Формула Карди

Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Джоном Карди (англ.) на основании рассуждений конформной теории поля (англ.), она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами <math>[a,b]</math> и <math>[c,d]</math> границы односвязной области <math>\Omega</math> в задаче критической перколяции равна

<math>

\Pi(\Omega;[a,b],[c,d])= \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)\Gamma(4/3)} \eta^{1/3} {}_2F_1\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}; \frac{4}{3},\eta \right) = 1- \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)\Gamma(4/3)} (1-\eta)^{1/3} {}_2F_1\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}; \frac{4}{3},1-\eta \right) , </math> где <math>{}_2F_1</math> — гипергеометрическая функция, а <math>\eta</math> — двойное отношение

<math>

\eta= \frac{x_4-x_3}{x_3-x_1} :\frac{x_4-x_2}{x_2-x_1} </math> четырёх образов <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math> точек <math>a,b,c,d</math> при конформном отображении области <math>\Omega</math> в верхнюю полуплоскость.

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область <math>\Omega</math> в правильный треугольник со стороной 1, а точки <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> в вершины этого треугольника, переводит точку <math>d</math> в находящуюся на расстоянии <math>x</math> от вершины-образа точки <math>c</math>, то искомая вероятность равна <math>x</math>.

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.

Формула

Исторические предпосылки

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд (англ.) предложил следующую задачу:

An equal number of white and black balls of equal size are thrown into a rectangular box, what is the probability that there will be contiguous contact of white balls from one end of the box to the opposite end ? As a special example, suppose there are 30 balls in the length of the box, 10 in the width and 5 (or 10) layers deep

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе, исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза.

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др., в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман (англ.) высказывает гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.

Постановка задачи

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область <math>\Omega</math> на плоскости, с четырьмя отмеченными точками <math>a,b,c,d</math> на границе. При каждом <math>\delta>0</math>, эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) <math>\delta</math> — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф <math>\Omega^{\delta}</math> с отмеченными точками <math>a^\delta,b^\delta,c^\delta,d^\delta</math>.

Для каждого <math>\delta>0</math>, находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность <math>\Pi_{\delta}</math> это вероятность наличия пути от дуги <math>[a^\delta, b^\delta]</math> к дуге <math>[c^\delta, d^\delta]</math>, идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей <math>\Pi_{\delta}</math> при <math>\delta</math>, стремящемся к нулю:

<math>

\Pi(\Omega,[a,b],[c,d]):=\lim_{\delta\to 0} \Pi_{\delta}. </math>

Ответ Карди

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями <math>\Omega</math> и <math>\Omega'</math> есть конформное отображение <math>\varphi</math>, переводящее точки <math>a,b,c,d</math> на границе <math>\Omega</math> в точки <math>a',b',c',d'</math> на границе <math>\Omega'</math>, то

<math>\Pi(\Omega;[a,b],[c,d])=\Pi(\Omega';[a',b'],[c',d']).</math>

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек <math>a,b,c,d</math> могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости <math>\C_+=\{Im \, z>0\}</math> для точек <math>0,1-u,1,\infty</math> вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию <math>{}_2F_1</math> как

<math>

\Pi(\C_+;[1-u,1],[\infty,0])= \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)\Gamma(4/3)} u^{1/3} {}_2F_1\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}; \frac{4}{3},u \right). </math> Это представление может быть переписано как интеграл

<math>

\Pi(\C_+;[1-u,1],[\infty,0])= \frac{1}{\int_0^1 (v(1-v))^{-2/3} dv} \int_0^u (v(1-v))^{-2/3} dv. </math>

Переформулировка Карлесона

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил, что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков <math>[a,b], [c,d]</math>, который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Доказательство для случая треугольной решётки

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области <math>\Omega_{\delta}</math> с тремя отмеченными точками <math>A_{\delta}, B_{\delta}, C_{\delta}</math> на границе, рассматривается функция <math>h_{C,\delta}(z)</math> на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги <math>A_{\delta}C_{\delta}</math> до дуги <math>B_{\delta}C_{\delta}</math> границы, отделяющего от дуги <math>A_{\delta}B_{\delta}</math> точку <math>z</math>. Вероятность пробоя <math>\Pi_{\delta}(\Omega_{\delta};[A_{\delta}B_{\delta}],[C_{\delta}D_{\delta}])</math> задаётся значением этой функции в граничной точке <math>D_{\delta}</math>.

