Условное распределение

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>.

Дискретные случайные величины

Пусть <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^m</math> и <math>Y:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайные величины, такие, что случайный вектор <math>(X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n}</math> имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности <math>p_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n</math>. Пусть <math>y_0 \in \mathbb{R}^n</math> такой, что <math>\mathbb{P}(Y = y_0) > 0</math>. Тогда функция

<math>p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,Y}(x,y_0) \over p_Y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m</math>,

где <math>p_{Y}</math> — функция вероятности случайной величины <math>Y</math>, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины <math>X</math> при условии, что <math>Y = y_0</math>. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть <math>X: \Omega \to \mathbb{R}^m</math> и <math>Y:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайные величины, такие что случайный вектор <math>(X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n}</math> имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности <math>f_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^n</math>. Пусть <math>y_0 \in \mathbb{R}^n</math> таково, что <math>f_Y(y_0) > 0</math>, где <math>f_Y</math> — плотность случайной величины <math>Y</math>. Тогда функция

<math>f_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}</math>

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины <math>X</math> при условии, что <math>Y = y_0</math>. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений

• Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

• <math>p_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^m,\, y_0\in \mathbb{R}^n</math>,
• <math>\sum\limits_x p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n</math>,

и

• <math>f_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0</math> почти всюду на <math>\mathbb{R}^{m+n}</math>,
• <math>\int\limits_{\mathbb{R}^m} f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n</math>,

• Справедливы формулы полной вероятности:

• <math>p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X\mid Y}(x \mid y)\, p_Y(y)</math>,
• <math>f_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f_{X \mid Y}(x\mid y)\, f_Y(y)\, dy</math>.

• Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то условное распределение равно безусловному:

<math>p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = p_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}^m</math>

или

<math>f_{X\mid Y}( x\mid y_0 ) = f_X(x)</math> почти всюду на <math>\mathbb{R}^m</math>.

Условные вероятности

Дискретные случайные величины

Если <math>A</math> — счётное подмножество <math>\mathbb{R}^m</math>, то

<math>\mathbb{P}(X \in A \mid Y = y_0) = \sum\limits_{x \in A} p_{X \mid Y}(x \mid y_0)</math>.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если <math>A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)</math> — борелевское подмножество <math>\mathbb{R}^m</math>, то полагаем по определению

<math>\mathbb{P}(X\in A \mid Y = y_0) = \int\limits_A f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx</math>.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как <math>\mathbb{P}(Y = y_0) = 0</math>.

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины <math>X</math> при условии <math>Y = y_0</math> получается суммированием относительно условного распределения:

<math>\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \sum\limits_{x} x\, p_{X \mid Y}(x \mid y_0)</math>.

• Условное математическое ожидание <math>X</math> при условии случайной величины <math>Y</math> — это третья случайная величина <math>\mathbb{E}[X \mid Y]</math>, задаваемая равенством

<math>\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega</math>.

Абсолютно непрерывные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины <math>X</math> при условии <math>Y = y_0</math> получается интегрированием относительно условного распределения:

<math>\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \int\limits_{\mathbb{R}^m} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx</math>.

• Условное математическое ожидание <math>X</math> при условии случайной величины <math>Y</math> — это третья случайная величина <math>\mathbb{E}[X \mid Y]</math>, задаваемая равенством

<math>\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega</math>.

Отрывок, характеризующий Условное распределение

Засветились огни, и слышнее стал говор. Капитан Тушин, распорядившись по роте, послал одного из солдат отыскивать перевязочный пункт или лекаря для юнкера и сел у огня, разложенного на дороге солдатами. Ростов перетащился тоже к огню. Лихорадочная дрожь от боли, холода и сырости трясла всё его тело. Сон непреодолимо клонил его, но он не мог заснуть от мучительной боли в нывшей и не находившей положения руке. Он то закрывал глаза, то взглядывал на огонь, казавшийся ему горячо красным, то на сутуловатую слабую фигуру Тушина, по турецки сидевшего подле него. Большие добрые и умные глаза Тушина с сочувствием и состраданием устремлялись на него. Он видел, что Тушин всею душой хотел и ничем не мог помочь ему.
Со всех сторон слышны были шаги и говор проходивших, проезжавших и кругом размещавшейся пехоты. Звуки голосов, шагов и переставляемых в грязи лошадиных копыт, ближний и дальний треск дров сливались в один колеблющийся гул.
Теперь уже не текла, как прежде, во мраке невидимая река, а будто после бури укладывалось и трепетало мрачное море. Ростов бессмысленно смотрел и слушал, что происходило перед ним и вокруг него. Пехотный солдат подошел к костру, присел на корточки, всунул руки в огонь и отвернул лицо.
– Ничего, ваше благородие? – сказал он, вопросительно обращаясь к Тушину. – Вот отбился от роты, ваше благородие; сам не знаю, где. Беда!
Вместе с солдатом подошел к костру пехотный офицер с подвязанной щекой и, обращаясь к Тушину, просил приказать подвинуть крошечку орудия, чтобы провезти повозку. За ротным командиром набежали на костер два солдата. Они отчаянно ругались и дрались, выдергивая друг у друга какой то сапог.
– Как же, ты поднял! Ишь, ловок, – кричал один хриплым голосом.
Потом подошел худой, бледный солдат с шеей, обвязанной окровавленною подверткой, и сердитым голосом требовал воды у артиллеристов.
– Что ж, умирать, что ли, как собаке? – говорил он.
Тушин велел дать ему воды. Потом подбежал веселый солдат, прося огоньку в пехоту.
– Огоньку горяченького в пехоту! Счастливо оставаться, землячки, благодарим за огонек, мы назад с процентой отдадим, – говорил он, унося куда то в темноту краснеющуюся головешку.
За этим солдатом четыре солдата, неся что то тяжелое на шинели, прошли мимо костра. Один из них споткнулся.
– Ишь, черти, на дороге дрова положили, – проворчал он.
– Кончился, что ж его носить? – сказал один из них.
– Ну, вас!
И они скрылись во мраке с своею ношей.
– Что? болит? – спросил Тушин шопотом у Ростова.
– Болит.
– Ваше благородие, к генералу. Здесь в избе стоят, – сказал фейерверкер, подходя к Тушину.
– Сейчас, голубчик.
Тушин встал и, застегивая шинель и оправляясь, отошел от костра…
Недалеко от костра артиллеристов, в приготовленной для него избе, сидел князь Багратион за обедом, разговаривая с некоторыми начальниками частей, собравшимися у него. Тут был старичок с полузакрытыми глазами, жадно обгладывавший баранью кость, и двадцатидвухлетний безупречный генерал, раскрасневшийся от рюмки водки и обеда, и штаб офицер с именным перстнем, и Жерков, беспокойно оглядывавший всех, и князь Андрей, бледный, с поджатыми губами и лихорадочно блестящими глазами.
В избе стояло прислоненное в углу взятое французское знамя, и аудитор с наивным лицом щупал ткань знамени и, недоумевая, покачивал головой, может быть оттого, что его и в самом деле интересовал вид знамени, а может быть, и оттого, что ему тяжело было голодному смотреть на обед, за которым ему не достало прибора. В соседней избе находился взятый в плен драгунами французский полковник. Около него толпились, рассматривая его, наши офицеры. Князь Багратион благодарил отдельных начальников и расспрашивал о подробностях дела и о потерях. Полковой командир, представлявшийся под Браунау, докладывал князю, что, как только началось дело, он отступил из леса, собрал дроворубов и, пропустив их мимо себя, с двумя баталионами ударил в штыки и опрокинул французов.