Флуктуационно-диссипационная теорема

Поделись знанием:
(перенаправлено с «ФДТ»)
Перейти к: навигация, поиск

Флуктуационно-диссипационная теорема[1] — теорема статистической физики, связывающая флуктуации системы (их спектральную плотность) с её диссипативными свойствами. ФДТ выводится из предположения о том, что отклик системы на малое внешнее воздействие имеет ту же природу, что и отклик на спонтанные флуктуации.

Флуктуационно-диссипационная теорема даёт возможность рассчитать взаимосвязь между молекулярной динамикой системы в состоянии термодинамического равновесия и макроскопическим поведением системы, наблюдаемым при динамических измерениях. Таким образом, модели системы на молекулярном уровне могут быть использованы для количественного предсказания линейных макроскопических свойств материалов.

Отклонение поведения (даже неравновесных) систем от флуктуационно-диссипационной теоремы является поводом для публикаций в ведущих научных журналах.[2]





Формулировка

Если отклик <math> x(t) </math> на внешнее воздействие <math> f(t) </math> можно представить в виде

<math> x(t)=\int\alpha(\tau)f(t-\tau)d\tau </math>,

или

<math> \tilde x(\omega)=\tilde \alpha(\omega)\tilde f(\omega) </math>,

то, согласно уравнению 124.9 из тома «Статистическая механика» (Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц)[3], спектральная плотность флуктуаций термодинамической величины <math> S_x </math> связана с мнимой частью обобщённой восприимчивости <math> \alpha(\omega)=\mathrm{Im}\, \tilde \alpha(\omega) </math> следующим образом:

<math> S_x(\omega)= \hbar\alpha(\omega)\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_BT}\right) </math>,

а средний квадрат флуктуации термодинамической величины <math> \langle x^2 \rangle </math>

<math> \langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^\infty \hbar \alpha(\omega)\coth(\hbar\omega/2kT)\frac{d\omega}{2\pi} </math>.

Легко видеть, что в классическом случае (<math> k_BT\gg\hbar\omega </math>) формула переходит в

<math> S_x(\omega) = \frac{2k_BT}{\omega}\alpha(\omega) </math>,

а в квантовом (<math> T\rightarrow 0 </math>)

<math> S_x(\omega) = \hbar\alpha(\omega) </math>.

Стоит так же обратить внимание, что так как спектральная плотность стационарного процесса должна быть чётной, часто вместо спектральной плотности <math> S_x </math> используют одностороннюю спектральную плотность <math> S^+_x=2S_x </math>, определённую только для положительной полуоси частот. Такую спектральную плотность интегрируют уже от <math> 0 </math> до <math> \infty </math>.

Примеры

Броуновское движение

Эйнштейн в своей статье о броуновском движении (1905) заметил, что те же случайные силы, которые вызывают случайное блуждание при броуновском движении, также вызывают и вязкое трение, действующее на частицы при их движении в жидкости. Другими словами, флуктуации координат частиц относительно положения покоя имеют ту же природу, что и диссипативная сила трения, которую необходимо преодолевать, чтобы изменять систему в определённом направлении.

Из своих наблюдений он методами статистической физики вывел неожиданную связь между параметрами системы — соотношение Эйнштейна-Смолуховского:

<math> D = {\mu \, k_BT} </math>,

связывающего D, коэффициент диффузии, и μ, подвижность частицы (μ выражается как отношение скорости частицы к приложенной силе, μ = vd / F), <math> k_B </math> — Постоянная Больцмана, и T — абсолютная температура.

Формула Найквиста

В 1928 году Джон Б. Джонсон обнаружил, а Гарри Найквист объяснил явление теплового шума. В отсутствиe тока, протекающего через электрическое сопротивление, среднее квадратичное напряжение зависит от сопротивления <math>R</math>, <math>k_BT</math> и ширины частотного диапазона измерений <math>\Delta\nu</math> :

<math> \langle V^2 \rangle = 4Rk_BT\Delta\nu </math>.

Напишите отзыв о статье "Флуктуационно-диссипационная теорема"

Литература

  1. Herbert B. Callen and Theodore A. Welton. «Irreversibility and Generalized Noise», Phys. Rev. 83, 34 (1951) DOI:10.1103/PhysRev.83.34
  2. Mizuno D. et al. «Nonequilibrium Mechanics of Active Cytoskeletal Networks», Science 315, 370 (2007) DOI:10.1126/science.1134404
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8.