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

<math>h_{\delta}=h_{A,\delta}(z)+ h_{B,\delta}(z)+ h_{C,\delta}(z),</math>

так и для их линейной комбинации

<math>s_{\delta}=h_{A,\delta}(z)+ \tau h_{B,\delta}(z)+\tau h_{C,\delta}(z), \quad \tau=e^{2\pi i/3},</math>

дискретно-антиголоморфный дифференциал <math>\bar{\partial}</math> оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага <math>\delta</math>). Отсюда следует голоморфность предельных функций <math>h=\lim_{\delta\to 0} h_{\delta}</math> и <math>s=\lim_{\delta\to 0} s_{\delta}</math>. Наконец, функция <math>h</math> голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область <math>\Omega</math> в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки <math>0, 1, e^{\pi i/3}</math>; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

Ссылки

• Austin D. [www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-percolation Percolation: Slipping through the Cracks] (англ.). American Mathematical Society Feature Column. Проверено 8 сентября 2011. [www.webcitation.org/67fmkUTE3 Архивировано из первоисточника 15 мая 2012].

Литература

• Эфрос А.Л. [vivovoco.astronet.ru/VV/Q_PROJECT/EFROS/EFROS.PDF Физика и геометрия беспорядка]. — Библиотечка «Квант». — Москва: Наука, 1982. — 265 с с.
• Cardy J. [arxiv.org/pdf/hep-th/9111026v1 Critical percolation in finite geometries] // J. Phys. A. — 1992. — Т. 25. — С. L201-L206.
• Smirnov S. [arxiv.org/pdf/0909.4499v1 Critical percolation in the plane. I. Conformal invariance and Cardy’s formula. II. Continuum scaling limit.].
• Smirnov S. [www.unige.ch/~smirnov/papers/percras-j.pdf Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits] // C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I. — 2001. — Vol. 333. — P. 239—244.
• Smirnov S. [www.unige.ch/~smirnov/papers/icmp-final.pdf Critical percolation and conformal invariance] (англ.) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisbon, Portugal, July 28 — August 2, 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). — Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. — P. 99—112. — ISBN 978-9812562012.
• Beffara V. [perso.ens-lyon.fr/vincent.beffara/files/Proceedings-Toronto.pdf Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way]. [www.webcitation.org/67fmlVObq Архивировано из первоисточника 15 мая 2012].
• Kesten H. Some Highlights on Percolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. — Т. 1. — С. 345--362. — ISBN 978-7040086904.

Отрывок, характеризующий Формула Карди

Соня вздохнула и недоверчиво покачала головой.
– Ежели бы были причины… – начала она. Но Наташа угадывая ее сомнение, испуганно перебила ее.
– Соня, нельзя сомневаться в нем, нельзя, нельзя, ты понимаешь ли? – прокричала она.
– Любит ли он тебя?
– Любит ли? – повторила Наташа с улыбкой сожаления о непонятливости своей подруги. – Ведь ты прочла письмо, ты видела его?
– Но если он неблагородный человек?
– Он!… неблагородный человек? Коли бы ты знала! – говорила Наташа.
– Если он благородный человек, то он или должен объявить свое намерение, или перестать видеться с тобой; и ежели ты не хочешь этого сделать, то я сделаю это, я напишу ему, я скажу папа, – решительно сказала Соня.
– Да я жить не могу без него! – закричала Наташа.
– Наташа, я не понимаю тебя. И что ты говоришь! Вспомни об отце, о Nicolas.
– Мне никого не нужно, я никого не люблю, кроме его. Как ты смеешь говорить, что он неблагороден? Ты разве не знаешь, что я его люблю? – кричала Наташа. – Соня, уйди, я не хочу с тобой ссориться, уйди, ради Бога уйди: ты видишь, как я мучаюсь, – злобно кричала Наташа сдержанно раздраженным и отчаянным голосом. Соня разрыдалась и выбежала из комнаты.
Наташа подошла к столу и, не думав ни минуты, написала тот ответ княжне Марье, который она не могла написать целое утро. В письме этом она коротко писала княжне Марье, что все недоразуменья их кончены, что, пользуясь великодушием князя Андрея, который уезжая дал ей свободу, она просит ее забыть всё и простить ее ежели она перед нею виновата, но что она не может быть его женой. Всё это ей казалось так легко, просто и ясно в эту минуту.

