Уравнение xʸ=yˣ

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство <math>x^y=y^x</math> выполняется для некоторых пар <math>(x,y),</math> например, <math>x=2, y=4.</math>[1]





История

Уравнение <math>x^y=y^x</math> упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728[2]). В письме говорится, что при <math>x\ne y</math> пара <math>(2,4)</math> — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах[3][4]. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729[2]) содержится общее решение уравнения, полученное заменой <math>y=vx.</math>[3] Аналогичное решение дано Эйлером[4]. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если <math>r, n</math> — положительные целые, <math>r\geqslant 3</math> или <math>n\geqslant 3,</math> то <math>r^{r+n} > (r+n)^{r},</math> таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи <math>x = 1</math> и <math>x = 2.</math>[4][5]

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе[3][4][2][6][7]. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема[en][8], что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля[3][9].

Решения в положительных действительных числах

Основной источник: [1]

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения <math>x=y.</math> Нетривиальные решения можно найти, положив <math>x\ne y,</math> <math>y = vx.</math> Тогда

<math>(vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x.</math>

Возведение обеих сторон в степень <math>\tfrac{1}{x}</math> с последующим делением на <math>x</math> даёт

<math>v = x^{v-1}.</math>

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

<math>x = v^{\frac{1}{v-1}},</math>
<math>y = v^{\frac{v}{v-1}}.</math>

Нетривиальное решение в натуральных числах <math>4^2=2^4</math> можно получить, положив <math>v=2</math> или <math>v=\tfrac{1}{2}.</math>

Напишите отзыв о статье "Уравнение xʸ=yˣ"

Примечания

  1. 1 2 Lajos Lóczi. [www.komal.hu/cikkek/loczy/powers/commpower.e.shtml On commutative and associative powers]. KöMaL. [web.archive.org/web/20021015103129/www.komal.hu/cikkek/loczy/powers/commpower.e.shtml Архивировано из первоисточника 15 октября 2002].
  2. 1 2 3 David Singmaster. [web.archive.org/web/20040416081838/www.gotham-corp.com/sources.htm#_Toc69534169 Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition].
  3. 1 2 3 4 Marta Sved [www.maa.org/sites/default/files/Sved50816668.pdf On the Rational Solutions of xy = yx] // Mathematics Magazine. — 1990.
  4. 1 2 3 4 Leonard Eugene Dickson. [books.google.com/books?id=dO7C02z4LlcC&pg=PA687 Rational solutions of xy = yx] // History of the Theory of Numbers. — Washington, 1920. — Vol. II. — P. 687.
  5. Hengel, Johann van [digital.ub.uni-duesseldorf.de/ulbdsp/periodical/titleinfo/4315444 Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt]. — 1888.
  6. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. 5. Решение уравнений в целых числах. Задача 168 // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. — 5. — М.: Наука, 1976. — С. 35. — 384 с. — (Библиотека математического кружка). — 100 000 экз.
  7. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1986. — С. 33, 34, 160.
  8. The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, [books.google.com/books?id=7D0PAQAAMAAJ&q=%22prove+that+you+have+obtained+all+of+them%22 problem 1] // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly. — MAA, 1980. — P. 59. — ISBN 0-88385-428-7.
  9. A. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861.

Ссылки

  • [www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Algebra.RationalSolutionOfXYYX Rational Solutions to x^y = y^x]. CTK Wiki Math.
  • [www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/x%5Ey-x%5Ey x^y = y^x - commuting powers]. Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. [web.archive.org/web/20151228091303/www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/x%5Ey-x%5Ey Архивировано из первоисточника 28 декабря 2015].
  • dborkovitz. [www.geogebra.org/material/show/id/3940 Parametric Graph of x^y=y^x]. GeoGebra (29 января 2012).
  • Последовательность A073084 в OEIS: Десятичное разложение -x, где x — отрицательное решение уравнения 2^x = x^2


