Финансовая математика

Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого (возможно случайного) денежного потока.

Основные направления:

• классическая финансовая математика или математика кредита (проведение процентных расчётов; вопросы, связанные с различными долговыми инструментами: векселями, депозитными сертификатами, облигациями; анализ потоков платежей, применяемый в банковском деле, кредитовании, инвестировании);
• стохастическая финансовая математика, включающая расчёт безарбитражной (или «справедливой») цены финансовых инструментов;
• проведение актуарных расчётов (составляющих математическую основу страхования);
• эконометрические расчёты, связанные с прогнозированием поведения финансовых рынков.

Задача классической финансовой математики сводится к сопоставлению денежных потоков от различных финансовых инструментов исходя из критериев временной ценности денег (с учётом фактора дисконтирования), оценка эффективности вложений в те или иные финансовые инструменты (включая оценку эффективности инвестиционных проектов), разработка критериев отбора инструментов. В классической финансовой математике по умолчанию предполагается детерминированность процентных ставок и потоков платежей.

Стохастическая финансовая математика имеет дело с вероятностными платежами и ставками. Основная задача состоит в получении адекватной оценки инструментов с учётом вероятностного характера рыночных условий и потока платежей от инструментов. Формально сюда можно отнести оптимизацию портфеля инструментов в рамках средне-дисперсионного анализа. Также на моделях стохастической финансовой математики основаны методы оценки финансовых рисков. При этом в стохастической финансовой математике возникает необходимость определить критерии оценки рисков в том числе для адекватной оценки финансовых инструментов.

Основные концепции, подходы и методы финансовой математики

Наращение процентов и дисконтирование денежных потоков

Наращение процентов

Расчётные процедуры финансовой математики основаны на принципах начисления процентов на вложенные средства. Простые проценты не предполагают реинвестирования получаемых процентов. Поэтому суммарная стоимость FV, получаемая за время t при вложении суммы PV, определяется линейно <math>FV_t=PV (1+i t)</math>.

Однако, чаще всего финансовая математика имеет дело со сложными процентами, когда учитывается реинвестирование (капитализация) получаемых процентов. В таком случае формула будущей стоимости принимает экспоненциальный вид:

<math>FV_t = PV (1+i)^t = PV e^{r t}~,~~r = \ln (1+i)</math>

где r — непрерывная или логарифмическая ставка. Последняя запись сложных процентов бывает удобна в аналитических целях.

В финансовой практике принято задавать годовые процентные ставки, начисление и капитализация при этом могут происходить чаще 1 раза в год. Если капитализация процентов происходит m раз в году, то формула будущей стоимости принимает вид

<math>FV_t=PV (1+i/m)^{m t} = PV(1+i_e)^t</math>

где <math>i_e = (1+i/m)^m-1</math> — эффективная годовая ставка процента.

По эффективной ставке можно сравнивать различные варианты вложения средств с различными номинальными ставками и периодами капитализации процентов. При <math>m \rightarrow \infty</math> имеем непрерывное начисление и формула принимает вид <math>FV_t=PV e^{rt}</math>. Эта формула эквивалентна вышеприведенной формуле для сложных процентов при ставке r равной логарифмической ставке.

Будущая и текущая стоимость

Базовое предположение в финансовой математике заключается в том, что в экономике существует возможность вложения любой суммы в некий (альтернативный) инструмент (по умолчанию — банковский депозит) под некоторую сложную ставку i. На основе принципов наращения сложных процентов по этой ставке i каждой денежной сумме (стоимости) в данный момент времени ставится в соответствие будущая стоимость на момент времени t (<math>FV_t</math>), а каждой сумме <math>FV_t</math> ставится в соответствие текущая (приведенная, дисконтированная) стоимость (PV):

<math>FV_t=PV(1+i)^t~,~ ~PV=\frac {FV_t}{(1+i)^t}=FV_t(1+i)^{-t}</math>

Процесс приведения будущей стоимости к текущей называется дисконтированием. Ставку (доходность)альтернативного вложения i — ставкой дисконтирования.

