Фазовые переходы второго рода

Фазовые переходы второго рода — фазовые переходы, при которых вторые производные термодинамических потенциалов по давлению и температуре изменяются скачкообразно, тогда как их первые производные изменяются постепенно. Отсюда следует, в частности, что энергия и объём вещества при фазовом переходе второго рода не изменяются, но изменяются его теплоёмкость, сжимаемость, различные восприимчивости и т. д.

Изменение симметрии

Фазовые переходы второго рода сопровождаются изменением симметрии вещества. Изменение симметрии может быть связано со смещением атомов определённого типа в кристаллической решётке, либо с изменением упорядоченности вещества.

В большинстве случаев, фаза, обладающая большей симметрией (т. е. включающей в себя все симметрии другой фазы), соответствует более высоким температурам, но существуют и исключения. Например, при переходе через нижнюю точку Кюри в сегнетовой соли, фаза, соответствующая меньшей температуре, обладает ромбической симметрией, в то время как фаза, соответствующая большей температуре, обладает моноклинной симметрией.

Для количественной характеристики симметрии при фазовом переходе второго рода вводится параметр порядка, принимающий отличные от нуля значения в фазе с большей симметрией, и тождественно равный нулю в неупорядоченной фазе.

Теоретическое описание фазовых переходов второго рода

Теория среднего поля

Теория среднего поля – самый первый и простейший способ теоретического описания критических явлений. Для этого производится линеаризация многочастичного гамильтониана взаимодействия, то есть фактически, он заменяется на одночастичный гамильтониан с некоторым эффективным самосогласованным полем. Таким образом мы переходим от близкодействия к дальнодействию, то есть к взаимодействию с формально бесконечным радиусом. Также мы пренебрегаем корреляционными эффектами.

Применение теории среднего поля для описания фазовых переходов фактически эквивалентно применению теории Ландау, то есть разложению функционала свободной энергии по степеням параметра порядка около критической точки.

При описании фазовых переходов, эффективное поле обычно принимается пропорциональным параметру порядка. Как правило, множителем пропорциональности является средняя энергия взаимодействия частиц системы. Так, в магнетике рассматривается действие на отдельный электронный спин локального магнитного поля, создаваемое соседними спинами.

Критические показатели для магнетика в теории Ландау:

<math>\alpha=0</math>

<math>\beta=1/2</math>

<math>\gamma=1</math>

<math>\delta=3</math>

<math>\eta=0</math>

<math>\nu=1/2</math>

Для других систем – антиферромагнетика, бинарного сплава и системы жидкость-пар теория среднего поля даёт те же критические показатели.

Критические показатели, полученные в теории среднего поля, плохо согласуются с экспериментальными значениями. Но она предсказывает полную универсальность показателей, то есть их независимость от деталей теории.

Основным недостатком теории является то, что она неприменима в тех случаях, когда существенными становятся флуктуации параметра порядка, то есть непосредственно в окрестности точки фазового перехода:Теория Ландау справедлива до тех пор, пока флуктуации в объеме с линейными размерами порядка радиуса корреляции малы по сравнению с равновесным значением параметра порядка. В противном случае термодинамический подход неприменим. Для самих точек фазового перехода теория даёт завышенные показания, а предсказываемые ей критические показатели отличаются от экспериментальных значений. Кроме того, критические показатели, согласно теории среднего поля, не зависят от размерностей пространства и параметра порядка. Для систем с размерностями d=1, d=2 теория среднего поля вообще не применима.

Гауссово приближение

В гауссовом приближении решается модель Гинзбурга-Ландау. Наивероятнейшая конфигурация ищется минимизацией блочного гамильтониана. Отклонения от наивероятнейшей конфигурации считаются независимыми и распределёнными по гауссу.

