Форма релятивистских объектов

Внешний вид объектов, двигающихся с релятивистской скоростью, существенно зависит от формы объекта и способа его наблюдения. Можно выделить два основных способа: одновременное фиксирование положения точек поверхности и фотографирование при помощи ортогонального или проективного отображения.

Одновременное фиксирование точек поверхности

Рассмотрим систему <math>\textstyle S'</math>, в которой объект покоится. Пусть форма его поверхности задаётся уравнением <math>\textstyle F(x', y', z')=0</math>. Если наблюдатель в системе отсчёта <math>\textstyle S</math>, относительно которой система <math>\textstyle S'</math> двигается со скоростью <math>\textstyle v</math>, одновременно в момент времени <math>\textstyle t=0</math> фиксирует точки поверхности объекта, то, в силу преобразований Лоренца, уравнение поверхности в системе <math>\textstyle S</math> будет иметь вид:

<math>F(\gamma x, \;y, \;z)=0,</math>

где <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math> — фактор Лоренца, а <math>\textstyle c</math> — скорость света. В результате такого наблюдения объект выглядит сжатым в направлении движения (вдоль оси <math>\textstyle x</math>) в <math>\textstyle \gamma</math> раз. Такое сжатие называется лоренцевским и оно является стандартным кинематическим эффектом теории относительности. В частности, стержень, параллельный оси <math>\textstyle x</math>, оказывается короче, а сфера принимает форму эллипсоида.

Ортогональное фотографирование

Другим способом наблюдения является фотографирование объекта. Рассмотрим сначала ортогональную проекцию точки трёхмерного пространства на фотоплёнку. При такой проекции, лучи света падают на фотоплёнку перпендикулярно её плоскости. Это фотографирование осуществляется обычным фотоаппаратом, когда объект находится далеко от объектива (по сравнению с фокусным расстоянием). Другой моделью ортогонального фотоаппарата может быть пластина с множеством отверстий, которые отсекают наклонно падающие лучи света. Ортогональная проекция переводит трёхмерные координаты <math>\textstyle (x,y,z)</math> в координаты фотографии <math>\textstyle (X,Y)</math>, таким образом, что <math>\textstyle X=x</math>, <math>\textstyle Y=y</math>.

Предположим, что фотографирование происходит с очень короткой выдержкой. Для объёмного тела одновременно зарегистрированные световые импульсы проходят разное расстояние от момента испускания. В результате они оказываются испущенными в различное время. Поэтому точки поверхности фотографии отображаются в их различном прошлом.

Расчёт видимой поверхности осуществляется при помощи подстановки в уравнение поверхности <math>\textstyle F(x', y', z')=0</math> преобразований Лоренца,

<math>F\bigr(\gamma(x-vz/c), y, z\bigl)=0,</math>

где время <math>\textstyle t=z/c</math> равно длительности прохождения света от точки на поверхности объекта к фотоплёнке.

Ортогональная фотография куба

Для тел простой геометрической формы расчёт результирующей фотографии при ортогональной проекции осуществляется непосредственным вычислением времени задержки распространения световых импульсов . Рассмотрим, например, двигающийся со скоростью <math>\textstyle v</math> куб. Ниже, на первом рисунке фотоплёнка расположена в плоскости экрана монитора:

На втором рисунке изображён «вид сверху», так что плоскость фотоплёнки перпендикулярна плоскости экрана и проходит по линии <math>\textstyle x</math>. Сигналы от точек <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math> пройдут одинаковое расстояние и зарегистрируются одновременно. Изображение грани куба, обращённой к плёнке, с учётом лоренцевского сжатия имеет длину <math>\textstyle L\sqrt{1-v^2/c^2}</math>. От точки <math>\textstyle C</math>, находящейся в глубине от фотоплёнки, световой сигнал проходит дополнительное расстояние вдоль ребра (перпендикулярно фотоплёнке), поэтому испускается на время <math>\textstyle t=L/c</math> раньше. В это время куб, двигаясь со скоростью <math>\textstyle v</math>, находился левее на расстояние <math>\textstyle vt=(v/c)L</math>. В отличие от фотографии неподвижного куба, при релятивистском движении будет дополнительно видна левая боковая грань, сжатая в <math>\textstyle v/c</math> раз. Результат получается такой же, как и при фотографировании неподвижного куба, повернутого на угол <math>\textstyle \alpha=\arcsin v/c</math>:.

