Факторизационное тождество

Факторизационное тождество- тождество, определяющее свойство характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы.

Формулировка

Для характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы при <math>|z|<1</math> , <math>Im \lambda = 0</math> справедливо тождество: <math>1-z\phi(\lambda)=[1-M(e^{i\lambda\chi_{+}^{0}}z^{\eta_{+}^{0}}); \eta_{+}^{0}<\infty]D^{-1}(z)[1-M(e^{i\lambda\chi_{-}^{0}}z^{\eta_{-}^{0}}); \eta_{-}^{0}<\infty]</math>, где <math>D(z)=1 - M(z^{\eta_{+}^{0}}); \chi_{+}^{0} = 0, \eta_{+}^{0}< \infty) = 1 - M(z^{\eta_{-}^{0}}); \chi_{-}^{0} = 0, \eta_{-}^{0}< \infty)</math>.

Пояснения

В формулировке теоремы <math>\phi(\lambda)=\phi_{\xi}(\lambda)=Me^{i\lambda\xi}</math> - характеристическая функция последовательности <math>\mathcal{f} \xi_{k} \mathcal{g}</math> независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим <math>S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}, S_{0}=0</math>. Случайная величина <math>\eta_{+}^{0}=min \mathcal{f} k \geqslant 1: S_{k} \geqslant 0 \mathcal{g}</math> есть время первого достижения нулевого уровня. Определим <math>\chi_{+}^{0}=S_{\eta_{+}^{0}}</math> как первую неотрицательную сумму. Случайная величина <math>\eta_{-}^{0}=min \mathcal{f} k \geqslant 1: S_{k} \leqslant 0 \mathcal{g}</math> есть время достижения нулевого уровня. Определим <math>\chi_{-}^{0}=S_{\eta_{-}^{0}}</math> как первую неположительную сумму.

Литература

• Боровков А. А. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1972. — С. 165. — 287 с.

Отрывок, характеризующий Факторизационное тождество

Даву был Аракчеев императора Наполеона – Аракчеев не трус, но столь же исправный, жестокий и не умеющий выражать свою преданность иначе как жестокостью.
В механизме государственного организма нужны эти люди, как нужны волки в организме природы, и они всегда есть, всегда являются и держатся, как ни несообразно кажется их присутствие и близость к главе правительства. Только этой необходимостью можно объяснить то, как мог жестокий, лично выдиравший усы гренадерам и не могший по слабости нерв переносить опасность, необразованный, непридворный Аракчеев держаться в такой силе при рыцарски благородном и нежном характере Александра.
Балашев застал маршала Даву в сарае крестьянскои избы, сидящего на бочонке и занятого письменными работами (он поверял счеты). Адъютант стоял подле него. Возможно было найти лучшее помещение, но маршал Даву был один из тех людей, которые нарочно ставят себя в самые мрачные условия жизни, для того чтобы иметь право быть мрачными. Они для того же всегда поспешно и упорно заняты. «Где тут думать о счастливой стороне человеческой жизни, когда, вы видите, я на бочке сижу в грязном сарае и работаю», – говорило выражение его лица. Главное удовольствие и потребность этих людей состоит в том, чтобы, встретив оживление жизни, бросить этому оживлению в глаза спою мрачную, упорную деятельность. Это удовольствие доставил себе Даву, когда к нему ввели Балашева. Он еще более углубился в свою работу, когда вошел русский генерал, и, взглянув через очки на оживленное, под впечатлением прекрасного утра и беседы с Мюратом, лицо Балашева, не встал, не пошевелился даже, а еще больше нахмурился и злобно усмехнулся.