Отрывок, характеризующий Уравнение xʸ=yˣ

– Ну что ж, граф Петр Кирилыч, как ополченье то собирать будут, и вам придется на коня? – сказал старый граф, обращаясь к Пьеру.
Пьер был молчалив и задумчив во все время этого обеда. Он, как бы не понимая, посмотрел на графа при этом обращении.
– Да, да, на войну, – сказал он, – нет! Какой я воин! А впрочем, все так странно, так странно! Да я и сам не понимаю. Я не знаю, я так далек от военных вкусов, но в теперешние времена никто за себя отвечать не может.
После обеда граф уселся покойно в кресло и с серьезным лицом попросил Соню, славившуюся мастерством чтения, читать.
– «Первопрестольной столице нашей Москве.
Неприятель вошел с великими силами в пределы России. Он идет разорять любезное наше отечество», – старательно читала Соня своим тоненьким голоском. Граф, закрыв глаза, слушал, порывисто вздыхая в некоторых местах.
Наташа сидела вытянувшись, испытующе и прямо глядя то на отца, то на Пьера.
Пьер чувствовал на себе ее взгляд и старался не оглядываться. Графиня неодобрительно и сердито покачивала головой против каждого торжественного выражения манифеста. Она во всех этих словах видела только то, что опасности, угрожающие ее сыну, еще не скоро прекратятся. Шиншин, сложив рот в насмешливую улыбку, очевидно приготовился насмехаться над тем, что первое представится для насмешки: над чтением Сони, над тем, что скажет граф, даже над самым воззванием, ежели не представится лучше предлога.
Прочтя об опасностях, угрожающих России, о надеждах, возлагаемых государем на Москву, и в особенности на знаменитое дворянство, Соня с дрожанием голоса, происходившим преимущественно от внимания, с которым ее слушали, прочла последние слова: «Мы не умедлим сами стать посреди народа своего в сей столице и в других государства нашего местах для совещания и руководствования всеми нашими ополчениями, как ныне преграждающими пути врагу, так и вновь устроенными на поражение оного, везде, где только появится. Да обратится погибель, в которую он мнит низринуть нас, на главу его, и освобожденная от рабства Европа да возвеличит имя России!»
– Вот это так! – вскрикнул граф, открывая мокрые глаза и несколько раз прерываясь от сопенья, как будто к носу ему подносили склянку с крепкой уксусной солью. – Только скажи государь, мы всем пожертвуем и ничего не пожалеем.
Шиншин еще не успел сказать приготовленную им шутку на патриотизм графа, как Наташа вскочила с своего места и подбежала к отцу.
– Что за прелесть, этот папа! – проговорила она, целуя его, и она опять взглянула на Пьера с тем бессознательным кокетством, которое вернулось к ней вместе с ее оживлением.
– Вот так патриотка! – сказал Шиншин.
– Совсем не патриотка, а просто… – обиженно отвечала Наташа. – Вам все смешно, а это совсем не шутка…
– Какие шутки! – повторил граф. – Только скажи он слово, мы все пойдем… Мы не немцы какие нибудь…
– А заметили вы, – сказал Пьер, – что сказало: «для совещания».
– Ну уж там для чего бы ни было…
В это время Петя, на которого никто не обращал внимания, подошел к отцу и, весь красный, ломающимся, то грубым, то тонким голосом, сказал:
– Ну теперь, папенька, я решительно скажу – и маменька тоже, как хотите, – я решительно скажу, что вы пустите меня в военную службу, потому что я не могу… вот и всё…
Графиня с ужасом подняла глаза к небу, всплеснула руками и сердито обратилась к мужу.
– Вот и договорился! – сказала она.
Но граф в ту же минуту оправился от волнения.
– Ну, ну, – сказал он. – Вот воин еще! Глупости то оставь: учиться надо.
– Это не глупости, папенька. Оболенский Федя моложе меня и тоже идет, а главное, все равно я не могу ничему учиться теперь, когда… – Петя остановился, покраснел до поту и проговорил таки: – когда отечество в опасности.
– Полно, полно, глупости…
– Да ведь вы сами сказали, что всем пожертвуем.
– Петя, я тебе говорю, замолчи, – крикнул граф, оглядываясь на жену, которая, побледнев, смотрела остановившимися глазами на меньшого сына.
– А я вам говорю. Вот и Петр Кириллович скажет…
– Я тебе говорю – вздор, еще молоко не обсохло, а в военную службу хочет! Ну, ну, я тебе говорю, – и граф, взяв с собой бумаги, вероятно, чтобы еще раз прочесть в кабинете перед отдыхом, пошел из комнаты.
– Петр Кириллович, что ж, пойдем покурить…
Пьер находился в смущении и нерешительности. Непривычно блестящие и оживленные глаза Наташи беспрестанно, больше чем ласково обращавшиеся на него, привели его в это состояние.
– Нет, я, кажется, домой поеду…
– Как домой, да вы вечер у нас хотели… И то редко стали бывать. А эта моя… – сказал добродушно граф, указывая на Наташу, – только при вас и весела…