Уравнения Швингера

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

<math> \left \{\frac{\overrightarrow{\delta} S(\varphi)}{\delta \varphi(x)}\bigg|_{\varphi=\chi\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA}}+A(x) \right \}G(A)=0</math>,

где <math>S(\varphi)</math> — функционал действия, <math>G(A)</math> — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала <math>A(x)</math> есть классический объект той же природы, что и поле <math>\varphi</math>, то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, <math>\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA}</math> — левая вариационная производная, <math>\chi=+1</math> в бозонном случае, <math>\chi=-1</math> в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель <math>H(A)=G_0^{-1}G(A)</math>, где <math>G_0</math> — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку <math>G(A)=e^{W(A)}</math> и сократив после выполнения дифференцирования множитель <math>e^{W(A)}</math>, получим уравнение Швингера для производящего функционала <math>W(A)</math> связных функций Грина <math>W_n</math>.

Представив <math>W(A)</math> в виде ряда

<math>W(A)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{W_n(iA)^n}{n!}</math>,

и сравнивая коэффициенты при всех степенях <math>iA</math>, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина <math>W_n</math>.

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов <math>A^{\mu} (x)</math> с источником внешнего электромагнитного поля <math>J_{\mu}(x)</math> в минимальной форме — <math>J_{\mu} A^{\mu}</math>. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику <math>J_{\mu} (x)</math> получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом <math>S[J]</math> источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

<math>\mathcal{A^{\mu}}(x) = \frac{1}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ A^{\mu} (x) S[J] \} \vert 0 \rangle = i \frac {\delta \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x)},</math>

где <math>S_0[J] \equiv \langle 0 \vert S[J] \vert 0 \rangle, \mu = 0,1,2,3.</math> <math>\langle 0 \vert \cdots \vert 0 \rangle</math> — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ <math>T</math> обозначает хронологическое упорядочение операторов, <math>\frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)},</math> — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

<math>G(x,y \vert J) = - \frac{i}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ \psi (x) \overline{\psi} (y) S[J] \} \vert 0 \rangle ,</math>

где <math>\psi(x)</math> — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

<math>\left \{ \gamma_{\mu} \left [ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} - e \mathcal{A^{\mu}}(x) \right ] - m - i e \gamma_{\mu} \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)} \right \} G(x,y \vert J) = \delta^4 (x - y),</math>

где <math>\gamma_{\mu}</math> — матрицы Дирака, <math>e, m</math> — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля <math>\mathcal{A^{\mu}}(x)</math> получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току <math>J</math>):

<math>\Box \mathcal{A^{\mu}}(x) = -J_{\mu}(x) + i e \mathrm{Tr}[\gamma_{\mu} G(x,x \vert J)],</math>

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам <math>J_{\mu}(x)</math> определить <math>G(x,y \vert J)</math> и <math>\mathcal{A^{\mu}}(x)</math> , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

<math>G^{\mu \nu}(x,y \vert J) = - \frac{\delta A^{\mu} (x)}{\delta J^{\nu} (y)} = - i \frac {\delta^2 \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x) \delta J_{\nu} (y)}.</math>

Величина <math>Z[J] \equiv i \ln S_0[J]</math> называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

<math>\Gamma_{\mu} (x, y, z) = - \frac{\delta}{\delta A^{\mu}} G^{-1}(x, y \vert J),</math>

где <math>G^{-1}</math> — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература

• Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.
• Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7.

