Фонон
Фонон
<tr valign=top> <td align="center" colspan="2"> |
Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.
Содержание
Необходимость использования квазичастиц
Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов[1] и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Спин фонона равен нулю[2] (в единицах <math>\hbar</math>). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.
Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке
В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы <math>m \ </math>, равновесные положения которых определяются вектором решетки:
- <math>\mathbf{n}=n\mathbf{a}, \ </math>
где <math>n=1,2,...,N \ </math>. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть <math>\xi_n \ </math> — одно из таких смещений атома, занимающего узел <math>n \ </math>. В потенциальной энергии <math>U \ </math> смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:
- <math>U=\frac{1}{2}\gamma \sum_{n=1}^N (\xi_n-\xi_{n-1})^2 \ </math>
Кинетическая энергия выражается через скорости смещений <math>\dot{\xi_n} \ </math> с помощью функции:
- <math>K=\frac{1}{2}m\sum_{n=1}^N \dot{\xi_n}^2 \ </math>.
Введем циклические условия:
- <math>\xi_n=\xi_{n+Na} \ </math>.
Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в <math>\mathbf{k} \ </math>- пространстве с границами:
- <math>-\pi \le \mathbf{k}a<\pi \ </math>.
Внутри этой зоны располагаются <math>N \ </math> неэквивалентных волновых векторов:
- <math>\mathbf{k}=\frac{2\pi \mu}{Na^2} \mathbf{a}, \ </math>
где <math>\mu=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm\frac{N}{2} \ </math>. От смещений отдельных атомов <math>\xi_n \ </math> удобно перейти к новым обобщенным координатам <math>A_k \ </math>, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям <math>\mathbf{k} \ </math>. Для этого введем преобразование:
- <math>\xi_n=N^{-1/2}\sum_{k=1} A_k \exp (i\mathbf{k}\mathbf{n}). \ </math>
Новые переменные должны удовлетворять условию:
- <math>A_k=A_{-k}^* \ </math>.
Таким образом, потенциальная
- <math>U=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \Omega^2(\mathbf{k})A_kA_{-k} \ </math>
и кинетическая энергия
- <math>K=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \dot{A_k}\dot{A_{-k}} \ </math>,
где
- <math>m\Omega^2(\mathbf{k})=m\Omega^2(\mathbf{-k})=4\gamma \sin^2\frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2} \ </math>
выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:
- <math>\Omega(\mathbf{k})=\Omega(\mathbf{-k})=2\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>
Зная частоту фононов как функцию <math>\mathbf{k} \ </math>, можно вычислить фазовую <math>V_f \ </math> и групповую <math>V_g \ </math> скорости соответствующих элементарных возбуждений:
- <math>V_f=\frac{\Omega(\mathbf{k})}{k}=\frac{2}{k}\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>
- <math>V_g=\frac{d\Omega(\mathbf{k})}{dk}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\cos \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>
Акустические фононы
Длинноволновые возбуждения при <math>ka=\frac{2\pi a}{\lambda} \ll 1 \ </math> характеризуются величинами:
- <math>\Omega(\mathbf{k})=ka\sqrt{\frac{\gamma}{m}}=kV_f \ </math>
- <math>V_f=V_g=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>.
Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:
- <math>V_{ac}=\sqrt{\frac{E}{\rho_{1D}}} \ </math>,
где <math>E \ </math> — модуль Юнга, а <math>\rho_{1D}=\frac{m}{a} </math> — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы <math>\gamma(\xi_n-\xi_{n-1}) \ </math> к вызванной ею относительной деформации <math>(\xi_n-\xi_{n-1})/a \ </math>. Он равен
- <math>E=a\gamma \ </math>.
Таким образом, акустическая скорость равна величине:
- <math>V_{ac}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>.
Следовательно, рассматриваемые в пределе <math>ka \ll 1 \ </math> возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.
Тепловые фононы
Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых). Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана. dssp.petrsu.ru/p/tutorial/ftt/Part6/part6_2.htm
Оптические фононы
Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна (<math>ka \to \pi \ </math> или <math>\lambda \to 2a \ </math>), то фазовая скорость будет равна величине:
- <math>V_f \to \frac{2a}{\pi}\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>,
а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твердом теле можно назвать оптическими фононами.
Акустические и оптические фононы
Пожалуйста, улучшите и дополните этот раздел. Замечания о том, что нужно улучшить, могут быть на странице обсуждения статьи.
|
Акустические фононы
Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.
- <math> \omega_i = s_i k</math>,
где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты Si — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .
Оптические фононы
Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см−1) и слабо зависит от волнового вектора.
Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.
Напишите отзыв о статье "Фонон"
Примечания
См. также
Литература
- Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
- Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.-636с.
- Feynman Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — P. 366. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
|
Отрывок, характеризующий Фонон
Когда Анна Михайловна уехала с сыном к графу Кириллу Владимировичу Безухому, графиня Ростова долго сидела одна, прикладывая платок к глазам. Наконец, она позвонила.
– Что вы, милая, – сказала она сердито девушке, которая заставила себя ждать несколько минут. – Не хотите служить, что ли? Так я вам найду место.
Графиня была расстроена горем и унизительною бедностью своей подруги и поэтому была не в духе, что выражалось у нее всегда наименованием горничной «милая» и «вы».
– Виновата с, – сказала горничная.
– Попросите ко мне графа.
Граф, переваливаясь, подошел к жене с несколько виноватым видом, как и всегда.
– Ну, графинюшка! Какое saute au madere [сотэ на мадере] из рябчиков будет, ma chere! Я попробовал; не даром я за Тараску тысячу рублей дал. Стоит!
Он сел подле жены, облокотив молодецки руки на колена и взъерошивая седые волосы.
– Что прикажете, графинюшка?
– Вот что, мой друг, – что это у тебя запачкано здесь? – сказала она, указывая на жилет. – Это сотэ, верно, – прибавила она улыбаясь. – Вот что, граф: мне денег нужно.
Лицо ее стало печально.
– Ах, графинюшка!…
И граф засуетился, доставая бумажник.
– Мне много надо, граф, мне пятьсот рублей надо.
И она, достав батистовый платок, терла им жилет мужа.
– Сейчас, сейчас. Эй, кто там? – крикнул он таким голосом, каким кричат только люди, уверенные, что те, кого они кличут, стремглав бросятся на их зов. – Послать ко мне Митеньку!
Митенька, тот дворянский сын, воспитанный у графа, который теперь заведывал всеми его делами, тихими шагами вошел в комнату.
– Вот что, мой милый, – сказал граф вошедшему почтительному молодому человеку. – Принеси ты мне… – он задумался. – Да, 700 рублей, да. Да смотри, таких рваных и грязных, как тот раз, не приноси, а хороших, для графини.
– Да, Митенька, пожалуйста, чтоб чистенькие, – сказала графиня, грустно вздыхая.
– Ваше сиятельство, когда прикажете доставить? – сказал Митенька. – Изволите знать, что… Впрочем, не извольте беспокоиться, – прибавил он, заметив, как граф уже начал тяжело и часто дышать, что всегда было признаком начинавшегося гнева. – Я было и запамятовал… Сию минуту прикажете доставить?
– Да, да, то то, принеси. Вот графине отдай.
– Экое золото у меня этот Митенька, – прибавил граф улыбаясь, когда молодой человек вышел. – Нет того, чтобы нельзя. Я же этого терпеть не могу. Всё можно.
– Ах, деньги, граф, деньги, сколько от них горя на свете! – сказала графиня. – А эти деньги мне очень нужны.
– Вы, графинюшка, мотовка известная, – проговорил граф и, поцеловав у жены руку, ушел опять в кабинет.
Когда Анна Михайловна вернулась опять от Безухого, у графини лежали уже деньги, всё новенькими бумажками, под платком на столике, и Анна Михайловна заметила, что графиня чем то растревожена.
– Ну, что, мой друг? – спросила графиня.
– Ах, в каком он ужасном положении! Его узнать нельзя, он так плох, так плох; я минутку побыла и двух слов не сказала…
– Annette, ради Бога, не откажи мне, – сказала вдруг графиня, краснея, что так странно было при ее немолодом, худом и важном лице, доставая из под платка деньги.
Анна Михайловна мгновенно поняла, в чем дело, и уж нагнулась, чтобы в должную минуту ловко обнять графиню.
– Вот Борису от меня, на шитье мундира…
Анна Михайловна уж обнимала ее и плакала. Графиня плакала тоже. Плакали они о том, что они дружны; и о том, что они добры; и о том, что они, подруги молодости, заняты таким низким предметом – деньгами; и о том, что молодость их прошла… Но слезы обеих были приятны…
Графиня Ростова с дочерьми и уже с большим числом гостей сидела в гостиной. Граф провел гостей мужчин в кабинет, предлагая им свою охотницкую коллекцию турецких трубок. Изредка он выходил и спрашивал: не приехала ли? Ждали Марью Дмитриевну Ахросимову, прозванную в обществе le terrible dragon, [страшный дракон,] даму знаменитую не богатством, не почестями, но прямотой ума и откровенною простотой обращения. Марью Дмитриевну знала царская фамилия, знала вся Москва и весь Петербург, и оба города, удивляясь ей, втихомолку посмеивались над ее грубостью, рассказывали про нее анекдоты; тем не менее все без исключения уважали и боялись ее.