Блочный гамильтониан Гинзбурга-Ландау - простейшая форма блочного гамильтониана:

<math>(2.1.1)</math>

<math>(2.1.2)</math>

В Фурье-представлении <math>(2.1.1)</math> имеет вид:

{{{1}}}

)-L^{d/2} \boldsymbol\sigma_o \mathbf h </math>

|<math>(2.1.3)</math> }}

Наивероятнейшая спиновая конфигурация <math>\tilde{\boldsymbol \sigma}</math>, минимизирующая <math>H[\boldsymbol \sigma]</math>, должна быть однородной, то есть градиентный член должен быть равен нулю. Таким образом,

<math>(2.1.4)</math>

Все фурье-компоненты с <math>\vec k\neq 0</math> равны нулю:

<math>(2.1.5)</math>

Подставляя <math>(2.1.4)</math> в <math>(2.1.1)</math> , получаем:

<math>(2.1.6)</math>

Наивероятнейшее значение, <math>\bar {\sigma}</math>, найдём, минимизируя <math>(2.1.6)</math> :

<math>(2.1.7)</math>

<math>(2.1.8)</math>

<math>\hat{h}</math> - единичный вектор в направлении <math>\mathbf h</math>

<math>m_0=(-\frac{a_2}{2a_4})^{1/2}</math>

Если рассматривать только наивероятнейшее значение, то мы будем иметь дело с теорией среднего поля Ландау, поэтому нужно рассмотреть отклонения от наивероятнейшей конфигурации в гауссовом приближении. Случаи <math>T > T_c </math> и <math>T < T_c </math> рассмотрим отдельно.

• <math>T > T_c </math>

В этом случае <math>a_2 >0 </math> и для простоты положим <math>h = 0</math>. В представлении <math>(2.1.3)</math> оставим члены не выше второго порядка по <math>\boldsymbol \sigma^2 </math>:

<span class="citation" id="math_^2 </math>">

\sigma_{\mathbf ik}\right

(^2 </math>)

</span>

Мерой отклонения от наивероятнейшего значения служит <math>\lambda^2 </math> - квадрат полуширины Гауссова распределения <math>e^{-\frac{(\sigma -\tilde {\sigma})^2}{2\lambda^2}}</math>. В данном случае:

<math>\frac {1}{2}\lambda ^{-2}=(a_2 + c \mathbf k^2)</math>

• <math>T < T_c </math>

В этом случае <math>\bar{\sigma}</math> остаётся ненулевой величиной. Считаем <math>\mathbf h</math> конечным, но малым вектором. Разложим <math>\frac{H[\boldsymbol \sigma]}{T}</math> по степеням <math>\sigma-\bar{\sigma}</math> и оставим члены до второго порядка включительно. Используем формулы <math>(2.1.3)</math> и <math>(2.1.7)</math> :

<math>\frac{H[\boldsymbol \sigma]}{T} \approx \frac{H[\boldsymbol \tilde{\sigma}]}{T} + \sum_{k,k<\Lambda}[(4a_4 m^2 + \frac{h}{2m} + c \mathbf k^2) \left

(\sigma_{\mathbf 1k}\right)

<math>m=\tilde{\sigma}</math> - намагниченность.

В данном случае,

<math>\frac {1}{2}\lambda ^{-2}=(4a_4 m^2 + \frac{h}{2m} + c \mathbf k^2)</math>

и

<math>\frac {1}{2}\lambda ^{-2}=(\frac{h}{2m} +c \mathbf k^2)</math>

Гауссово приближение описывает многие важные свойства критических явлений. Предсказываемые ей критические индексы –

<math>\alpha=2-d/2</math>,

<math>\beta=1/2</math>,

<math>\gamma=1</math>,

<math>\delta=3</math>,

<math>\eta=0</math>,

<math>\nu=1/2</math>.

Все показатели, полученные в гауссовом приближении совпадают с таковыми из теории среднего поля. Но теперь теплоемкость не только имеет разрыв при <math>T=T_c </math>, но и расходится при <math>d < 4</math>. Причиной этой расходимости служат флуктуации мод с малыми <math>k</math>. В теории Ландау мы пренебрегаем модами с <math>k \neq 0 </math>.

Мы учитываем флуктуации лишь до второго порядка, считая, что они малы. Но вблизи критической точки флуктуации сильно возрастают, поэтому гауссово приближение становится неприменимым.

Метод Хартри-Фока

См. также Метод самосогласованного поля

Флуктуационная теория

В 1947 г. В. К. Семенченко сформулировал идею о термодинамической общности критических явлений и фазовых переходов второго рода и их флуктуационной природе. Ныне эта трактовка рассматривается как очевидная, но в конце 1940-х и в 1950-е гг. она встретила явное или скрытое сопротивление в научной среде. Только после работ, выполненных в следующие два десятилетия, флуктуационная природа обобщённых критических явлений получила полное признание.

