Формула Планка
Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения <math>u(\omega, T)</math>: <math>u(\omega,T) =\frac{ \omega^2}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{ e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}</math>
Формула Планка («форма» зависимости <math>u</math> от частоты и температуры) первоначально была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея—Джинса, которая следует из классической теории электромагнитного поля, удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными. Более того, в пределе она даёт расхождение — бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:
- <math>
\varepsilon = \hbar \omega </math> Коэффициент пропорциональности <math>\hbar</math> впоследствии назвали постоянной Планка, <math>\hbar</math> = 1,054 · 10−27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.
Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы, в частности из неё следует закон Стефана-Больцмана, также эмпирически подтверждённый. Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка, — формула Вина и формула Рэлея-Джинса.
Содержание
Вывод для абсолютно чёрного тела
Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн, каждая с определённой угловой частотой <math>\omega</math>. Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:
<math>E_n=\hbar \omega (n+1/2)</math>
Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:
<math>W_n=1/Ze^{-E_n/kT}</math>
Статистическая сумма <math>Z</math> равна
<math>Z=\sum e^{-\hbar \omega (n+1/2)/kT}=e^{-1/2(\hbar \omega /kT)} \sum (e^{-\hbar \omega /kT})^n= \frac {e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}</math>
Свободная энергия равна
<math>\Psi=-kT \ln Z=\frac {\hbar \omega } {2 }+kT \ln(1-e^{-\hbar \omega /kT})</math>
Для средней (математическое ожидание) энергии воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца
<math>\overline{\varepsilon}=\sum W_n E_n=\Psi-kT \frac {\partial \Psi}{\partial (kT)}=(kT)^2\frac {\partial \ln Z}{\partial (kT)}=(kT)^2 \left(\frac {\hbar \omega}{2 (kT)^2}+\frac{e^{-\hbar \omega /kT}\hbar \omega /(kT)^2 }{1-e^{-\hbar \omega /kT}}\right)</math>
Таким образом средняя энергия, приходящаяся на полевой осциллятор равна
| {{{2}}} | (1) |
где <math>\hbar</math> — постоянная Планка, <math>k</math> — постоянная Больцмана.
Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве в интервале от <math>(\omega, \omega+d \omega)</math> равно[1][2]:
| {{{2}}} | (2) |
Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем
- <math>
u( \omega , T)=\overline{\varepsilon} \frac {\mathrm{d}n_{\omega}}{\mathrm {d} \omega} = \frac{\hbar {\omega}^3}
{2\pi^2 c^3}+\frac{\hbar {\omega}^3}
{\pi^2 c^3 (\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1)}, \qquad\qquad
</math>
Первое слагаемое в этой формуле связано с энергией нулевых колебаний, второе — это и есть формула Планка.
Формулу Планка также можно записать и через длину волны:
| {{{2}}} | (5) |
Вывод исходя из распределения Бозе-Эйнштейна
Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для этой статистики среднее число частиц с данной энергией <math>\varepsilon</math> равно
<math>\overline{n}(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\varepsilon/\Theta}-1}</math>
По определению
<math>u(\varepsilon)d\varepsilon=\varepsilon n(\varepsilon) d N(\varepsilon)</math>
где <math>dN=\frac {\varepsilon^2d\varepsilon}{\pi^2c^3\hbar^3}</math> — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией в бесконечно малой окрестности <math>\varepsilon=\hbar \omega</math>.
Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу и получим формулу Планка
Переход к формулам Рэлея—Джинса
Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до <math>\infty</math>. При малых частотах (больших длинах волн), когда <math>\hbar \omega / kT \ll 1</math> можно разложить экспоненту по <math>\hbar \omega / kT</math>. В результате получим, что <math> \mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1 \approx 1 + \hbar \omega / kT -1 = \hbar \omega / kT </math>, тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.
- <math>
u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3}
</math> и
- <math>
f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}
</math>
Переход к закону Стефана — Больцмана
Для энергетической светимости следует записать интеграл:
- <math>
R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega
= \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2}
\cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}
</math> Введём переменную <math>x = \hbar \omega / kT</math>, тогда <math>\omega = (kT/ \hbar)x </math>, <math>\mathrm{d} \omega = (kT/ \hbar) \mathrm{d}x</math>, получим
- <math>
R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.
</math> Полученный интеграл имеет точное значение: <math>\pi^4 / 15 </math>, подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:
- <math>
R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4
</math> Подстановка численных значений констант даёт значение для <math> \sigma = 5,66961 \cdot 10^{-8}</math> Вт/(м2<math>\cdot</math> <math>K^4</math>), что хорошо согласуется с экспериментом.