Более обобщенно, сумме в момент времени <math>t_1</math> можно поставить в соответствие сумму в момент времени <math>t_2</math>:

<math>S_{t_2}=S_{t_1}(1+i)^{t_2-t_1}</math>

Причем данная формула справедлива как в случае <math>t_2>t_1</math>, так и <math>t_2<t_1</math>. Суммы, относящиеся или приведенные к одному моменту времени сопоставимы. Исходя из этого возникает концепция временной стоимости (ценности) денег, сущность которой заключается в разной ценности одинаковых сумм в разные моменты времени. Дисконтирование этих сумм (приведение к одному моменту времени) по одинаковой ставке позволяет сопоставлять суммы для разных моментов времени (различные денежные потоки) между собой.

Если задан денежный поток <math>CF=(CF_{t_1}, ... , CF_{t_k}, ...,CF_{t_n} )</math>, то будущая стоимость в момент времени <math>t>t_n</math> вложений данного потока денег (в соответствующие моменты времени) будет суммой будущих стоимостей отдельных составляющих потока (предполагается, что денежный поток генерируется определенным финансовым инструментом или инвестиционным проектом или бизнесом в целом, и в то же время существует возможность вложить средства в альтернативный инструмент с фиксированной доходностью, равной ставке дисконтирования):

<math>FV_t=\sum^n_{k=1} {CF_{t_k}} (1+i)^{t-t_k}</math>

Данной сумме <math>FV_t</math> можно поставить в соответствие сумму в текущий момент времени в соответствии с общим правилом дисконтирования:

<math>PV=FV_t /(1+i)^t=\sum^n_{k=1} {CF_{t_k}} (1+i)^{t-t_k}/(1+i)^t=\sum_{k=1}^n \frac {CF_{t_k}} {(1+i)^{t_k}} </math>

В предельном случае следует рассматривать непрерывный денежный поток с плотностью <math>CF(t)</math>, тогда текущая стоимость непрерывного денежного потока будет равна следующему интегралу:

<math>PV=\int_0^{\infty}CF(t)e^{-rt}dt</math>

Таким образом, каждому денежному потоку ставится в соответствие его текущая (приведенная, дисконтированная) стоимость по ставке дисконтирования.

Для аннуитетов на основе формулы геометрической прогрессии получаем следующую формулу приведенной стоимости <math>PV_i=a \frac {1-(1+i)^{-t}} {i} </math>. Для вечного аннуитета (то есть при <math>t \rightarrow \infty</math>) получаем простое выражение <math>PV=a/i </math>. В случае бесконечного денежного потока с постоянным темпом роста получаем формулу Гордона <math>PV=\frac {CF_1} {i-g} </math>

Эффективная (внутренняя) доходность

Если финансовый инструмент имеет некую оценку стоимости, например, рыночную цену, цену покупки и т. д., то зная денежный поток от инструмента можно оценить его эффективную (внутреннюю) доходность как ставку дисконтирования, при которой приведенная стоимость будет равна фактической цене инструмента, то есть решение уравнения <math>P=PV(i)</math> по ставке <math>i</math>. Данный показатель по разному может называться в зависимости от рассматриваемой задачи и инструментов. Например, для облигаций — это доходность к погашению (YTM), для инвестиционных проектов — внутренняя ставка доходности (IRR).

Дюрация денежного потока

Значение приведенной стоимости является нелинейной функцией ставки дисконтирования. Соответственно полностью денежный поток характеризуется графиком приведенной стоимости по ставке дисконтирования. Чувствительность (эластичность) приведенной стоимости к изменению процентной ставки (логарифмическая производная по 1+i) оказывается равной дюрации денежного потока — средневзвешенному сроку денежного потока (весами являются доли приведенных стоимостей отдельных составляющих потока в приведенной стоимости всего потока).