В пятницу Ростовы должны были ехать в деревню, а граф в среду поехал с покупщиком в свою подмосковную.
В день отъезда графа, Соня с Наташей были званы на большой обед к Карагиным, и Марья Дмитриевна повезла их. На обеде этом Наташа опять встретилась с Анатолем, и Соня заметила, что Наташа говорила с ним что то, желая не быть услышанной, и всё время обеда была еще более взволнована, чем прежде. Когда они вернулись домой, Наташа начала первая с Соней то объяснение, которого ждала ее подруга.
– Вот ты, Соня, говорила разные глупости про него, – начала Наташа кротким голосом, тем голосом, которым говорят дети, когда хотят, чтобы их похвалили. – Мы объяснились с ним нынче.
– Ну, что же, что? Ну что ж он сказал? Наташа, как я рада, что ты не сердишься на меня. Говори мне всё, всю правду. Что же он сказал?
Наташа задумалась.
– Ах Соня, если бы ты знала его так, как я! Он сказал… Он спрашивал меня о том, как я обещала Болконскому. Он обрадовался, что от меня зависит отказать ему.
Соня грустно вздохнула.
– Но ведь ты не отказала Болконскому, – сказала она.
– А может быть я и отказала! Может быть с Болконским всё кончено. Почему ты думаешь про меня так дурно?
– Я ничего не думаю, я только не понимаю этого…
– Подожди, Соня, ты всё поймешь. Увидишь, какой он человек. Ты не думай дурное ни про меня, ни про него.
– Я ни про кого не думаю дурное: я всех люблю и всех жалею. Но что же мне делать?
Соня не сдавалась на нежный тон, с которым к ней обращалась Наташа. Чем размягченнее и искательнее было выражение лица Наташи, тем серьезнее и строже было лицо Сони.
– Наташа, – сказала она, – ты просила меня не говорить с тобой, я и не говорила, теперь ты сама начала. Наташа, я не верю ему. Зачем эта тайна?
– Опять, опять! – перебила Наташа.
– Наташа, я боюсь за тебя.
– Чего бояться?
– Я боюсь, что ты погубишь себя, – решительно сказала Соня, сама испугавшись того что она сказала.
Лицо Наташи опять выразило злобу.
– И погублю, погублю, как можно скорее погублю себя. Не ваше дело. Не вам, а мне дурно будет. Оставь, оставь меня. Я ненавижу тебя.
– Наташа! – испуганно взывала Соня.
– Ненавижу, ненавижу! И ты мой враг навсегда!
Наташа выбежала из комнаты.
Наташа не говорила больше с Соней и избегала ее. С тем же выражением взволнованного удивления и преступности она ходила по комнатам, принимаясь то за то, то за другое занятие и тотчас же бросая их.
Как это ни тяжело было для Сони, но она, не спуская глаз, следила за своей подругой.
Накануне того дня, в который должен был вернуться граф, Соня заметила, что Наташа сидела всё утро у окна гостиной, как будто ожидая чего то и что она сделала какой то знак проехавшему военному, которого Соня приняла за Анатоля.
Соня стала еще внимательнее наблюдать свою подругу и заметила, что Наташа была всё время обеда и вечер в странном и неестественном состоянии (отвечала невпопад на делаемые ей вопросы, начинала и не доканчивала фразы, всему смеялась).
После чая Соня увидала робеющую горничную девушку, выжидавшую ее у двери Наташи. Она пропустила ее и, подслушав у двери, узнала, что опять было передано письмо. И вдруг Соне стало ясно, что у Наташи был какой нибудь страшный план на нынешний вечер. Соня постучалась к ней. Наташа не пустила ее.
«Она убежит с ним! думала Соня. Она на всё способна. Нынче в лице ее было что то особенно жалкое и решительное. Она заплакала, прощаясь с дяденькой, вспоминала Соня. Да это верно, она бежит с ним, – но что мне делать?» думала Соня, припоминая теперь те признаки, которые ясно доказывали, почему у Наташи было какое то страшное намерение. «Графа нет. Что мне делать, написать к Курагину, требуя от него объяснения? Но кто велит ему ответить? Писать Пьеру, как просил князь Андрей в случае несчастия?… Но может быть, в самом деле она уже отказала Болконскому (она вчера отослала письмо княжне Марье). Дяденьки нет!» Сказать Марье Дмитриевне, которая так верила в Наташу, Соне казалось ужасно. «Но так или иначе, думала Соня, стоя в темном коридоре: теперь или никогда пришло время доказать, что я помню благодеяния их семейства и люблю Nicolas. Нет, я хоть три ночи не буду спать, а не выйду из этого коридора и силой не пущу ее, и не дам позору обрушиться на их семейство», думала она.


