Уравнение четвёртой степени

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

<math>f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.</math>

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как <math>f(x)</math> является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если <math>a>0</math>, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если <math>a<0</math>, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени <math>x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4</math> связаны с коэффициентами <math>a,\,b,\,c,\,d,\,e</math> следующим образом:

<math>x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a},</math>

<math>x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_3\,x_4 = \frac{c}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4 + x_1\,x_3\,x_4 + x_2\,x_3\,x_4 = -\frac{d}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3\,x_4 = \frac{e}{a}.</math>

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540-м, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Решения

Через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

<math> x^4 + px^2 + qx + r = 0</math>

сводится к решению кубической резольвенты

<math>y^3 - 2py^2 + (p^2 - 4r)y + q^2 = 0</math>

Корни резольвенты <math>y_1, y_2, y_3</math> связаны с корнями исходного уравнения <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math> (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

<math>y_1 = (x_1 + x_2)(x_3 + x_4)</math>

<math>y_2 = (x_1 + x_3)(x_2 + x_4)</math>

<math>y_3 = (x_1 + x_4)(x_2 + x_3)</math>

Корни резольвенты могут быть решены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между <math> y_i</math> и <math>x_i</math> вместе с исходным уравнением дают систему из 4-х алгебраических уравнений с 4-мя неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

<math> ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0</math>

сделаем подстановку <math>x = y - \frac{b}{4a}</math>, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

<math> y^4 + py^2 + qy + r = 0,</math>

где

<math> p = \frac{8ac - 3b^2}{8a^2},</math>

<math> q = \frac{8a^2d + b^3 - 4abc}{8a^3},</math>

<math> r = \frac{16ab^2c - 64a^2bd - 3b^4 + 256a^3e}{256a^4}.</math>

Корни <math>y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4</math> такого уравнения равны одному из следующих выражений:

<math>\pm \sqrt{z_1}</math> <math>\pm \sqrt{z_2}</math> <math>\pm \sqrt{z_3},</math>

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

<math>(\pm \sqrt{z_1})(\pm \sqrt{z_2})(\pm \sqrt{z_3}) = -\frac{q}{8},</math>

причём <math>z_1,\,z_2,\,z_3</math> — это корни кубического уравнения

<math>z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0.</math>

Решение Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида <math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math> может быть найдено по методу Феррари. Если <math>y_1</math> — произвольный корень кубического уравнения

2

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

<math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}</math>

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — уравнение четвёртой степени вида <math>ax^4+bx^2+c=0</math>, где <math>a, b, c</math> — заданные комплексные числа и <math>a\not=0</math>. Подстановкой <math>y=x^2; y\geqslant 0</math> оно сводится к квадратному уравнению относительно <math>y</math>.

Четыре его корня находятся по формуле

<math>x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}.</math>

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0</math> такого, что <math>a \neq 0</math>, решение находится приведением к виду:

<math>a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0 </math>,

После замены <math>t = {x + {1 \over x}}</math> ищется решение квадратного уравнения <math>at^2 + bt + c - 2a = 0</math>, а затем — квадратного уравнения <math>x^2 - tx + 1 = 0</math>.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
• Лекция 4 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. [biblio.mccme.ru/node/2392 Математический дивертисмент]. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

• [members.tripod.com/l_ferrari/quartic_equation.htm Решение Феррари] (англ.). Проверено 27 сентября 2009. [www.webcitation.org/65Ypp0tDU Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012].
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html Quadratic Equation] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/BiquadraticEquation.html Biquadratic Equation] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [planetmath.org/encyclopedia/BiquadraticEquation2.html Biquadratic equation] (англ.) на сайте PlanetMath.