Ортогональная фотография сферы

Аналогичным образом анализируется результат фотографирования быстро летящей сферы:

При ортогональной проекции неподвижной сферы будут видны только точки полусферы, обращённой к фотоаппарату. Например, свет, испущенный из точки <math>\textstyle B</math> в отрицательном направлении оси <math>\textstyle z</math>, моментально поглощается сферой. Быстролетящая сфера выскальзывает вправо из-под испущенного точкой <math>\textstyle B</math> в сторону фотоплёнки светового импульса. В результате на фотографии будет видна часть задней поверхности сферы. Точки же, расположенные на передней по движению поверхности, далее некоторой <math>\textstyle C</math>, видны не будут, так как сфера при движении поглотит испущенные этими точками импульсы. Детальный расчёт показывает, что сфера на фотографии окажется повернутой, но не сжатой. Ниже изображена «фотография» неподвижной сферы повёрнутой «полюсом» к фотоаппарату, и её «фотография» в случае движения со скоростью <math>\textstyle v=0{,}9\,c</math>.

Вращение Террелла — Пенроуза

Тот факт, что сфотографированные релятивистские объекты выглядят не сжатыми, а повёрнутыми, называется вращением Террелла — Пенроуза. На этот эффект независимо друг от друга в 1959 году указали Джеймс Террелл и Роджер Пенроуз . Поэтому иногда этот эффект называется вращением Пенроуза — Террелла, а иногда эффектом Террелла . Вращение Террелла — Пенроуза, при котором происходит поворот релятивистского объекта без его видимой деформации, возникает только при фотографировании с ортогональной проекцией. Для расчёта результата вращения Террелла — Пенроуза может быть использован как учёт времени распространения сигнала, так и формулы для аберрации света.

Проективное фотографирование

Несколько иными будут результаты фотографирования релятивистских объектов при помощи обычного фотоаппарата, осуществляющего центральную проекцию. В этом случае лучи света проходят через диафрагму. Проекция на фотографию возникает в результате быстрого открытия и закрытия диафрагмы:

Такое проектирование отображает трёхмерные координаты точки поверхности объекта <math>\textstyle (x,y,z)</math> в двумерные координаты фотоплёнки <math>\textstyle (X,Y)</math> следующим образом:

<math>X=\frac{x}{z}\,f,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=\frac{y}{z}\,f,</math>

где <math>\textstyle f</math> — расстояние от диафрагмы до фотоплёнки. Момент времени, в который были испущены световые импульсы от точки <math>\textstyle (x,y,z)</math>, отстоит в прошлое от текущего момента <math>\textstyle \bar{t}=0</math> на величину расстояния от диафрагмы: <math>\textstyle t=-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/c</math>. Если подставить в уравнение поверхности <math>\textstyle F(x',y',z')=0</math> преобразования Лоренца, а затем проективные преобразования <math>\textstyle x=zX/f</math>, <math>\textstyle y=zY/f</math>, то получится такое уравнение поверхности объекта на фотографии:

<math>F\left( z\,\gamma\cdot\left[(X/f)+(v/c)\sqrt{1+(X^2+Y^2)/f^2}\right],\;z \cdot (Y/f),\;z\right)=0.</math>

Для каждой точки фотографии <math>\textstyle (X,Y)</math> необходимо решить это уравнение относительно <math>\textstyle z</math>. В ситуации, когда решений несколько, выбирается то, которое соответствует минимальному расстоянию до диафрагмы (остальные точки тела будут перекрыты ближайшей). Зная точку на фотографии <math>\textstyle (X,Y)</math> и время испускания <math>\textstyle t</math>, можно при помощи преобразований Лоренца получить отображаемую точку <math>\textstyle (x',y',z')</math> поверхности [synset].

В результате, при проективном фотографировании, кроме эффекта поворота, аналогичного вращению Террелла — Пенроуза, возникает также видимая деформация формы объекта в виде его изгиба . Ниже приведены «фотографии» куба. Первый рисунок — это неподвижный куб <math>\textstyle v=0</math>, второй — куб летящий со скоростью <math>\textstyle v=0{,}9</math>:

Любой вертикальный стержень, горизонтально летящий мимо фотоаппарата, будет выглядеть изогнутым, так как лучи создающие изображения его центра и концов испускаются в разное время в прошлом. В результате этого концы стержня будут на фотографии загибаться «назад».