<math>D=-\frac {\partial \ln PV} {\partial \ln(1+i)}=\frac {\sum^n_{k=1}\frac {CF_{t_k}t_k} {(1+i)^{t_k}}} {\sum^n_{k=1} \frac {CF_{t_k}} {(1+i)^{t_k}}}= \overline{T}</math>

В первом приближении в качестве дюрации можно использовать средневзвешенный срок денежного потока без учёта дисконтирования (то есть с нулевой ставкой дисконтирования). Дюрацию можно использовать для упрощенной оценки изменения текущей стоимости финансового инструмента при небольшом изменении ставки дисконтирования. Также дюрацию можно интерпретировать иначе — это приблизительно тот период, за который можно получить суммарную величину денежного потока, если вложить под ставку дисконтирования сумму, равную текущей стоимости этого денежного потока. В частном случае бескупонной облигации дюрация совпадает со сроком такой облигации. В случае вечного аннуитета дюрация равна (1+i)/i

Для уточнения оценки влияния изменения процентной ставки иногда наряду с дюрацией используют также поправку второго порядка — выпуклость. Она равна <math>\overline{T^2}+\overline{T}</math>. В первом приближении можно принять её равной <math>D^2+D</math>.

Портфельная теория

Оптимизация портфеля обычно рассматривается в рамках средне-дисперсионного анализа. Впервые данный подход к формированию портфелей предложил Гарри Марковиц (впоследствии лауреат Нобелевской премии). В рамках данного подхода доходности инструментов предполагаются случайными величинами с некоторым средним уровнем (математическое ожидание), волатильностью (дисперсией) и ковариациями между доходностями инструментов. Дисперсия доходности является мерой риска вложений в данный инструмент или в портфель. Хотя формально подход применим при любом распределении доходностей, результаты могут быть лучше для нормального распределения, в связи с тем, что математическое ожидание и ковариационная матрица полностью характеризуют нормальное распределение.

Формулировки и решения задачи различаются в зависимости от тех или иных допущений, в частности, возможности отрицательных долей инструментов в портфеле (т. н. «короткие продажи»), наличия безрискового актива с нулевой дисперсией и корреляцией с другими активами и т. д. Задача может быть сформулирована как минимизация дисперсии портфеля при требуемой средней доходности и других ограничениях или же максимизацию доходности при заданном уровне риска (дисперсии). Также возможны иные формулировки, предполагающие максимизацию или минимизацию комплексных целевых функций, учитывающих и доходность и риск.

На основе портфельной теории Марковица в дальнейшем была разработана современная теория ценообразования финансовых активов — CAPM (Capital Assets Pricing Model).

Стохастические модели

Стохастические модели с дискретным временем

Базовая модель динамики цен финансовых инструментов — модель геометрического броуновского движения, согласно которой доходности (непрерывные, логарифмические) инструментов подчиняются процессу случайного блуждания:

<math>r_t=\ln p_t-\ln p_{t-1}=\ln {\frac {p_t} {p_{t-1}}}=\varepsilon_t</math>

где <math>\varepsilon_t</math> — белый шум

Данная модель удовлетворяет гипотезе эффективного рынка. В рамках данной гипотезы предполагается невозможность прогнозирования доходностей на будущие периоды на основании какой-либо информации, в том числе на основании информации о прошлых значениях доходностей.

В моделях ARIMA предполагается возможность прогнозирования доходностей на основе прошлых значений доходностей.

Модели GARCH предназначены для моделирования условной волатильности доходностей. Данные модели объясняют «толстые хвосты» распределения доходностей, а также кластеризацию волатильности, которые наблюдаются на практике. В некоторых моделях также учитывается возможность асимметрии уровня волатильности при снижении и при повышении рынка.

Имеются также иные подходы к моделированию волатильности — Модели стохастической волатильности.

Стохастические модели с непрерывным временем

• Модели, основанные на броуновском движении

<math> dS_t = \mu S_t\, dt + \sigma S_t\, dW_t </math>

где <math>W_t</math> стандартное броуновское движение (винеровский процесс)

• Диффузионные модели эволюции процентных ставок
• Модели ценообразования опционов
• Фрактальные модели

Литература

• Малыхин В. И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. — 237 с. — ISBN 5-238-00559-8.
• Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: ФАЗИС, 1998. — Т. 1. Факты. Модели. — 512 с. — ISBN 5-7036-0043-X.
• Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: ФАЗИС, 1998. — Т. 2. Теория. — 512 с. — ISBN 5-7036-0043-8.