Флуктуационная теория фазовых переходов второго рода работает вне области применимости теории Ландау и находит критические показатели и общие закономерности фазовых переходов второго рода. В этой теории аномальное поведение физических величин вблизи точки фазового перехода связывается с сильным взаимодействием флуктуаций параметра порядка, радиус корреляции которых неограниченно растёт и обращается в бесконечность в самой точке фазового перехода. Вследствие этого, система не может быть разделена на статистически независимые подсистемы, и флуктуации на всех масштабах оказываются негауссовыми.

Описание производится методами квантовополевой теории возмущений. Для учёта влияния флуктуаций мы возвращаемся от среднего значения параметра порядка <math>\varphi_0</math> к случайному полю <math>\hat{\varphi}(x)</math> с простым функционалом Ландау в качестве гамильтониана. Усреднение тогда должно производиться по всем конфигурациям случайного поля <math>\hat{\varphi}(x)</math> в окрестности его равновесного среднего, плотность вероятности в пространстве конфигураций определяется весовым множителем (функция распределения параметра порядка <math>\varphi</math>):

<math>(2.4.1)</math>

<math>(2.4.2)</math>

Нахождение средних значений с помощью функции распределения <math>(2.4.1)</math> требует вычисления функционального интеграла. При учёте первых двух слагаемых (Гауссово приближение) мы можем проделать это для фурье-образа <math>G(k)</math> парного коррелятора <math>G(\vec x)=\left \langle \varphi(\vec x_1)\varphi(\vec x_2)\right \rangle, \vec x = \vec x_1 -\vec x_2</math>:

<math>G(k)=\frac{1}{k^2+\tau_0}</math>

При <math>k=0 </math> эта величина имеет смысл восприимчивости <math>\chi</math>, при <math>\tau_0\rightarrow 0</math> она возрастает по закону:

<math>\chi=\frac{1}{\tau_0}</math>

В трёхмерном случае

<math>G(x)=\frac{e^{-x/r_c}}{4\pi x}</math>

<math>r_c=\frac{1}{\sqrt{\tau_0}}</math> - радиус корреляции неограниченно растёт при приближении к <math>T_c </math>

В гауссовом приближении фурье-компоненты поля <math>\varphi</math> статистически независимы, а для корреляторов старших порядков справедлива теорема Вика. Нелинейное слагаемое <math>\varphi^4</math> в <math>(2.4.2)</math> можно учесть только в виде теории возмущений, что приводит к Фейнмановской диаграммной технике с четверным взаимодействием.

Примеры фазовых переходов второго рода

• переход парамагнетик-ферромагнетик или парамагнетик-антиферромагнетик (параметр порядка — намагниченность),
• переход металлов и сплавов в состояние сверхпроводимости (параметр порядка — плотность сверхпроводящего конденсата),
• переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние (п.п. — плотность сверхтекучей компоненты).

Литература

• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. —СПб: ПИЯФ, 1998.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2002. — 616 с. — (Теоретическая физика в 10 томах. Том 5). — ISBN 5-9221-0054-8.
• Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир, 1980.
• Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
• Самойлович А. Г. Термодинамика и статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1955. — 368 с.
• Семенченко В. К. Избранные главы теоретической физики. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Просвещение, 1966. — 396 с.
• [www.femto.com.ua/articles/part_2/3842.html Физическая энциклопедия]

См. также

• Фазовые переходы
• Квантовый фазовый переход
• Ренормализационная группа
• Соотношения Эренфеста
• Критические явления
• Квантовополевая теория возмущений в статистической физике

