Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение

Функция распределения <math>F(x)</math> называется устойчивой, если для любых действительных чисел <math>a_{1} > 0, a_{2} > 0, b_{1}, b_{2}</math> найдутся числа <math>a > 0, b</math> такие, что имеет место равенство: <math>F(a_{1}x+b_{1}) * F(a_{2}x+b_{2}) = F(ax+b)</math>, где * - операция свёртки. Если <math>\phi(t)</math> является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых <math>a_{1} > 0, a_{2} > 0</math> найдутся числа <math>a > 0, b</math> такие, что <math>\phi ( \frac{t}{a_1} ) \phi ( \frac{t}{a_2} ) = \phi ( \frac{t}{a} ) {e}^{ -i t b }</math>.

Замечания

• Если <math>F_X</math> — функция устойчивого распределения, то <math>\forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}</math>, такие что

<math>F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = F_X * \cdots * F(x),\quad \forall x \in \mathbb{R}</math>,

где <math>*</math> обозначает свёртку.

• Если <math>\phi_X</math> — характеристическая функция устойчивого распределения, то <math>\forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}</math>, такие что

<math>\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}</math>.

Свойства устойчивых распределений

• Пусть <math>\xi_{1}, \xi_{2}, ..., \xi_{n}</math> - независимые одинаково распределённые случайные величины и <math>\eta_{n} = \frac{1}{\beta_{n}}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-\alpha_{n}</math>, где <math>\beta_{n} > 0, \alpha_{n}</math> - некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если <math>F_{n}(x)</math> - функция распределения случайных величин <math>\eta_{n}</math>, то предельными распределениями для <math>F_{n}(x)</math> при <math>n \to \infty</math> могут быть лишь устойчивые распределения. Обратно, для любого устойчивого распределения <math>F(x)</math> существует последовательность случайных величин <math>\eta_{n} = \frac{1}{\beta_{n}}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-\alpha_{n}</math> такая, что <math>F_{n}(x)</math> сходится к <math>F(x)</math> при <math>n \to \infty</math>.

• (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:

<math>\ln \phi(t) = \left\{

\begin{matrix} it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0 \\ 0, & t = 0. \end{matrix} \right., </math> где <math>0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1,</math> и

<math>

G(t,\alpha) = \left\{ \begin{matrix} \mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1 \\ \frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1 \end{matrix} \right.. </math>

См. также

• Бесконечно делимое распределение.

Литература

• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

</center>

Отрывок, характеризующий Устойчивое распределение

– Нет, mon pere. [батюшка.]
Как ни неудачно попала m lle Bourienne на предмет разговора, она не остановилась и болтала об оранжереях, о красоте нового распустившегося цветка, и князь после супа смягчился.
После обеда он прошел к невестке. Маленькая княгиня сидела за маленьким столиком и болтала с Машей, горничной. Она побледнела, увидав свекора.
Маленькая княгиня очень переменилась. Она скорее была дурна, нежели хороша, теперь. Щеки опустились, губа поднялась кверху, глаза были обтянуты книзу.
– Да, тяжесть какая то, – отвечала она на вопрос князя, что она чувствует.
– Не нужно ли чего?
– Нет, merci, mon pere. [благодарю, батюшка.]
– Ну, хорошо, хорошо.
Он вышел и дошел до официантской. Алпатыч, нагнув голову, стоял в официантской.
– Закидана дорога?
– Закидана, ваше сиятельство; простите, ради Бога, по одной глупости.
Князь перебил его и засмеялся своим неестественным смехом.
– Ну, хорошо, хорошо.
Он протянул руку, которую поцеловал Алпатыч, и прошел в кабинет.
Вечером приехал князь Василий. Его встретили на прешпекте (так назывался проспект) кучера и официанты, с криком провезли его возки и сани к флигелю по нарочно засыпанной снегом дороге.
Князю Василью и Анатолю были отведены отдельные комнаты.
Анатоль сидел, сняв камзол и подпершись руками в бока, перед столом, на угол которого он, улыбаясь, пристально и рассеянно устремил свои прекрасные большие глаза. На всю жизнь свою он смотрел как на непрерывное увеселение, которое кто то такой почему то обязался устроить для него. Так же и теперь он смотрел на свою поездку к злому старику и к богатой уродливой наследнице. Всё это могло выйти, по его предположению, очень хорошо и забавно. А отчего же не жениться, коли она очень богата? Это никогда не мешает, думал Анатоль.
Он выбрился, надушился с тщательностью и щегольством, сделавшимися его привычкою, и с прирожденным ему добродушно победительным выражением, высоко неся красивую голову, вошел в комнату к отцу. Около князя Василья хлопотали его два камердинера, одевая его; он сам оживленно оглядывался вокруг себя и весело кивнул входившему сыну, как будто он говорил: «Так, таким мне тебя и надо!»
– Нет, без шуток, батюшка, она очень уродлива? А? – спросил он, как бы продолжая разговор, не раз веденный во время путешествия.
– Полно. Глупости! Главное дело – старайся быть почтителен и благоразумен с старым князем.
– Ежели он будет браниться, я уйду, – сказал Анатоль. – Я этих стариков терпеть не могу. А?
– Помни, что для тебя от этого зависит всё.
В это время в девичьей не только был известен приезд министра с сыном, но внешний вид их обоих был уже подробно описан. Княжна Марья сидела одна в своей комнате и тщетно пыталась преодолеть свое внутреннее волнение.