Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.

Вид уравнений

Если голономная механическая система описывается лагранжианом <math>L(q_i, \dot q_i, t)</math> (<math>q_i</math> — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0</math>

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = Q_i</math>

где <math>T(q_i, \dot q_i, t)</math> — кинетическая энергия системы, <math>Q_i</math> — обобщённая сила.

Вывод уравнений

Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определенных ограничениях на систему (в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи). Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа. Отметим, что это частный (хотя и очень важный) случай механических систем.

Если для рассматриваемой системы применим принцип наименьшего действия, то вывод можно провести иначе. В лагранжевой механике вывод уравнений Лагранжа происходит на основе принципа наименьшего действия. Механическая система может быть описана некой функцией <math>L(q_i, \dot q_i, t)</math>, называемой лагранжианом. Лагранжиан - это разность кинетической и потенциальной энергий системы. Принцип наименьшего действия гласит, что функционал

<math>S = \int_{t_1}^{t_2}L(q_i, \dot q_i, t)dt</math>

называемый действием принимает минимальное значение на траектории системы (здесь t₁ и t₂ — начальный и конечный моменты времени). Заметим, что необходимо доказать применимость принципа наименьшего действия к рассматриваемой системе: далеко не все физические системы ему подчиняются. Применяя к функционалу действию стандартную схему оптимизации, получаем для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы.

Вывод уравнений для системы с одной обобщенной координатой и скоростью.

Будем считать, что вариация на границах равно нулю:

<math> \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 </math>.

Изменение действия при переходе из состояния <math>t_1</math> в <math>t_2</math> есть

<math> \delta S = \int_{t_1}^{t_2}L(q + \delta q, \dot q + \delta\dot q, t )dt - \int_{t_1}^{t_2}L(q, \dot q, t) dt </math>.

Разлагая эту разность по степеням, получим:

<math> \delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2}L(q, \dot q, t)dt </math>.

Варьируя это выражение, получаем:

<math> \int_{t_1}^{t_2} \left ( \frac {\partial L}{\partial q}\delta q + \frac {\partial L}{\partial \dot q}\delta \dot q \right ) dt = 0 </math>.

Замечая, что <math> \delta\dot q = \frac{d}{dt} \delta q</math>, проинтегрируем второй член по частям:

<math> \delta S =\frac {\partial L}{\partial \dot q}\delta q \Bigl. \Bigr|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \left ( \frac {\partial L}{\partial q} - \frac {d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot q} \right )\delta q dt = 0 </math>.

Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю, только если подынтегральное выражение равно нулю. Таким образом, получаем искомое уравнение Лагранжа:

<math> \frac {d}{dt} \frac {\partial L}{\partial \dot q} - \frac {\partial L}{\partial q} = 0 </math>.

См. также

• Уравнения Лагранжа первого рода

Отрывок, характеризующий Уравнения Лагранжа второго рода

Морель, маленький коренастый француз, с воспаленными, слезившимися глазами, обвязанный по бабьи платком сверх фуражки, был одет в женскую шубенку. Он, видимо, захмелев, обнявши рукой солдата, сидевшего подле него, пел хриплым, перерывающимся голосом французскую песню. Солдаты держались за бока, глядя на него.
– Ну ка, ну ка, научи, как? Я живо перейму. Как?.. – говорил шутник песенник, которого обнимал Морель.
Vive Henri Quatre,
Vive ce roi vaillanti –
[Да здравствует Генрих Четвертый!
Да здравствует сей храбрый король!
и т. д. (французская песня) ]
пропел Морель, подмигивая глазом.
Сe diable a quatre…
– Виварика! Виф серувару! сидябляка… – повторил солдат, взмахнув рукой и действительно уловив напев.
– Вишь, ловко! Го го го го го!.. – поднялся с разных сторон грубый, радостный хохот. Морель, сморщившись, смеялся тоже.
– Ну, валяй еще, еще!
Qui eut le triple talent,
De boire, de battre,
Et d'etre un vert galant…
[Имевший тройной талант,
пить, драться
и быть любезником…]
– A ведь тоже складно. Ну, ну, Залетаев!..
– Кю… – с усилием выговорил Залетаев. – Кью ю ю… – вытянул он, старательно оттопырив губы, – летриптала, де бу де ба и детравагала, – пропел он.
– Ай, важно! Вот так хранцуз! ой… го го го го! – Что ж, еще есть хочешь?
– Дай ему каши то; ведь не скоро наестся с голоду то.
Опять ему дали каши; и Морель, посмеиваясь, принялся за третий котелок. Радостные улыбки стояли на всех лицах молодых солдат, смотревших на Мореля. Старые солдаты, считавшие неприличным заниматься такими пустяками, лежали с другой стороны костра, но изредка, приподнимаясь на локте, с улыбкой взглядывали на Мореля.
– Тоже люди, – сказал один из них, уворачиваясь в шинель. – И полынь на своем кореню растет.
– Оо! Господи, господи! Как звездно, страсть! К морозу… – И все затихло.
Звезды, как будто зная, что теперь никто не увидит их, разыгрались в черном небе. То вспыхивая, то потухая, то вздрагивая, они хлопотливо о чем то радостном, но таинственном перешептывались между собой.

Х
Войска французские равномерно таяли в математически правильной прогрессии. И тот переход через Березину, про который так много было писано, была только одна из промежуточных ступеней уничтожения французской армии, а вовсе не решительный эпизод кампании. Ежели про Березину так много писали и пишут, то со стороны французов это произошло только потому, что на Березинском прорванном мосту бедствия, претерпеваемые французской армией прежде равномерно, здесь вдруг сгруппировались в один момент и в одно трагическое зрелище, которое у всех осталось в памяти. Со стороны же русских так много говорили и писали про Березину только потому, что вдали от театра войны, в Петербурге, был составлен план (Пфулем же) поимки в стратегическую западню Наполеона на реке Березине. Все уверились, что все будет на деле точно так, как в плане, и потому настаивали на том, что именно Березинская переправа погубила французов. В сущности же, результаты Березинской переправы были гораздо менее гибельны для французов потерей орудий и пленных, чем Красное, как то показывают цифры.
Единственное значение Березинской переправы заключается в том, что эта переправа очевидно и несомненно доказала ложность всех планов отрезыванья и справедливость единственно возможного, требуемого и Кутузовым и всеми войсками (массой) образа действий, – только следования за неприятелем. Толпа французов бежала с постоянно усиливающейся силой быстроты, со всею энергией, направленной на достижение цели. Она бежала, как раненый зверь, и нельзя ей было стать на дороге. Это доказало не столько устройство переправы, сколько движение на мостах. Когда мосты были прорваны, безоружные солдаты, московские жители, женщины с детьми, бывшие в обозе французов, – все под влиянием силы инерции не сдавалось, а бежало вперед в лодки, в мерзлую воду.