Условная вероятность
Поделись знанием:
– Наташа непременно хочет видеть графа Петра Кирилловича, – сказала она.
– Да как же, к ней что ль его свести? Там у вас не прибрано, – сказала Марья Дмитриевна.
– Нет, она оделась и вышла в гостиную, – сказала Соня.
Марья Дмитриевна только пожала плечами.
– Когда это графиня приедет, измучила меня совсем. Ты смотри ж, не говори ей всего, – обратилась она к Пьеру. – И бранить то ее духу не хватает, так жалка, так жалка!
Наташа, исхудавшая, с бледным и строгим лицом (совсем не пристыженная, какою ее ожидал Пьер) стояла по середине гостиной. Когда Пьер показался в двери, она заторопилась, очевидно в нерешительности, подойти ли к нему или подождать его.
Пьер поспешно подошел к ней. Он думал, что она ему, как всегда, подаст руку; но она, близко подойдя к нему, остановилась, тяжело дыша и безжизненно опустив руки, совершенно в той же позе, в которой она выходила на середину залы, чтоб петь, но совсем с другим выражением.
– Петр Кирилыч, – начала она быстро говорить – князь Болконский был вам друг, он и есть вам друг, – поправилась она (ей казалось, что всё только было, и что теперь всё другое). – Он говорил мне тогда, чтобы обратиться к вам…
Пьер молча сопел носом, глядя на нее. Он до сих пор в душе своей упрекал и старался презирать ее; но теперь ему сделалось так жалко ее, что в душе его не было места упреку.
– Он теперь здесь, скажите ему… чтобы он прост… простил меня. – Она остановилась и еще чаще стала дышать, но не плакала.
– Да… я скажу ему, – говорил Пьер, но… – Он не знал, что сказать.
Наташа видимо испугалась той мысли, которая могла притти Пьеру.
– Нет, я знаю, что всё кончено, – сказала она поспешно. – Нет, это не может быть никогда. Меня мучает только зло, которое я ему сделала. Скажите только ему, что я прошу его простить, простить, простить меня за всё… – Она затряслась всем телом и села на стул.
Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Содержание
Определение
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — фиксированное вероятностное пространство. Пусть <math>A,B\in \mathcal{F}</math> два случайных события, причём <math>\mathbb{P}(B)>0</math>. Тогда условной вероятностью события <math>A</math> при условии события <math>B</math> называется
- <math>\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}</math>, где <math>\mathbb{P}(A\cap B)</math> — вероятность наступления обоих событий сразу.
Замечания
- Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
- <math>\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B)</math>.
- Если <math>\mathbb{P}(B) = 0</math>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
- Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <math>\mathbb{Q}_{ B}:\mathcal{F}\to \mathbb{R},\, B \in \mathcal{F}</math>, заданная формулой
- <math>\mathbb{Q}_{ B}(A) = \mathbb{P}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F}</math>,
удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
Пример
Если <math>A,B</math> — несовместимые события, то есть <math>A \cap B = \varnothing</math> и <math>\mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0</math>, то
- <math>\mathbb{P}(A \mid B) = 0</math>
и
- <math>\mathbb{P}(B \mid A) = 0</math>.
- Предположим, что по статистике вероятность того, что человек доживает до 80 лет <math>\mathbb{P}(B) = 0,3</math>, а вероятность того, что человек доживёт до 90 лет <math>\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A \cap B) = 0,2</math>.
- Какова вероятность того, что человек доживший до 80 лет доживёт до 90?
Решение:
<math>\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)</math> (если независимы)
- но так как вероятности зависимы, то пересечение вероятности будет 0,2
- <math>\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}</math>
- 0,2/0,3 = 2/3 ≈ 0,67
- Заметим, что <math>\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}=\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A)}=1</math>, что верно - человек, доживший до 90 лет, дожил и до 80 лет
См. также
- Вероятность
- Независимость
- Условное математическое ожидание
- Формула полной вероятности
- Теорема Байеса
- Парадокс Монти Холла
- Задача о двух конвертах
Напишите отзыв о статье "Условная вероятность"
Отрывок, характеризующий Условная вероятность
В этот же вечер, Пьер поехал к Ростовым, чтобы исполнить свое поручение. Наташа была в постели, граф был в клубе, и Пьер, передав письма Соне, пошел к Марье Дмитриевне, интересовавшейся узнать о том, как князь Андрей принял известие. Через десять минут Соня вошла к Марье Дмитриевне.– Наташа непременно хочет видеть графа Петра Кирилловича, – сказала она.
– Да как же, к ней что ль его свести? Там у вас не прибрано, – сказала Марья Дмитриевна.
– Нет, она оделась и вышла в гостиную, – сказала Соня.
Марья Дмитриевна только пожала плечами.
– Когда это графиня приедет, измучила меня совсем. Ты смотри ж, не говори ей всего, – обратилась она к Пьеру. – И бранить то ее духу не хватает, так жалка, так жалка!
Наташа, исхудавшая, с бледным и строгим лицом (совсем не пристыженная, какою ее ожидал Пьер) стояла по середине гостиной. Когда Пьер показался в двери, она заторопилась, очевидно в нерешительности, подойти ли к нему или подождать его.
Пьер поспешно подошел к ней. Он думал, что она ему, как всегда, подаст руку; но она, близко подойдя к нему, остановилась, тяжело дыша и безжизненно опустив руки, совершенно в той же позе, в которой она выходила на середину залы, чтоб петь, но совсем с другим выражением.
– Петр Кирилыч, – начала она быстро говорить – князь Болконский был вам друг, он и есть вам друг, – поправилась она (ей казалось, что всё только было, и что теперь всё другое). – Он говорил мне тогда, чтобы обратиться к вам…
Пьер молча сопел носом, глядя на нее. Он до сих пор в душе своей упрекал и старался презирать ее; но теперь ему сделалось так жалко ее, что в душе его не было места упреку.
– Он теперь здесь, скажите ему… чтобы он прост… простил меня. – Она остановилась и еще чаще стала дышать, но не плакала.
– Да… я скажу ему, – говорил Пьер, но… – Он не знал, что сказать.
Наташа видимо испугалась той мысли, которая могла притти Пьеру.
– Нет, я знаю, что всё кончено, – сказала она поспешно. – Нет, это не может быть никогда. Меня мучает только зло, которое я ему сделала. Скажите только ему, что я прошу его простить, простить, простить меня за всё… – Она затряслась всем телом и села на стул.