• Martin W. Baxter, Andrew J. O. Rennie. Financial Calculus. An introduction to derivative pricing. Cambridge University Press, Cambridge 2001. ISBN 0-521-55289-3
• Hans-Peter Deutsch. [www.d-fine.de Derivate und Interne Modelle]. Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart 2004. ISBN 3-7910-2211-3
• Michael Günther, Ansgar Jüngel. Finanzderivate mit MATLAB. Mathematische Modellierung und numerische Simulation. Vieweg, Wiesbaden 2003. ISBN 3-528-03204-9
• John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives Pearson US Imports & PHIPEs 2002 (5. Aufl.). ISBN 0-13-046592-5
• Jürgen Kremer. Einführung in die diskrete Finanzmathematik. Springer, Berlin 2005. ISBN 3-540-25394-7
• Volker Oppitz, Volker Nollau. Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Carl Hanser Verlag, München 2003. ISBN 3-446-22463-7
• Volker Oppitz. Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung. Gabler, Wiesbaden 1995. ISBN 3-409-19951-9
• Paul Wilmott. Paul Wilmott on Quantitative Finance. John Wiley, Chichester 2000. ISBN 0-471-87438-8

Отрывок, характеризующий Финансовая математика

– Коко, ты приехал, поди ко мне, дружок! – сказал голос графини из гостиной. Николай подошел к матери, поцеловал ее руку и, молча подсев к ее столу, стал смотреть на ее руки, раскладывавшие карты. Из залы всё слышались смех и веселые голоса, уговаривавшие Наташу.
– Ну, хорошо, хорошо, – закричал Денисов, – теперь нечего отговариваться, за вами barcarolla, умоляю вас.
Графиня оглянулась на молчаливого сына.
– Что с тобой? – спросила мать у Николая.
– Ах, ничего, – сказал он, как будто ему уже надоел этот всё один и тот же вопрос.
– Папенька скоро приедет?
– Я думаю.
«У них всё то же. Они ничего не знают! Куда мне деваться?», подумал Николай и пошел опять в залу, где стояли клавикорды.
Соня сидела за клавикордами и играла прелюдию той баркароллы, которую особенно любил Денисов. Наташа собиралась петь. Денисов восторженными глазами смотрел на нее.
Николай стал ходить взад и вперед по комнате.
«И вот охота заставлять ее петь? – что она может петь? И ничего тут нет веселого», думал Николай.
Соня взяла первый аккорд прелюдии.
«Боже мой, я погибший, я бесчестный человек. Пулю в лоб, одно, что остается, а не петь, подумал он. Уйти? но куда же? всё равно, пускай поют!»
Николай мрачно, продолжая ходить по комнате, взглядывал на Денисова и девочек, избегая их взглядов.
«Николенька, что с вами?» – спросил взгляд Сони, устремленный на него. Она тотчас увидала, что что нибудь случилось с ним.
Николай отвернулся от нее. Наташа с своею чуткостью тоже мгновенно заметила состояние своего брата. Она заметила его, но ей самой так было весело в ту минуту, так далека она была от горя, грусти, упреков, что она (как это часто бывает с молодыми людьми) нарочно обманула себя. Нет, мне слишком весело теперь, чтобы портить свое веселье сочувствием чужому горю, почувствовала она, и сказала себе:
«Нет, я верно ошибаюсь, он должен быть весел так же, как и я». Ну, Соня, – сказала она и вышла на самую середину залы, где по ее мнению лучше всего был резонанс. Приподняв голову, опустив безжизненно повисшие руки, как это делают танцовщицы, Наташа, энергическим движением переступая с каблучка на цыпочку, прошлась по середине комнаты и остановилась.
«Вот она я!» как будто говорила она, отвечая на восторженный взгляд Денисова, следившего за ней.
«И чему она радуется! – подумал Николай, глядя на сестру. И как ей не скучно и не совестно!» Наташа взяла первую ноту, горло ее расширилось, грудь выпрямилась, глаза приняли серьезное выражение. Она не думала ни о ком, ни о чем в эту минуту, и из в улыбку сложенного рта полились звуки, те звуки, которые может производить в те же промежутки времени и в те же интервалы всякий, но которые тысячу раз оставляют вас холодным, в тысячу первый раз заставляют вас содрогаться и плакать.
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.
«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
О! как задрожала эта терция, и как тронулось что то лучшее, что было в душе Ростова. И это что то было независимо от всего в мире, и выше всего в мире. Какие тут проигрыши, и Долоховы, и честное слово!… Всё вздор! Можно зарезать, украсть и всё таки быть счастливым…