В кабинете, полном дыма, шел разговор о войне, которая была объявлена манифестом, о наборе. Манифеста еще никто не читал, но все знали о его появлении. Граф сидел на отоманке между двумя курившими и разговаривавшими соседями. Граф сам не курил и не говорил, а наклоняя голову, то на один бок, то на другой, с видимым удовольствием смотрел на куривших и слушал разговор двух соседей своих, которых он стравил между собой.
Один из говоривших был штатский, с морщинистым, желчным и бритым худым лицом, человек, уже приближавшийся к старости, хотя и одетый, как самый модный молодой человек; он сидел с ногами на отоманке с видом домашнего человека и, сбоку запустив себе далеко в рот янтарь, порывисто втягивал дым и жмурился. Это был старый холостяк Шиншин, двоюродный брат графини, злой язык, как про него говорили в московских гостиных. Он, казалось, снисходил до своего собеседника. Другой, свежий, розовый, гвардейский офицер, безупречно вымытый, застегнутый и причесанный, держал янтарь у середины рта и розовыми губами слегка вытягивал дымок, выпуская его колечками из красивого рта. Это был тот поручик Берг, офицер Семеновского полка, с которым Борис ехал вместе в полк и которым Наташа дразнила Веру, старшую графиню, называя Берга ее женихом. Граф сидел между ними и внимательно слушал. Самое приятное для графа занятие, за исключением игры в бостон, которую он очень любил, было положение слушающего, особенно когда ему удавалось стравить двух говорливых собеседников.
– Ну, как же, батюшка, mon tres honorable [почтеннейший] Альфонс Карлыч, – говорил Шиншин, посмеиваясь и соединяя (в чем и состояла особенность его речи) самые народные русские выражения с изысканными французскими фразами. – Vous comptez vous faire des rentes sur l'etat, [Вы рассчитываете иметь доход с казны,] с роты доходец получать хотите?
– Нет с, Петр Николаич, я только желаю показать, что в кавалерии выгод гораздо меньше против пехоты. Вот теперь сообразите, Петр Николаич, мое положение…
Берг говорил всегда очень точно, спокойно и учтиво. Разговор его всегда касался только его одного; он всегда спокойно молчал, пока говорили о чем нибудь, не имеющем прямого к нему отношения. И молчать таким образом он мог несколько часов, не испытывая и не производя в других ни малейшего замешательства. Но как скоро разговор касался его лично, он начинал говорить пространно и с видимым удовольствием.
– Сообразите мое положение, Петр Николаич: будь я в кавалерии, я бы получал не более двухсот рублей в треть, даже и в чине поручика; а теперь я получаю двести тридцать, – говорил он с радостною, приятною улыбкой, оглядывая Шиншина и графа, как будто для него было очевидно, что его успех всегда будет составлять главную цель желаний всех остальных людей.
– Кроме того, Петр Николаич, перейдя в гвардию, я на виду, – продолжал Берг, – и вакансии в гвардейской пехоте гораздо чаще. Потом, сами сообразите, как я мог устроиться из двухсот тридцати рублей. А я откладываю и еще отцу посылаю, – продолжал он, пуская колечко.
– La balance у est… [Баланс установлен…] Немец на обухе молотит хлебец, comme dit le рroverbe, [как говорит пословица,] – перекладывая янтарь на другую сторону ртa, сказал Шиншин и подмигнул графу.
Граф расхохотался. Другие гости, видя, что Шиншин ведет разговор, подошли послушать. Берг, не замечая ни насмешки, ни равнодушия, продолжал рассказывать о том, как переводом в гвардию он уже выиграл чин перед своими товарищами по корпусу, как в военное время ротного командира могут убить, и он, оставшись старшим в роте, может очень легко быть ротным, и как в полку все любят его, и как его папенька им доволен. Берг, видимо, наслаждался, рассказывая всё это, и, казалось, не подозревал того, что у других людей могли быть тоже свои интересы. Но всё, что он рассказывал, было так мило степенно, наивность молодого эгоизма его была так очевидна, что он обезоруживал своих слушателей.