Отрывок, характеризующий Фазовые переходы второго рода

– Mon pere, – сказала она. – Не отвертывайтесь от меня, будемте плакать вместе.
– Мерзавцы, подлецы! – закричал старик, отстраняя от нее лицо. – Губить армию, губить людей! За что? Поди, поди, скажи Лизе. – Княжна бессильно опустилась в кресло подле отца и заплакала. Она видела теперь брата в ту минуту, как он прощался с ней и с Лизой, с своим нежным и вместе высокомерным видом. Она видела его в ту минуту, как он нежно и насмешливо надевал образок на себя. «Верил ли он? Раскаялся ли он в своем неверии? Там ли он теперь? Там ли, в обители вечного спокойствия и блаженства?» думала она.
– Mon pere, [Отец,] скажите мне, как это было? – спросила она сквозь слезы.
– Иди, иди, убит в сражении, в котором повели убивать русских лучших людей и русскую славу. Идите, княжна Марья. Иди и скажи Лизе. Я приду.
Когда княжна Марья вернулась от отца, маленькая княгиня сидела за работой, и с тем особенным выражением внутреннего и счастливо спокойного взгляда, свойственного только беременным женщинам, посмотрела на княжну Марью. Видно было, что глаза ее не видали княжну Марью, а смотрели вглубь – в себя – во что то счастливое и таинственное, совершающееся в ней.
– Marie, – сказала она, отстраняясь от пялец и переваливаясь назад, – дай сюда твою руку. – Она взяла руку княжны и наложила ее себе на живот.
Глаза ее улыбались ожидая, губка с усиками поднялась, и детски счастливо осталась поднятой.
Княжна Марья стала на колени перед ней, и спрятала лицо в складках платья невестки.
– Вот, вот – слышишь? Мне так странно. И знаешь, Мари, я очень буду любить его, – сказала Лиза, блестящими, счастливыми глазами глядя на золовку. Княжна Марья не могла поднять головы: она плакала.
– Что с тобой, Маша?
– Ничего… так мне грустно стало… грустно об Андрее, – сказала она, отирая слезы о колени невестки. Несколько раз, в продолжение утра, княжна Марья начинала приготавливать невестку, и всякий раз начинала плакать. Слезы эти, которых причину не понимала маленькая княгиня, встревожили ее, как ни мало она была наблюдательна. Она ничего не говорила, но беспокойно оглядывалась, отыскивая чего то. Перед обедом в ее комнату вошел старый князь, которого она всегда боялась, теперь с особенно неспокойным, злым лицом и, ни слова не сказав, вышел. Она посмотрела на княжну Марью, потом задумалась с тем выражением глаз устремленного внутрь себя внимания, которое бывает у беременных женщин, и вдруг заплакала.
– Получили от Андрея что нибудь? – сказала она.
– Нет, ты знаешь, что еще не могло притти известие, но mon реrе беспокоится, и мне страшно.
– Так ничего?
– Ничего, – сказала княжна Марья, лучистыми глазами твердо глядя на невестку. Она решилась не говорить ей и уговорила отца скрыть получение страшного известия от невестки до ее разрешения, которое должно было быть на днях. Княжна Марья и старый князь, каждый по своему, носили и скрывали свое горе. Старый князь не хотел надеяться: он решил, что князь Андрей убит, и не смотря на то, что он послал чиновника в Австрию розыскивать след сына, он заказал ему в Москве памятник, который намерен был поставить в своем саду, и всем говорил, что сын его убит. Он старался не изменяя вести прежний образ жизни, но силы изменяли ему: он меньше ходил, меньше ел, меньше спал, и с каждым днем делался слабее. Княжна Марья надеялась. Она молилась за брата, как за живого и каждую минуту ждала известия о его возвращении.