Переход к закону смещения Вина
Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по <math>\lambda</math> и приравнять нулю (поиск экстремума):
- <math>
\frac{ \mathrm{d}u_p(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} =
\frac{
4 \pi^2 \hbar c^2
\left\{
\frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda}
\mathrm{exp}
\left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda}
\right)
- 5 \left[
\mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1
\right]
\right\}
}
{\lambda^6 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right]^2} =0
</math>. Значение <math>\lambda_m</math>, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим <math> \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = x</math>, и получится уравнение:
- <math>xe^x-5(e^x-1)=0
</math>. Решение такого уравнения даёт x=4,96511. Следовательно, <math> \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = 4,965</math>, отсюда немедленно получается:
- <math>
T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b
</math>. Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу <math>\lambda_{\max}T \approx 3000 \quad </math> мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.
См. также
Напишите отзыв о статье "Формула Планка"
Примечания
- ↑ Сивухин Д.В., Том 4 (Оптика), Москва 1980 г., § 117, Формула Рэлея — Джинса, формула 117.7, с. 692-694
- ↑ Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с., § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253-258
Литература
- Планк М. [dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900/rus.pdf Об одном улучшении закона излучения Вина.] Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр.249
- Планк М. [dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900b/rus.pdf К теории распределения энергии излучения нормального спектра.] Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр. 251
Ссылки
- [www.vias.org/simulations/simusoft_blackbody.html Симулятор излучения абсолютно чёрного тела]
Отрывок, характеризующий Формула Планка
– Натали?! – прошептал вопросительно его голос, и кто то больно сжимал ее руки.– Натали?!
«Я ничего не понимаю, мне нечего говорить», сказал ее взгляд.
Горячие губы прижались к ее губам и в ту же минуту она почувствовала себя опять свободною, и в комнате послышался шум шагов и платья Элен. Наташа оглянулась на Элен, потом, красная и дрожащая, взглянула на него испуганно вопросительно и пошла к двери.
– Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Одно слово, только одно, ради Бога,] – говорил Анатоль.
Она остановилась. Ей так нужно было, чтобы он сказал это слово, которое бы объяснило ей то, что случилось и на которое она бы ему ответила.
– Nathalie, un mot, un seul, – всё повторял он, видимо не зная, что сказать и повторял его до тех пор, пока к ним подошла Элен.
Элен вместе с Наташей опять вышла в гостиную. Не оставшись ужинать, Ростовы уехали.
Вернувшись домой, Наташа не спала всю ночь: ее мучил неразрешимый вопрос, кого она любила, Анатоля или князя Андрея. Князя Андрея она любила – она помнила ясно, как сильно она любила его. Но Анатоля она любила тоже, это было несомненно. «Иначе, разве бы всё это могло быть?» думала она. «Ежели я могла после этого, прощаясь с ним, улыбкой ответить на его улыбку, ежели я могла допустить до этого, то значит, что я с первой минуты полюбила его. Значит, он добр, благороден и прекрасен, и нельзя было не полюбить его. Что же мне делать, когда я люблю его и люблю другого?» говорила она себе, не находя ответов на эти страшные вопросы.
Пришло утро с его заботами и суетой. Все встали, задвигались, заговорили, опять пришли модистки, опять вышла Марья Дмитриевна и позвали к чаю. Наташа широко раскрытыми глазами, как будто она хотела перехватить всякий устремленный на нее взгляд, беспокойно оглядывалась на всех и старалась казаться такою же, какою она была всегда.
После завтрака Марья Дмитриевна (это было лучшее время ее), сев на свое кресло, подозвала к себе Наташу и старого графа.
– Ну с, друзья мои, теперь я всё дело обдумала и вот вам мой совет, – начала она. – Вчера, как вы знаете, была я у князя Николая; ну с и поговорила с ним…. Он кричать вздумал. Да меня не перекричишь! Я всё ему выпела!
– Да что же он? – спросил граф.
– Он то что? сумасброд… слышать не хочет; ну, да что говорить, и так мы бедную девочку измучили, – сказала Марья Дмитриевна. – А совет мой вам, чтобы дела покончить и ехать домой, в Отрадное… и там ждать…
– Ах, нет! – вскрикнула Наташа.
– Нет, ехать, – сказала Марья Дмитриевна. – И там ждать. – Если жених теперь сюда приедет – без ссоры не обойдется, а он тут один на один с стариком всё переговорит и потом к вам приедет.
Илья Андреич одобрил это предложение, тотчас поняв всю разумность его. Ежели старик смягчится, то тем лучше будет приехать к нему в Москву или Лысые Горы, уже после; если нет, то венчаться против его воли можно будет только в Отрадном.
– И истинная правда, – сказал он. – Я и жалею, что к нему ездил и ее возил, – сказал старый граф.
– Нет, чего ж жалеть? Бывши здесь, нельзя было не сделать почтения. Ну, а не хочет, его дело, – сказала Марья Дмитриевна, что то отыскивая в ридикюле. – Да и приданое готово, чего вам еще ждать; а что не готово, я вам перешлю. Хоть и жалко мне вас, а лучше с Богом поезжайте. – Найдя в ридикюле то, что она искала, она передала Наташе. Это было письмо от княжны Марьи. – Тебе пишет. Как мучается, бедняжка! Она боится, чтобы ты не подумала, что она тебя не любит.