Давно уже Ростов не испытывал такого наслаждения от музыки, как в этот день. Но как только Наташа кончила свою баркароллу, действительность опять вспомнилась ему. Он, ничего не сказав, вышел и пошел вниз в свою комнату. Через четверть часа старый граф, веселый и довольный, приехал из клуба. Николай, услыхав его приезд, пошел к нему.
– Ну что, повеселился? – сказал Илья Андреич, радостно и гордо улыбаясь на своего сына. Николай хотел сказать, что «да», но не мог: он чуть было не зарыдал. Граф раскуривал трубку и не заметил состояния сына.
«Эх, неизбежно!» – подумал Николай в первый и последний раз. И вдруг самым небрежным тоном, таким, что он сам себе гадок казался, как будто он просил экипажа съездить в город, он сказал отцу.
– Папа, а я к вам за делом пришел. Я было и забыл. Мне денег нужно.
– Вот как, – сказал отец, находившийся в особенно веселом духе. – Я тебе говорил, что не достанет. Много ли?
– Очень много, – краснея и с глупой, небрежной улыбкой, которую он долго потом не мог себе простить, сказал Николай. – Я немного проиграл, т. е. много даже, очень много, 43 тысячи.
– Что? Кому?… Шутишь! – крикнул граф, вдруг апоплексически краснея шеей и затылком, как краснеют старые люди.
– Я обещал заплатить завтра, – сказал Николай.
– Ну!… – сказал старый граф, разводя руками и бессильно опустился на диван.
– Что же делать! С кем это не случалось! – сказал сын развязным, смелым тоном, тогда как в душе своей он считал себя негодяем, подлецом, который целой жизнью не мог искупить своего преступления. Ему хотелось бы целовать руки своего отца, на коленях просить его прощения, а он небрежным и даже грубым тоном говорил, что это со всяким случается.
Граф Илья Андреич опустил глаза, услыхав эти слова сына и заторопился, отыскивая что то.
– Да, да, – проговорил он, – трудно, я боюсь, трудно достать…с кем не бывало! да, с кем не бывало… – И граф мельком взглянул в лицо сыну и пошел вон из комнаты… Николай готовился на отпор, но никак не ожидал этого.
– Папенька! па…пенька! – закричал он ему вслед, рыдая; простите меня! – И, схватив руку отца, он прижался к ней губами и заплакал.