– Ma bonne amie, [Мой добрый друг,] – сказала маленькая княгиня утром 19 го марта после завтрака, и губка ее с усиками поднялась по старой привычке; но как и во всех не только улыбках, но звуках речей, даже походках в этом доме со дня получения страшного известия была печаль, то и теперь улыбка маленькой княгини, поддавшейся общему настроению, хотя и не знавшей его причины, – была такая, что она еще более напоминала об общей печали.
– Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Фока – повар) de ce matin ne m'aie pas fait du mal. [Дружочек, боюсь, чтоб от нынешнего фриштика (как называет его повар Фока) мне не было дурно.]
– А что с тобой, моя душа? Ты бледна. Ах, ты очень бледна, – испуганно сказала княжна Марья, своими тяжелыми, мягкими шагами подбегая к невестке.
– Ваше сиятельство, не послать ли за Марьей Богдановной? – сказала одна из бывших тут горничных. (Марья Богдановна была акушерка из уездного города, жившая в Лысых Горах уже другую неделю.)
– И в самом деле, – подхватила княжна Марья, – может быть, точно. Я пойду. Courage, mon ange! [Не бойся, мой ангел.] Она поцеловала Лизу и хотела выйти из комнаты.
– Ах, нет, нет! – И кроме бледности, на лице маленькой княгини выразился детский страх неотвратимого физического страдания.
– Non, c'est l'estomac… dites que c'est l'estomac, dites, Marie, dites…, [Нет это желудок… скажи, Маша, что это желудок…] – и княгиня заплакала детски страдальчески, капризно и даже несколько притворно, ломая свои маленькие ручки. Княжна выбежала из комнаты за Марьей Богдановной.
– Mon Dieu! Mon Dieu! [Боже мой! Боже мой!] Oh! – слышала она сзади себя.
Потирая полные, небольшие, белые руки, ей навстречу, с значительно спокойным лицом, уже шла акушерка.
– Марья Богдановна! Кажется началось, – сказала княжна Марья, испуганно раскрытыми глазами глядя на бабушку.
– Ну и слава Богу, княжна, – не прибавляя шага, сказала Марья Богдановна. – Вам девицам про это знать не следует.
– Но как же из Москвы доктор еще не приехал? – сказала княжна. (По желанию Лизы и князя Андрея к сроку было послано в Москву за акушером, и его ждали каждую минуту.)
– Ничего, княжна, не беспокойтесь, – сказала Марья Богдановна, – и без доктора всё хорошо будет.
Через пять минут княжна из своей комнаты услыхала, что несут что то тяжелое. Она выглянула – официанты несли для чего то в спальню кожаный диван, стоявший в кабинете князя Андрея. На лицах несших людей было что то торжественное и тихое.
Княжна Марья сидела одна в своей комнате, прислушиваясь к звукам дома, изредка отворяя дверь, когда проходили мимо, и приглядываясь к тому, что происходило в коридоре. Несколько женщин тихими шагами проходили туда и оттуда, оглядывались на княжну и отворачивались от нее. Она не смела спрашивать, затворяла дверь, возвращалась к себе, и то садилась в свое кресло, то бралась за молитвенник, то становилась на колена пред киотом. К несчастию и удивлению своему, она чувствовала, что молитва не утишала ее волнения. Вдруг дверь ее комнаты тихо отворилась и на пороге ее показалась повязанная платком ее старая няня Прасковья Савишна, почти никогда, вследствие запрещения князя,не входившая к ней в комнату.
– С тобой, Машенька, пришла посидеть, – сказала няня, – да вот княжовы свечи венчальные перед угодником зажечь принесла, мой ангел, – сказала она вздохнув.
– Ах как я рада, няня.
– Бог милостив, голубка. – Няня зажгла перед киотом обвитые золотом свечи и с чулком села у двери. Княжна Марья взяла книгу и стала читать. Только когда слышались шаги или голоса, княжна испуганно, вопросительно, а няня успокоительно смотрели друг на друга. Во всех концах дома было разлито и владело всеми то же чувство, которое испытывала княжна Марья, сидя в своей комнате. По поверью, что чем меньше людей знает о страданиях родильницы, тем меньше она страдает, все старались притвориться незнающими; никто не говорил об этом, но во всех людях, кроме обычной степенности и почтительности хороших манер, царствовавших в доме князя, видна была одна какая то общая забота, смягченность сердца и сознание чего то великого, непостижимого, совершающегося в эту минуту.
В большой девичьей не слышно было смеха. В официантской все люди сидели и молчали, на готове чего то. На дворне жгли лучины и свечи и не спали. Старый князь, ступая на пятку, ходил по кабинету и послал Тихона к Марье Богдановне спросить: что? – Только скажи: князь приказал спросить что? и приди скажи, что она скажет.
– Доложи князю, что роды начались, – сказала Марья Богдановна, значительно посмотрев на посланного. Тихон пошел и доложил князю.
– Хорошо, – сказал князь, затворяя за собою дверь, и Тихон не слыхал более ни малейшего звука в кабинете. Немного погодя, Тихон вошел в кабинет, как будто для того, чтобы поправить свечи. Увидав, что князь лежал на диване, Тихон посмотрел на князя, на его расстроенное лицо, покачал головой, молча приблизился к нему и, поцеловав его в плечо, вышел, не поправив свечей и не сказав, зачем он приходил. Таинство торжественнейшее в мире продолжало совершаться. Прошел вечер, наступила ночь. И чувство ожидания и смягчения сердечного перед непостижимым не падало, а возвышалось. Никто не спал.

