему и приятно и неприятно было, что отец понял его. Старик встал и подал письмо сыну.
– Слушай, – сказал он, – о жене не заботься: что возможно сделать, то будет сделано. Теперь слушай: письмо Михайлу Иларионовичу отдай. Я пишу, чтоб он тебя в хорошие места употреблял и долго адъютантом не держал: скверная должность! Скажи ты ему, что я его помню и люблю. Да напиши, как он тебя примет. Коли хорош будет, служи. Николая Андреича Болконского сын из милости служить ни у кого не будет. Ну, теперь поди сюда.
Он говорил такою скороговоркой, что не доканчивал половины слов, но сын привык понимать его. Он подвел сына к бюро, откинул крышку, выдвинул ящик и вынул исписанную его крупным, длинным и сжатым почерком тетрадь.
– Должно быть, мне прежде тебя умереть. Знай, тут мои записки, их государю передать после моей смерти. Теперь здесь – вот ломбардный билет и письмо: это премия тому, кто напишет историю суворовских войн. Переслать в академию. Здесь мои ремарки, после меня читай для себя, найдешь пользу.
Андрей не сказал отцу, что, верно, он проживет еще долго. Он понимал, что этого говорить не нужно.
– Всё исполню, батюшка, – сказал он.
– Ну, теперь прощай! – Он дал поцеловать сыну свою руку и обнял его. – Помни одно, князь Андрей: коли тебя убьют, мне старику больно будет… – Он неожиданно замолчал и вдруг крикливым голосом продолжал: – а коли узнаю, что ты повел себя не как сын Николая Болконского, мне будет… стыдно! – взвизгнул он.
– Этого вы могли бы не говорить мне, батюшка, – улыбаясь, сказал сын.
Старик замолчал.
– Еще я хотел просить вас, – продолжал князь Андрей, – ежели меня убьют и ежели у меня будет сын, не отпускайте его от себя, как я вам вчера говорил, чтоб он вырос у вас… пожалуйста.
– Жене не отдавать? – сказал старик и засмеялся.
Они молча стояли друг против друга. Быстрые глаза старика прямо были устремлены в глаза сына. Что то дрогнуло в нижней части лица старого князя.
– Простились… ступай! – вдруг сказал он. – Ступай! – закричал он сердитым и громким голосом, отворяя дверь кабинета.
– Что такое, что? – спрашивали княгиня и княжна, увидев князя Андрея и на минуту высунувшуюся фигуру кричавшего сердитым голосом старика в белом халате, без парика и в стариковских очках.
Князь Андрей вздохнул и ничего не ответил.
– Ну, – сказал он, обратившись к жене.