Анатоль последнее время переселился к Долохову. План похищения Ростовой уже несколько дней был обдуман и приготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав у двери Наташу, решилась оберегать ее, план этот должен был быть приведен в исполнение. Наташа в десять часов вечера обещала выйти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был посадить ее в приготовленную тройку и везти за 60 верст от Москвы в село Каменку, где был приготовлен расстриженный поп, который должен был обвенчать их. В Каменке и была готова подстава, которая должна была вывезти их на Варшавскую дорогу и там на почтовых они должны были скакать за границу.
У Анатоля были и паспорт, и подорожная, и десять тысяч денег, взятые у сестры, и десять тысяч, занятые через посредство Долохова.
Два свидетеля – Хвостиков, бывший приказный, которого употреблял для игры Долохов и Макарин, отставной гусар, добродушный и слабый человек, питавший беспредельную любовь к Курагину – сидели в первой комнате за чаем.
В большом кабинете Долохова, убранном от стен до потолка персидскими коврами, медвежьими шкурами и оружием, сидел Долохов в дорожном бешмете и сапогах перед раскрытым бюро, на котором лежали счеты и пачки денег. Анатоль в расстегнутом мундире ходил из той комнаты, где сидели свидетели, через кабинет в заднюю комнату, где его лакей француз с другими укладывал последние вещи. Долохов считал деньги и записывал.
– Ну, – сказал он, – Хвостикову надо дать две тысячи.
– Ну и дай, – сказал Анатоль.
– Макарка (они так звали Макарина), этот бескорыстно за тебя в огонь и в воду. Ну вот и кончены счеты, – сказал Долохов, показывая ему записку. – Так?
– Да, разумеется, так, – сказал Анатоль, видимо не слушавший Долохова и с улыбкой, не сходившей у него с лица, смотревший вперед себя.
Долохов захлопнул бюро и обратился к Анатолю с насмешливой улыбкой.
– А знаешь что – брось всё это: еще время есть! – сказал он.
– Дурак! – сказал Анатоль. – Перестань говорить глупости. Ежели бы ты знал… Это чорт знает, что такое!
– Право брось, – сказал Долохов. – Я тебе дело говорю. Разве это шутка, что ты затеял?
– Ну, опять, опять дразнить? Пошел к чорту! А?… – сморщившись сказал Анатоль. – Право не до твоих дурацких шуток. – И он ушел из комнаты.
Долохов презрительно и снисходительно улыбался, когда Анатоль вышел.
– Ты постой, – сказал он вслед Анатолю, – я не шучу, я дело говорю, поди, поди сюда.
Анатоль опять вошел в комнату и, стараясь сосредоточить внимание, смотрел на Долохова, очевидно невольно покоряясь ему.
– Ты меня слушай, я тебе последний раз говорю. Что мне с тобой шутить? Разве я тебе перечил? Кто тебе всё устроил, кто попа нашел, кто паспорт взял, кто денег достал? Всё я.
– Ну и спасибо тебе. Ты думаешь я тебе не благодарен? – Анатоль вздохнул и обнял Долохова.
– Я тебе помогал, но всё же я тебе должен правду сказать: дело опасное и, если разобрать, глупое. Ну, ты ее увезешь, хорошо. Разве это так оставят? Узнается дело, что ты женат. Ведь тебя под уголовный суд подведут…
– Ах! глупости, глупости! – опять сморщившись заговорил Анатоль. – Ведь я тебе толковал. А? – И Анатоль с тем особенным пристрастием (которое бывает у людей тупых) к умозаключению, до которого они дойдут своим умом, повторил то рассуждение, которое он раз сто повторял Долохову. – Ведь я тебе толковал, я решил: ежели этот брак будет недействителен, – cказал он, загибая палец, – значит я не отвечаю; ну а ежели действителен, всё равно: за границей никто этого не будет знать, ну ведь так? И не говори, не говори, не говори!
– Право, брось! Ты только себя свяжешь…
– Убирайся к чорту, – сказал Анатоль и, взявшись за волосы, вышел в другую комнату и тотчас же вернулся и с ногами сел на кресло близко перед Долоховым. – Это чорт знает что такое! А? Ты посмотри, как бьется! – Он взял руку Долохова и приложил к своему сердцу. – Ah! quel pied, mon cher, quel regard! Une deesse!! [О! Какая ножка, мой друг, какой взгляд! Богиня!!] A?
Долохов, холодно улыбаясь и блестя своими красивыми, наглыми глазами, смотрел на него, видимо желая еще повеселиться над ним.