Была одна из тех мартовских ночей, когда зима как будто хочет взять свое и высыпает с отчаянной злобой свои последние снега и бураны. Навстречу немца доктора из Москвы, которого ждали каждую минуту и за которым была выслана подстава на большую дорогу, к повороту на проселок, были высланы верховые с фонарями, чтобы проводить его по ухабам и зажорам.
Княжна Марья уже давно оставила книгу: она сидела молча, устремив лучистые глаза на сморщенное, до малейших подробностей знакомое, лицо няни: на прядку седых волос, выбившуюся из под платка, на висящий мешочек кожи под подбородком.
Няня Савишна, с чулком в руках, тихим голосом рассказывала, сама не слыша и не понимая своих слов, сотни раз рассказанное о том, как покойница княгиня в Кишиневе рожала княжну Марью, с крестьянской бабой молдаванкой, вместо бабушки.
– Бог помилует, никогда дохтура не нужны, – говорила она. Вдруг порыв ветра налег на одну из выставленных рам комнаты (по воле князя всегда с жаворонками выставлялось по одной раме в каждой комнате) и, отбив плохо задвинутую задвижку, затрепал штофной гардиной, и пахнув холодом, снегом, задул свечу. Княжна Марья вздрогнула; няня, положив чулок, подошла к окну и высунувшись стала ловить откинутую раму. Холодный ветер трепал концами ее платка и седыми, выбившимися прядями волос.
– Княжна, матушка, едут по прешпекту кто то! – сказала она, держа раму и не затворяя ее. – С фонарями, должно, дохтур…
– Ах Боже мой! Слава Богу! – сказала княжна Марья, – надо пойти встретить его: он не знает по русски.
Княжна Марья накинула шаль и побежала навстречу ехавшим. Когда она проходила переднюю, она в окно видела, что какой то экипаж и фонари стояли у подъезда. Она вышла на лестницу. На столбике перил стояла сальная свеча и текла от ветра. Официант Филипп, с испуганным лицом и с другой свечей в руке, стоял ниже, на первой площадке лестницы. Еще пониже, за поворотом, по лестнице, слышны были подвигавшиеся шаги в теплых сапогах. И какой то знакомый, как показалось княжне Марье, голос, говорил что то.
– Слава Богу! – сказал голос. – А батюшка?
– Почивать легли, – отвечал голос дворецкого Демьяна, бывшего уже внизу.
Потом еще что то сказал голос, что то ответил Демьян, и шаги в теплых сапогах стали быстрее приближаться по невидному повороту лестницы. «Это Андрей! – подумала княжна Марья. Нет, это не может быть, это было бы слишком необыкновенно», подумала она, и в ту же минуту, как она думала это, на площадке, на которой стоял официант со свечой, показались лицо и фигура князя Андрея в шубе с воротником, обсыпанным снегом. Да, это был он, но бледный и худой, и с измененным, странно смягченным, но тревожным выражением лица. Он вошел на лестницу и обнял сестру.
– Вы не получили моего письма? – спросил он, и не дожидаясь ответа, которого бы он и не получил, потому что княжна не могла говорить, он вернулся, и с акушером, который вошел вслед за ним (он съехался с ним на последней станции), быстрыми шагами опять вошел на лестницу и опять обнял сестру. – Какая судьба! – проговорил он, – Маша милая – и, скинув шубу и сапоги, пошел на половину княгини.


Маленькая княгиня лежала на подушках, в белом чепчике. (Страдания только что отпустили ее.) Черные волосы прядями вились у ее воспаленных, вспотевших щек; румяный, прелестный ротик с губкой, покрытой черными волосиками, был раскрыт, и она радостно улыбалась. Князь Андрей вошел в комнату и остановился перед ней, у изножья дивана, на котором она лежала. Блестящие глаза, смотревшие детски, испуганно и взволнованно, остановились на нем, не изменяя выражения. «Я вас всех люблю, я никому зла не делала, за что я страдаю? помогите мне», говорило ее выражение. Она видела мужа, но не понимала значения его появления теперь перед нею. Князь Андрей обошел диван и в лоб поцеловал ее.