Эксперименты по фотографированию релятивистских объектов

Практическая возможность фотографирования объектов, двигающихся со скоростью близкой к скорости света, появилась в конце 60-х годов двадцатого века после изобретения лазеров, способных генерировать ультракороткие импульсы света (10 пс=<math>\textstyle 10^{-11}</math> c). При распространении в воде такой импульс имеет размеры <math>\textstyle l=cn/t=0{,}2</math> см, где <math>\textstyle n</math> — показатель преломления воды. Кроме этого потребовалось разработка ультракороткой выдержки на основе ячейки Керра. При помощи этих устройств И. Дюге сфотографировал световой импульс двигающийся в воде со скоростью 220000 км/c. Вместо объемного тела фотографируется исходный импульс, который разделялся на два параллельно летящих импульса, одновременно входящих в водную среду и находящихся на различном расстоянии от фотокамеры. Фотография этих импульсов, в полном согласии с теорией относительности, демонстрировала эффект вращения Террелла — Пенроуза.

См. также

• Лоренцево сокращение
• Прецессия Томаса

Отрывок, характеризующий Форма релятивистских объектов

Князь Андрей лежал высоко на трех подушках. Бледное лицо его было покойно, глаза закрыты, и видно было, как он ровно дышал.
– Ах, Наташа! – вдруг почти вскрикнула Соня, хватаясь за руку своей кузины и отступая от двери.
– Что? что? – спросила Наташа.
– Это то, то, вот… – сказала Соня с бледным лицом и дрожащими губами.
Наташа тихо затворила дверь и отошла с Соней к окну, не понимая еще того, что ей говорили.
– Помнишь ты, – с испуганным и торжественным лицом говорила Соня, – помнишь, когда я за тебя в зеркало смотрела… В Отрадном, на святках… Помнишь, что я видела?..
– Да, да! – широко раскрывая глаза, сказала Наташа, смутно вспоминая, что тогда Соня сказала что то о князе Андрее, которого она видела лежащим.
– Помнишь? – продолжала Соня. – Я видела тогда и сказала всем, и тебе, и Дуняше. Я видела, что он лежит на постели, – говорила она, при каждой подробности делая жест рукою с поднятым пальцем, – и что он закрыл глаза, и что он покрыт именно розовым одеялом, и что он сложил руки, – говорила Соня, убеждаясь, по мере того как она описывала виденные ею сейчас подробности, что эти самые подробности она видела тогда. Тогда она ничего не видела, но рассказала, что видела то, что ей пришло в голову; но то, что она придумала тогда, представлялось ей столь же действительным, как и всякое другое воспоминание. То, что она тогда сказала, что он оглянулся на нее и улыбнулся и был покрыт чем то красным, она не только помнила, но твердо была убеждена, что еще тогда она сказала и видела, что он был покрыт розовым, именно розовым одеялом, и что глаза его были закрыты.
– Да, да, именно розовым, – сказала Наташа, которая тоже теперь, казалось, помнила, что было сказано розовым, и в этом самом видела главную необычайность и таинственность предсказания.
– Но что же это значит? – задумчиво сказала Наташа.
– Ах, я не знаю, как все это необычайно! – сказала Соня, хватаясь за голову.
Через несколько минут князь Андрей позвонил, и Наташа вошла к нему; а Соня, испытывая редко испытанное ею волнение и умиление, осталась у окна, обдумывая всю необычайность случившегося.
В этот день был случай отправить письма в армию, и графиня писала письмо сыну.
– Соня, – сказала графиня, поднимая голову от письма, когда племянница проходила мимо нее. – Соня, ты не напишешь Николеньке? – сказала графиня тихим, дрогнувшим голосом, и во взгляде ее усталых, смотревших через очки глаз Соня прочла все, что разумела графиня этими словами. В этом взгляде выражались и мольба, и страх отказа, и стыд за то, что надо было просить, и готовность на непримиримую ненависть в случае отказа.
Соня подошла к графине и, став на колени, поцеловала ее руку.
– Я напишу, maman, – сказала она.
Соня была размягчена, взволнована и умилена всем тем, что происходило в этот день, в особенности тем таинственным совершением гаданья, которое она сейчас видела. Теперь, когда она знала, что по случаю возобновления отношений Наташи с князем Андреем Николай не мог жениться на княжне Марье, она с радостью почувствовала возвращение того настроения самопожертвования, в котором она любила и привыкла жить. И со слезами на глазах и с радостью сознания совершения великодушного поступка она, несколько раз прерываясь от слез, которые отуманивали ее бархатные черные глаза, написала то трогательное письмо, получение которого так поразило Николая.