Отрывок, характеризующий Уравнение четвёртой степени

Полковой командир подъехал к своей избе. Полк прошел деревню и у крайних изб на дороге поставил ружья в козлы.
Как огромное, многочленное животное, полк принялся за работу устройства своего логовища и пищи. Одна часть солдат разбрелась, по колено в снегу, в березовый лес, бывший вправо от деревни, и тотчас же послышались в лесу стук топоров, тесаков, треск ломающихся сучьев и веселые голоса; другая часть возилась около центра полковых повозок и лошадей, поставленных в кучку, доставая котлы, сухари и задавая корм лошадям; третья часть рассыпалась в деревне, устраивая помещения штабным, выбирая мертвые тела французов, лежавшие по избам, и растаскивая доски, сухие дрова и солому с крыш для костров и плетни для защиты.
Человек пятнадцать солдат за избами, с края деревни, с веселым криком раскачивали высокий плетень сарая, с которого снята уже была крыша.
– Ну, ну, разом, налегни! – кричали голоса, и в темноте ночи раскачивалось с морозным треском огромное, запорошенное снегом полотно плетня. Чаще и чаще трещали нижние колья, и, наконец, плетень завалился вместе с солдатами, напиравшими на него. Послышался громкий грубо радостный крик и хохот.
– Берись по двое! рочаг подавай сюда! вот так то. Куда лезешь то?
– Ну, разом… Да стой, ребята!.. С накрика!
Все замолкли, и негромкий, бархатно приятный голос запел песню. В конце третьей строфы, враз с окончанием последнего звука, двадцать голосов дружно вскрикнули: «Уууу! Идет! Разом! Навались, детки!..» Но, несмотря на дружные усилия, плетень мало тронулся, и в установившемся молчании слышалось тяжелое пыхтенье.
– Эй вы, шестой роты! Черти, дьяволы! Подсоби… тоже мы пригодимся.
Шестой роты человек двадцать, шедшие в деревню, присоединились к тащившим; и плетень, саженей в пять длины и в сажень ширины, изогнувшись, надавя и режа плечи пыхтевших солдат, двинулся вперед по улице деревни.
– Иди, что ли… Падай, эка… Чего стал? То то… Веселые, безобразные ругательства не замолкали.
– Вы чего? – вдруг послышался начальственный голос солдата, набежавшего на несущих.
– Господа тут; в избе сам анарал, а вы, черти, дьяволы, матершинники. Я вас! – крикнул фельдфебель и с размаху ударил в спину первого подвернувшегося солдата. – Разве тихо нельзя?
Солдаты замолкли. Солдат, которого ударил фельдфебель, стал, покряхтывая, обтирать лицо, которое он в кровь разодрал, наткнувшись на плетень.
– Вишь, черт, дерется как! Аж всю морду раскровянил, – сказал он робким шепотом, когда отошел фельдфебель.
– Али не любишь? – сказал смеющийся голос; и, умеряя звуки голосов, солдаты пошли дальше. Выбравшись за деревню, они опять заговорили так же громко, пересыпая разговор теми же бесцельными ругательствами.
В избе, мимо которой проходили солдаты, собралось высшее начальство, и за чаем шел оживленный разговор о прошедшем дне и предполагаемых маневрах будущего. Предполагалось сделать фланговый марш влево, отрезать вице короля и захватить его.
Когда солдаты притащили плетень, уже с разных сторон разгорались костры кухонь. Трещали дрова, таял снег, и черные тени солдат туда и сюда сновали по всему занятому, притоптанному в снегу, пространству.
Топоры, тесаки работали со всех сторон. Все делалось без всякого приказания. Тащились дрова про запас ночи, пригораживались шалашики начальству, варились котелки, справлялись ружья и амуниция.
Притащенный плетень осьмою ротой поставлен полукругом со стороны севера, подперт сошками, и перед ним разложен костер. Пробили зарю, сделали расчет, поужинали и разместились на ночь у костров – кто чиня обувь, кто куря трубку, кто, донага раздетый, выпаривая вшей.


Казалось бы, что в тех, почти невообразимо тяжелых условиях существования, в которых находились в то время русские солдаты, – без теплых сапог, без полушубков, без крыши над головой, в снегу при 18° мороза, без полного даже количества провианта, не всегда поспевавшего за армией, – казалось, солдаты должны бы были представлять самое печальное и унылое зрелище.
Напротив, никогда, в самых лучших материальных условиях, войско не представляло более веселого, оживленного зрелища. Это происходило оттого, что каждый день выбрасывалось из войска все то, что начинало унывать или слабеть. Все, что было физически и нравственно слабого, давно уже осталось назади: оставался один цвет войска – по силе духа и тела.
К осьмой роте, пригородившей плетень, собралось больше всего народа. Два фельдфебеля присели к ним, и костер их пылал ярче других. Они требовали за право сиденья под плетнем приношения дров.
– Эй, Макеев, что ж ты …. запропал или тебя волки съели? Неси дров то, – кричал один краснорожий рыжий солдат, щурившийся и мигавший от дыма, но не отодвигавшийся от огня. – Поди хоть ты, ворона, неси дров, – обратился этот солдат к другому. Рыжий был не унтер офицер и не ефрейтор, но был здоровый солдат, и потому повелевал теми, которые были слабее его. Худенький, маленький, с вострым носиком солдат, которого назвали вороной, покорно встал и пошел было исполнять приказание, но в это время в свет костра вступила уже тонкая красивая фигура молодого солдата, несшего беремя дров.
– Давай сюда. Во важно то!
Дрова наломали, надавили, поддули ртами и полами шинелей, и пламя зашипело и затрещало. Солдаты, придвинувшись, закурили трубки. Молодой, красивый солдат, который притащил дрова, подперся руками в бока и стал быстро и ловко топотать озябшими ногами на месте.
– Ах, маменька, холодная роса, да хороша, да в мушкатера… – припевал он, как будто икая на каждом слоге песни.
– Эй, подметки отлетят! – крикнул рыжий, заметив, что у плясуна болталась подметка. – Экой яд плясать!