В то время, как отец объяснялся с сыном, у матери с дочерью происходило не менее важное объяснение. Наташа взволнованная прибежала к матери.
– Мама!… Мама!… он мне сделал…
– Что сделал?
– Сделал, сделал предложение. Мама! Мама! – кричала она. Графиня не верила своим ушам. Денисов сделал предложение. Кому? Этой крошечной девочке Наташе, которая еще недавно играла в куклы и теперь еще брала уроки.
– Наташа, полно, глупости! – сказала она, еще надеясь, что это была шутка.
– Ну вот, глупости! – Я вам дело говорю, – сердито сказала Наташа. – Я пришла спросить, что делать, а вы мне говорите: «глупости»…
Графиня пожала плечами.
– Ежели правда, что мосьё Денисов сделал тебе предложение, то скажи ему, что он дурак, вот и всё.
– Нет, он не дурак, – обиженно и серьезно сказала Наташа.
– Ну так что ж ты хочешь? Вы нынче ведь все влюблены. Ну, влюблена, так выходи за него замуж! – сердито смеясь, проговорила графиня. – С Богом!
– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.
– Нет, ни за что, я сама, а вы слушайте у двери, – и Наташа побежала через гостиную в залу, где на том же стуле, у клавикорд, закрыв лицо руками, сидел Денисов. Он вскочил на звук ее легких шагов.
– Натали, – сказал он, быстрыми шагами подходя к ней, – решайте мою судьбу. Она в ваших руках!
– Василий Дмитрич, мне вас так жалко!… Нет, но вы такой славный… но не надо… это… а так я вас всегда буду любить.
Денисов нагнулся над ее рукою, и она услыхала странные, непонятные для нее звуки. Она поцеловала его в черную, спутанную, курчавую голову. В это время послышался поспешный шум платья графини. Она подошла к ним.
– Василий Дмитрич, я благодарю вас за честь, – сказала графиня смущенным голосом, но который казался строгим Денисову, – но моя дочь так молода, и я думала, что вы, как друг моего сына, обратитесь прежде ко мне. В таком случае вы не поставили бы меня в необходимость отказа.
– Г'афиня, – сказал Денисов с опущенными глазами и виноватым видом, хотел сказать что то еще и запнулся.
Наташа не могла спокойно видеть его таким жалким. Она начала громко всхлипывать.
– Г'афиня, я виноват перед вами, – продолжал Денисов прерывающимся голосом, – но знайте, что я так боготво'ю вашу дочь и всё ваше семейство, что две жизни отдам… – Он посмотрел на графиню и, заметив ее строгое лицо… – Ну п'ощайте, г'афиня, – сказал он, поцеловал ее руку и, не взглянув на Наташу, быстрыми, решительными шагами вышел из комнаты.

На другой день Ростов проводил Денисова, который не хотел более ни одного дня оставаться в Москве. Денисова провожали у цыган все его московские приятели, и он не помнил, как его уложили в сани и как везли первые три станции.
После отъезда Денисова, Ростов, дожидаясь денег, которые не вдруг мог собрать старый граф, провел еще две недели в Москве, не выезжая из дому, и преимущественно в комнате барышень.
Соня была к нему нежнее и преданнее чем прежде. Она, казалось, хотела показать ему, что его проигрыш был подвиг, за который она теперь еще больше любит его; но Николай теперь считал себя недостойным ее.
Он исписал альбомы девочек стихами и нотами, и не простившись ни с кем из своих знакомых, отослав наконец все 43 тысячи и получив росписку Долохова, уехал в конце ноября догонять полк, который уже был в Польше.



После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого .внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.
Вошел смотритель и униженно стал просить его сиятельство подождать только два часика, после которых он для его сиятельства (что будет, то будет) даст курьерских. Смотритель очевидно врал и хотел только получить с проезжего лишние деньги. «Дурно ли это было или хорошо?», спрашивал себя Пьер. «Для меня хорошо, для другого проезжающего дурно, а для него самого неизбежно, потому что ему есть нечего: он говорил, что его прибил за это офицер. А офицер прибил за то, что ему ехать надо было скорее. А я стрелял в Долохова за то, что я счел себя оскорбленным, а Людовика XVI казнили за то, что его считали преступником, а через год убили тех, кто его казнил, тоже за что то. Что дурно? Что хорошо? Что надо любить, что ненавидеть? Для чего жить, и что такое я? Что такое жизнь, что смерть? Какая сила управляет всем?», спрашивал он себя. И не было ответа ни на один из этих вопросов, кроме одного, не логического ответа, вовсе не на эти вопросы. Ответ этот был: «умрешь – всё кончится. Умрешь и всё узнаешь, или перестанешь спрашивать». Но и умереть было страшно.