На гауптвахте, куда был отведен Пьер, офицер и солдаты, взявшие его, обращались с ним враждебно, но вместе с тем и уважительно. Еще чувствовалось в их отношении к нему и сомнение о том, кто он такой (не очень ли важный человек), и враждебность вследствие еще свежей их личной борьбы с ним.
Но когда, в утро другого дня, пришла смена, то Пьер почувствовал, что для нового караула – для офицеров и солдат – он уже не имел того смысла, который имел для тех, которые его взяли. И действительно, в этом большом, толстом человеке в мужицком кафтане караульные другого дня уже не видели того живого человека, который так отчаянно дрался с мародером и с конвойными солдатами и сказал торжественную фразу о спасении ребенка, а видели только семнадцатого из содержащихся зачем то, по приказанию высшего начальства, взятых русских. Ежели и было что нибудь особенное в Пьере, то только его неробкий, сосредоточенно задумчивый вид и французский язык, на котором он, удивительно для французов, хорошо изъяснялся. Несмотря на то, в тот же день Пьера соединили с другими взятыми подозрительными, так как отдельная комната, которую он занимал, понадобилась офицеру.
Все русские, содержавшиеся с Пьером, были люди самого низкого звания. И все они, узнав в Пьере барина, чуждались его, тем более что он говорил по французски. Пьер с грустью слышал над собою насмешки.
На другой день вечером Пьер узнал, что все эти содержащиеся (и, вероятно, он в том же числе) должны были быть судимы за поджигательство. На третий день Пьера водили с другими в какой то дом, где сидели французский генерал с белыми усами, два полковника и другие французы с шарфами на руках. Пьеру, наравне с другими, делали с той, мнимо превышающею человеческие слабости, точностью и определительностью, с которой обыкновенно обращаются с подсудимыми, вопросы о том, кто он? где он был? с какою целью? и т. п.
Вопросы эти, оставляя в стороне сущность жизненного дела и исключая возможность раскрытия этой сущности, как и все вопросы, делаемые на судах, имели целью только подставление того желобка, по которому судящие желали, чтобы потекли ответы подсудимого и привели его к желаемой цели, то есть к обвинению. Как только он начинал говорить что нибудь такое, что не удовлетворяло цели обвинения, так принимали желобок, и вода могла течь куда ей угодно. Кроме того, Пьер испытал то же, что во всех судах испытывает подсудимый: недоумение, для чего делали ему все эти вопросы. Ему чувствовалось, что только из снисходительности или как бы из учтивости употреблялась эта уловка подставляемого желобка. Он знал, что находился во власти этих людей, что только власть привела его сюда, что только власть давала им право требовать ответы на вопросы, что единственная цель этого собрания состояла в том, чтоб обвинить его. И поэтому, так как была власть и было желание обвинить, то не нужно было и уловки вопросов и суда. Очевидно было, что все ответы должны были привести к виновности. На вопрос, что он делал, когда его взяли, Пьер отвечал с некоторою трагичностью, что он нес к родителям ребенка, qu'il avait sauve des flammes [которого он спас из пламени]. – Для чего он дрался с мародером? Пьер отвечал, что он защищал женщину, что защита оскорбляемой женщины есть обязанность каждого человека, что… Его остановили: это не шло к делу. Для чего он был на дворе загоревшегося дома, на котором его видели свидетели? Он отвечал, что шел посмотреть, что делалось в Москве. Его опять остановили: у него не спрашивали, куда он шел, а для чего он находился подле пожара? Кто он? повторили ему первый вопрос, на который он сказал, что не хочет отвечать. Опять он отвечал, что не может сказать этого.
– Запишите, это нехорошо. Очень нехорошо, – строго сказал ему генерал с белыми усами и красным, румяным лицом.
На четвертый день пожары начались на Зубовском валу.
Пьера с тринадцатью другими отвели на Крымский Брод, в каретный сарай купеческого дома. Проходя по улицам, Пьер задыхался от дыма, который, казалось, стоял над всем городом. С разных сторон виднелись пожары. Пьер тогда еще не понимал значения сожженной Москвы и с ужасом смотрел на эти пожары.
В каретном сарае одного дома у Крымского Брода Пьер пробыл еще четыре дня и во время этих дней из разговора французских солдат узнал, что все содержащиеся здесь ожидали с каждым днем решения маршала. Какого маршала, Пьер не мог узнать от солдат. Для солдата, очевидно, маршал представлялся высшим и несколько таинственным звеном власти.
Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х
8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n'avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.