– Да она и не любит меня, – сказала Наташа.
– Вздор, не говори, – крикнула Марья Дмитриевна.
– Никому не поверю; я знаю, что не любит, – смело сказала Наташа, взяв письмо, и в лице ее выразилась сухая и злобная решительность, заставившая Марью Дмитриевну пристальнее посмотреть на нее и нахмуриться.
– Ты, матушка, так не отвечай, – сказала она. – Что я говорю, то правда. Напиши ответ.
Наташа не отвечала и пошла в свою комнату читать письмо княжны Марьи.
Княжна Марья писала, что она была в отчаянии от происшедшего между ними недоразумения. Какие бы ни были чувства ее отца, писала княжна Марья, она просила Наташу верить, что она не могла не любить ее как ту, которую выбрал ее брат, для счастия которого она всем готова была пожертвовать.
«Впрочем, писала она, не думайте, чтобы отец мой был дурно расположен к вам. Он больной и старый человек, которого надо извинять; но он добр, великодушен и будет любить ту, которая сделает счастье его сына». Княжна Марья просила далее, чтобы Наташа назначила время, когда она может опять увидеться с ней.
Прочтя письмо, Наташа села к письменному столу, чтобы написать ответ: «Chere princesse», [Дорогая княжна,] быстро, механически написала она и остановилась. «Что ж дальше могла написать она после всего того, что было вчера? Да, да, всё это было, и теперь уж всё другое», думала она, сидя над начатым письмом. «Надо отказать ему? Неужели надо? Это ужасно!»… И чтоб не думать этих страшных мыслей, она пошла к Соне и с ней вместе стала разбирать узоры.
После обеда Наташа ушла в свою комнату, и опять взяла письмо княжны Марьи. – «Неужели всё уже кончено? подумала она. Неужели так скоро всё это случилось и уничтожило всё прежнее»! Она во всей прежней силе вспоминала свою любовь к князю Андрею и вместе с тем чувствовала, что любила Курагина. Она живо представляла себя женою князя Андрея, представляла себе столько раз повторенную ее воображением картину счастия с ним и вместе с тем, разгораясь от волнения, представляла себе все подробности своего вчерашнего свидания с Анатолем.
«Отчего же бы это не могло быть вместе? иногда, в совершенном затмении, думала она. Тогда только я бы была совсем счастлива, а теперь я должна выбрать и ни без одного из обоих я не могу быть счастлива. Одно, думала она, сказать то, что было князю Андрею или скрыть – одинаково невозможно. А с этим ничего не испорчено. Но неужели расстаться навсегда с этим счастьем любви князя Андрея, которым я жила так долго?»
– Барышня, – шопотом с таинственным видом сказала девушка, входя в комнату. – Мне один человек велел передать. Девушка подала письмо. – Только ради Христа, – говорила еще девушка, когда Наташа, не думая, механическим движением сломала печать и читала любовное письмо Анатоля, из которого она, не понимая ни слова, понимала только одно – что это письмо было от него, от того человека, которого она любит. «Да она любит, иначе разве могло бы случиться то, что случилось? Разве могло бы быть в ее руке любовное письмо от него?»
Трясущимися руками Наташа держала это страстное, любовное письмо, сочиненное для Анатоля Долоховым, и, читая его, находила в нем отголоски всего того, что ей казалось, она сама чувствовала.
«Со вчерашнего вечера участь моя решена: быть любимым вами или умереть. Мне нет другого выхода», – начиналось письмо. Потом он писал, что знает про то, что родные ее не отдадут ее ему, Анатолю, что на это есть тайные причины, которые он ей одной может открыть, но что ежели она его любит, то ей стоит сказать это слово да , и никакие силы людские не помешают их блаженству. Любовь победит всё. Он похитит и увезет ее на край света.
«Да, да, я люблю его!» думала Наташа, перечитывая в двадцатый раз письмо и отыскивая какой то особенный глубокий смысл в каждом его слове.
В этот вечер Марья Дмитриевна ехала к Архаровым и предложила барышням ехать с нею. Наташа под предлогом головной боли осталась дома.
Вернувшись поздно вечером, Соня вошла в комнату Наташи и, к удивлению своему, нашла ее не раздетою, спящею на диване. На столе подле нее лежало открытое письмо Анатоля. Соня взяла письмо и стала читать его.
Она читала и взглядывала на спящую Наташу, на лице ее отыскивая объяснения того, что она читала, и не находила его. Лицо было тихое, кроткое и счастливое. Схватившись за грудь, чтобы не задохнуться, Соня, бледная и дрожащая от страха и волнения, села на кресло и залилась слезами.