Отрывок, характеризующий Флуктуационно-диссипационная теорема

В девять часов проснулась графиня, и Матрена Тимофеевна, бывшая ее горничная, исполнявшая в отношении графини должность шефа жандармов, пришла доложить своей бывшей барышне, что Марья Карловна очень обижены и что барышниным летним платьям нельзя остаться здесь. На расспросы графини, почему m me Schoss обижена, открылось, что ее сундук сняли с подводы и все подводы развязывают – добро снимают и набирают с собой раненых, которых граф, по своей простоте, приказал забирать с собой. Графиня велела попросить к себе мужа.
– Что это, мой друг, я слышу, вещи опять снимают?
– Знаешь, ma chere, я вот что хотел тебе сказать… ma chere графинюшка… ко мне приходил офицер, просят, чтобы дать несколько подвод под раненых. Ведь это все дело наживное; а каково им оставаться, подумай!.. Право, у нас на дворе, сами мы их зазвали, офицеры тут есть. Знаешь, думаю, право, ma chere, вот, ma chere… пускай их свезут… куда же торопиться?.. – Граф робко сказал это, как он всегда говорил, когда дело шло о деньгах. Графиня же привыкла уж к этому тону, всегда предшествовавшему делу, разорявшему детей, как какая нибудь постройка галереи, оранжереи, устройство домашнего театра или музыки, – и привыкла, и долгом считала всегда противоборствовать тому, что выражалось этим робким тоном.
Она приняла свой покорно плачевный вид и сказала мужу:
– Послушай, граф, ты довел до того, что за дом ничего не дают, а теперь и все наше – детское состояние погубить хочешь. Ведь ты сам говоришь, что в доме на сто тысяч добра. Я, мой друг, не согласна и не согласна. Воля твоя! На раненых есть правительство. Они знают. Посмотри: вон напротив, у Лопухиных, еще третьего дня все дочиста вывезли. Вот как люди делают. Одни мы дураки. Пожалей хоть не меня, так детей.
Граф замахал руками и, ничего не сказав, вышел из комнаты.
– Папа! об чем вы это? – сказала ему Наташа, вслед за ним вошедшая в комнату матери.
– Ни о чем! Тебе что за дело! – сердито проговорил граф.
– Нет, я слышала, – сказала Наташа. – Отчего ж маменька не хочет?
– Тебе что за дело? – крикнул граф. Наташа отошла к окну и задумалась.
– Папенька, Берг к нам приехал, – сказала она, глядя в окно.


Берг, зять Ростовых, был уже полковник с Владимиром и Анной на шее и занимал все то же покойное и приятное место помощника начальника штаба, помощника первого отделения начальника штаба второго корпуса.
Он 1 сентября приехал из армии в Москву.
Ему в Москве нечего было делать; но он заметил, что все из армии просились в Москву и что то там делали. Он счел тоже нужным отпроситься для домашних и семейных дел.
Берг, в своих аккуратных дрожечках на паре сытых саврасеньких, точно таких, какие были у одного князя, подъехал к дому своего тестя. Он внимательно посмотрел во двор на подводы и, входя на крыльцо, вынул чистый носовой платок и завязал узел.
Из передней Берг плывущим, нетерпеливым шагом вбежал в гостиную и обнял графа, поцеловал ручки у Наташи и Сони и поспешно спросил о здоровье мамаши.
– Какое теперь здоровье? Ну, рассказывай же, – сказал граф, – что войска? Отступают или будет еще сраженье?
– Один предвечный бог, папаша, – сказал Берг, – может решить судьбы отечества. Армия горит духом геройства, и теперь вожди, так сказать, собрались на совещание. Что будет, неизвестно. Но я вам скажу вообще, папаша, такого геройского духа, истинно древнего мужества российских войск, которое они – оно, – поправился он, – показали или выказали в этой битве 26 числа, нет никаких слов достойных, чтоб их описать… Я вам скажу, папаша (он ударил себя в грудь так же, как ударял себя один рассказывавший при нем генерал, хотя несколько поздно, потому что ударить себя в грудь надо было при слове «российское войско»), – я вам скажу откровенно, что мы, начальники, не только не должны были подгонять солдат или что нибудь такое, но мы насилу могли удерживать эти, эти… да, мужественные и древние подвиги, – сказал он скороговоркой. – Генерал Барклай до Толли жертвовал жизнью своей везде впереди войска, я вам скажу. Наш же корпус был поставлен на скате горы. Можете себе представить! – И тут Берг рассказал все, что он запомнил, из разных слышанных за это время рассказов. Наташа, не спуская взгляда, который смущал Берга, как будто отыскивая на его лице решения какого то вопроса, смотрела на него.