Отрывок, характеризующий Уравнения Швингера

– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п'отивники отказались от п'ими'ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т'и начинать сходиться.
– Г…'аз! Два! Т'и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.
– Так когда хочу – могу стрелять! – сказал Пьер, при слове три быстрыми шагами пошел вперед, сбиваясь с протоптанной дорожки и шагая по цельному снегу. Пьер держал пистолет, вытянув вперед правую руку, видимо боясь как бы из этого пистолета не убить самого себя. Левую руку он старательно отставлял назад, потому что ему хотелось поддержать ею правую руку, а он знал, что этого нельзя было. Пройдя шагов шесть и сбившись с дорожки в снег, Пьер оглянулся под ноги, опять быстро взглянул на Долохова, и потянув пальцем, как его учили, выстрелил. Никак не ожидая такого сильного звука, Пьер вздрогнул от своего выстрела, потом улыбнулся сам своему впечатлению и остановился. Дым, особенно густой от тумана, помешал ему видеть в первое мгновение; но другого выстрела, которого он ждал, не последовало. Только слышны были торопливые шаги Долохова, и из за дыма показалась его фигура. Одной рукой он держался за левый бок, другой сжимал опущенный пистолет. Лицо его было бледно. Ростов подбежал и что то сказал ему.
– Не…е…т, – проговорил сквозь зубы Долохов, – нет, не кончено, – и сделав еще несколько падающих, ковыляющих шагов до самой сабли, упал на снег подле нее. Левая рука его была в крови, он обтер ее о сюртук и оперся ею. Лицо его было бледно, нахмуренно и дрожало.
– Пожалу… – начал Долохов, но не мог сразу выговорить… – пожалуйте, договорил он с усилием. Пьер, едва удерживая рыдания, побежал к Долохову, и хотел уже перейти пространство, отделяющее барьеры, как Долохов крикнул: – к барьеру! – и Пьер, поняв в чем дело, остановился у своей сабли. Только 10 шагов разделяло их. Долохов опустился головой к снегу, жадно укусил снег, опять поднял голову, поправился, подобрал ноги и сел, отыскивая прочный центр тяжести. Он глотал холодный снег и сосал его; губы его дрожали, но всё улыбаясь; глаза блестели усилием и злобой последних собранных сил. Он поднял пистолет и стал целиться.
– Боком, закройтесь пистолетом, – проговорил Несвицкий.
– 3ак'ойтесь! – не выдержав, крикнул даже Денисов своему противнику.
Пьер с кроткой улыбкой сожаления и раскаяния, беспомощно расставив ноги и руки, прямо своей широкой грудью стоял перед Долоховым и грустно смотрел на него. Денисов, Ростов и Несвицкий зажмурились. В одно и то же время они услыхали выстрел и злой крик Долохова.
– Мимо! – крикнул Долохов и бессильно лег на снег лицом книзу. Пьер схватился за голову и, повернувшись назад, пошел в лес, шагая целиком по снегу и вслух приговаривая непонятные слова:
– Глупо… глупо! Смерть… ложь… – твердил он морщась. Несвицкий остановил его и повез домой.
Ростов с Денисовым повезли раненого Долохова.
Долохов, молча, с закрытыми глазами, лежал в санях и ни слова не отвечал на вопросы, которые ему делали; но, въехав в Москву, он вдруг очнулся и, с трудом приподняв голову, взял за руку сидевшего подле себя Ростова. Ростова поразило совершенно изменившееся и неожиданно восторженно нежное выражение лица Долохова.
– Ну, что? как ты чувствуешь себя? – спросил Ростов.
– Скверно! но не в том дело. Друг мой, – сказал Долохов прерывающимся голосом, – где мы? Мы в Москве, я знаю. Я ничего, но я убил ее, убил… Она не перенесет этого. Она не перенесет…
– Кто? – спросил Ростов.
– Мать моя. Моя мать, мой ангел, мой обожаемый ангел, мать, – и Долохов заплакал, сжимая руку Ростова. Когда он несколько успокоился, он объяснил Ростову, что живет с матерью, что ежели мать увидит его умирающим, она не перенесет этого. Он умолял Ростова ехать к ней и приготовить ее.
Ростов поехал вперед исполнять поручение, и к великому удивлению своему узнал, что Долохов, этот буян, бретёр Долохов жил в Москве с старушкой матерью и горбатой сестрой, и был самый нежный сын и брат.


Пьер в последнее время редко виделся с женою с глазу на глаз. И в Петербурге, и в Москве дом их постоянно бывал полон гостями. В следующую ночь после дуэли, он, как и часто делал, не пошел в спальню, а остался в своем огромном, отцовском кабинете, в том самом, в котором умер граф Безухий.
Он прилег на диван и хотел заснуть, для того чтобы забыть всё, что было с ним, но он не мог этого сделать. Такая буря чувств, мыслей, воспоминаний вдруг поднялась в его душе, что он не только не мог спать, но не мог сидеть на месте и должен был вскочить с дивана и быстрыми шагами ходить по комнате. То ему представлялась она в первое время после женитьбы, с открытыми плечами и усталым, страстным взглядом, и тотчас же рядом с нею представлялось красивое, наглое и твердо насмешливое лицо Долохова, каким оно было на обеде, и то же лицо Долохова, бледное, дрожащее и страдающее, каким оно было, когда он повернулся и упал на снег.