Формула Кардано
Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
- <math>y^3+py+q=0</math>
над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида
- <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
при помощи замены переменной
- <math>x = y - \frac{b}{3a}</math>
может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
- <math>p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2},</math>
- <math>q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}.</math>
Содержание
Формула
Определим Q:
<math> Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2.</math>
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:
- Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
- Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
- Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числаК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3607 дней][1].
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:
<math>y_1 = \alpha + \beta, </math>
<math> y_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3}, </math>
где
- <math> \alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} }, </math>
- <math> \beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} }, </math>
Дискриминант многочлена <math>y^3+py+q</math> при этом равен <math>\Delta = - 108 Q</math>.
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений <math>\alpha</math> необходимо брать такое <math>\beta</math>, для которого выполняется условие <math>\alpha\beta=-p/3</math> (такое значение <math>\beta</math> всегда существует).
Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения <math>\alpha, \beta</math>.
Представим уравнение в виде
- <math>\prod^3_{i=1}(y-y_i) = 0 \qquad (1)</math>
где <math>y_i</math> - корни уравнения.Тогда
- <math>\prod^3_{i=1}(y_i) = -q. \qquad (2)</math>
Примем:
- <math>\ -q=\alpha^3 + \beta^3 \qquad (3)</math>
Тогда, решая уравнение (3) получим
- <math>\ -q=( \alpha + \beta )(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha \beta) \qquad (4)</math>
Одним из корней будет <math>\ y=\alpha+\beta</math>. Подставив его в исходное уравнение, получим:
- <math>\alpha^3 + \beta^3+ (3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)+q=0</math>
Подставляя q из (3), приходим к системе:
- <math>\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.</math>
- Зная, что в общем случае сумма <math>\alpha+\beta</math> не равна нулю получаем систему
- <math>\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.</math>
которая равносильна системе
- <math>\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27}=m \\ \alpha^3 + \beta^3=-q=-n\end{matrix}\right.</math>
Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней <math>\alpha^3</math> и <math>\beta^3</math> квадратного уравнения:
- <math>\ z^2+nz+m=0</math>
Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена
- <math>\ \alpha^2 + \beta^2 - \alpha \beta </math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Формула Кардано"
Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1968 г. — с. 47.
Примечания
- ↑ [habrahabr.ru/post/246747/ Откуда есть пошло комплексное число]. Проверено 28 июля 2016.
Ссылки
- [www.integraloff.net/kub_urav/index.php Онлайн решение кубического уравнения]
- algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
- www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Формула Кардано
– Велел.– Да пойдемте сами. Я ведь зашел только спросить Денисова о вчерашнем приказе. Получили, Денисов?
– Нет еще. А вы куда?
– Вот хочу молодого человека научить, как ковать лошадь, – сказал Телянин.
Они вышли на крыльцо и в конюшню. Поручик показал, как делать заклепку, и ушел к себе.
Когда Ростов вернулся, на столе стояла бутылка с водкой и лежала колбаса. Денисов сидел перед столом и трещал пером по бумаге. Он мрачно посмотрел в лицо Ростову.
– Ей пишу, – сказал он.
Он облокотился на стол с пером в руке, и, очевидно обрадованный случаю быстрее сказать словом всё, что он хотел написать, высказывал свое письмо Ростову.
– Ты видишь ли, дг'уг, – сказал он. – Мы спим, пока не любим. Мы дети пг`axa… а полюбил – и ты Бог, ты чист, как в пег'вый день создания… Это еще кто? Гони его к чог'ту. Некогда! – крикнул он на Лаврушку, который, нисколько не робея, подошел к нему.
– Да кому ж быть? Сами велели. Вахмистр за деньгами пришел.
Денисов сморщился, хотел что то крикнуть и замолчал.
– Сквег'но дело, – проговорил он про себя. – Сколько там денег в кошельке осталось? – спросил он у Ростова.
– Семь новых и три старых.
– Ах,сквег'но! Ну, что стоишь, чучела, пошли вахмистг'а, – крикнул Денисов на Лаврушку.
– Пожалуйста, Денисов, возьми у меня денег, ведь у меня есть, – сказал Ростов краснея.
– Не люблю у своих занимать, не люблю, – проворчал Денисов.
– А ежели ты у меня не возьмешь деньги по товарищески, ты меня обидишь. Право, у меня есть, – повторял Ростов.
– Да нет же.
И Денисов подошел к кровати, чтобы достать из под подушки кошелек.
– Ты куда положил, Ростов?
– Под нижнюю подушку.
– Да нету.
Денисов скинул обе подушки на пол. Кошелька не было.
– Вот чудо то!
– Постой, ты не уронил ли? – сказал Ростов, по одной поднимая подушки и вытрясая их.
Он скинул и отряхнул одеяло. Кошелька не было.
– Уж не забыл ли я? Нет, я еще подумал, что ты точно клад под голову кладешь, – сказал Ростов. – Я тут положил кошелек. Где он? – обратился он к Лаврушке.
– Я не входил. Где положили, там и должен быть.
– Да нет…
– Вы всё так, бросите куда, да и забудете. В карманах то посмотрите.
– Нет, коли бы я не подумал про клад, – сказал Ростов, – а то я помню, что положил.
Лаврушка перерыл всю постель, заглянул под нее, под стол, перерыл всю комнату и остановился посреди комнаты. Денисов молча следил за движениями Лаврушки и, когда Лаврушка удивленно развел руками, говоря, что нигде нет, он оглянулся на Ростова.
– Г'остов, ты не школьнич…
Ростов почувствовал на себе взгляд Денисова, поднял глаза и в то же мгновение опустил их. Вся кровь его, бывшая запертою где то ниже горла, хлынула ему в лицо и глаза. Он не мог перевести дыхание.
– И в комнате то никого не было, окромя поручика да вас самих. Тут где нибудь, – сказал Лаврушка.
– Ну, ты, чог'това кукла, повог`ачивайся, ищи, – вдруг закричал Денисов, побагровев и с угрожающим жестом бросаясь на лакея. – Чтоб был кошелек, а то запог'ю. Всех запог'ю!
Ростов, обходя взглядом Денисова, стал застегивать куртку, подстегнул саблю и надел фуражку.
– Я тебе говог'ю, чтоб был кошелек, – кричал Денисов, тряся за плечи денщика и толкая его об стену.
– Денисов, оставь его; я знаю кто взял, – сказал Ростов, подходя к двери и не поднимая глаз.
Денисов остановился, подумал и, видимо поняв то, на что намекал Ростов, схватил его за руку.
– Вздог'! – закричал он так, что жилы, как веревки, надулись у него на шее и лбу. – Я тебе говог'ю, ты с ума сошел, я этого не позволю. Кошелек здесь; спущу шкуг`у с этого мег`завца, и будет здесь.