Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Рядом Тейлора функции <math>f(x)</math>, бесконечно дифференцируемой в точке <math>{a}</math>, называется функциональный формальный ряд

<math>\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k</math> с параметром <math>a</math>.

То есть, рядом Тейлора для функции <math>f(x)</math> в окрестности точки <math>a</math> называется степенной ряд относительно двучлена <math>x - a</math> вида <math>f(a) + {f'(a) \over 1!}(x - a) + {f(a) \over 2!}(x - a)^2 + ... + {f^{(n)}(a) \over n!}(x - a)^n + ...</math>

В случае, если <math>a=0</math>, этот ряд также называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

Функция <math>f(x)</math> называется аналитической в точке <math>x=a</math>, если она представима в виде бесконечного сходящегося степенного функционального ряда на некотором открытом интервале, содержащем в себе точку <math>a</math>: <math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_k}{{(x - a)}^k}} </math> .

Степенной ряд в своей области сходимости может быть продифференцирован любое количество раз, и полученная таким образом функция будет иметь ту же область сходимости. Значит, функция <math>f(x)</math> бесконечно дифференцируема на данном интервале (содержащем <math>a</math>). Если взять <math>k</math>-ю производную от функции <math>f(x)</math>, а затем подставить в нее <math>x=a</math>, получится <math>{b_k} = \frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!</math>. Но в таком случае <math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k</math>. Отсюда следствие: функция <math>f(x)</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром <math>a</math> на некотором открытом интервале, содержащем точку <math>a</math>.

Может возникнуть закономерный вопрос: если функция может быть задана степенным рядом из степеней <math>(x-a)</math> на некотором интервале, содержащем точку <math>a</math>, представима ли она этим рядом в самой точке <math>a</math>? Ведь в этом случае возникает неопределенность вида <math>0^0</math>: <math>f(x = a) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_k}{{(x - a)}^k}} = {b_0}{0^0} + {b_1}{0^1} + {b_2}{0^2} + ...</math>

Такая неопределенность снимается конвенционально (то есть по соглашению): принято считать, что в данном случае <math>0^0=1</math>, поэтому <math> \sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_k}{{(x - a)}^k}} = {b_0}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k}{{(x - a)}^k}}</math> для любых <math>x</math> из области сходимости, в том числе <math>x=a</math>.

Условие открытости интервала в определении аналитической функции является существенным. Действительно, в одной единственной точке <math> x=a</math> функция <math> f(x)</math>, бесконечно дифференцируемая в <math> a</math>, всегда равна своему ряду Тейлора с параметром <math> a</math> просто по соглашению: <math> f(x=a)=b_0=f(a)</math> - это тривиальный результат, верный для любой такой функции, а не только аналитической. Но этот результат ничего и не дает, поскольку является тавтологией, в то время как смысл ряда Тейлора заключается именно в возможности приблизительно вычислять значение <math> f(x)</math> хоть в какой-то окрестности <math> a</math>, если известны все производные <math> f(x)</math> в <math> a</math>. Поэтому смысл аналитической функции заключается в том, что она равна своему ряду Тейлора хоть в какой-то области, а не в одной единственной точке.

Если принять в определении аналитической функции, что такая функция может быть задана своим рядом Тейлора не на открытом интервале, содержащем <math> a</math>, а на полуинтервале или отрезке, в этом случае точка <math> a</math> может быть границей такого промежутка, и некоторые функции, не считающиеся аналитическими по общепринятому определению, могут стать таковыми.

Например, производная любого порядка функции <math> f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{ - \frac{1}{x}}},x > 0\\ 0,x \le 0 \end{array} \right. </math> в точке <math> x=0 </math> равна нулю (смотреть, например, англ. "Неаналитические гладкие функции"). Значит, ряд Тейлора этой функции с параметром <math> a=0 </math> тождественно равен нулю (для любого <math> x </math>). Тогда существует такой отрезок (например, <math> [-1;0] </math>), содержащий в себе точку <math> x=0 </math>, на котором функция <math> f(x) </math> всюду равна своему ряду Тейлора. Получается, функция <math> f(x) </math> является аналитической в точке <math> x=0 </math>.

С другой стороны, не существует двухсторонней окрестности точки <math> x=0 </math> (открытого интервала, содержащего <math> x=0 </math>) такого, что на нем функция <math> f(x) </math> всюду равна своему ряду Тейлора с параметром <math> a=0 </math>. Значит, функция <math> f(x) </math> не является аналитической в точке <math> x=0 </math> по общепринятому определению.

Понятно, что это своего рода формализм (то есть опять-таки вопрос договоренности). Тем не менее, общий смысл таков, что для некоторых функций их ряд Тейлора для некоторых значений параметра <math> a </math> равен самой функции в одной единственной точке <math> x=a </math> любой (сколь угодно малой) окрестности <math> a </math>. В этом случае говорят, что функция не является аналитической в точке <math> x=a </math>. Например, функция <math> f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{ - \frac{1}{{|x|}}}},x \ne 0\\ 0,x = 0 \end{array} \right.

</math> в точке <math> x=0 </math> не является аналитической ни по одному из определений. Однако далее везде будет использовано общепринятое определение аналитической функции (с открытым интервалом).

Функция называется аналитической на промежутке, если она является аналитической в каждой точке этого промежутка.

Область сходимости ряда Тейлора

Аналитическая функция вовсе не обязательно равна своему ряду Тейлора в любой точке своей области определения. Ряд Тейлора как и любой другой функциональный ряд имеет свою область сходимости. И аналитическая функция может быть равна своему ряду Тейлора только в этой области.

Например, функция <math>f(x) = \frac{1}Шаблон:1 - x</math> может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: <math>\frac{1}Шаблон:1 - x = \sum\limits_{k = 0}^\infty Шаблон:X^k </math> (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако, если функция <math>\frac{1}Шаблон:1 - x </math> определена для всех действительных чисел, кроме точки <math>x=1 </math>, то ряд <math> \sum\limits_{k = 0}^\infty Шаблон:X^k </math> сходится только при условии <math> |x|<1 </math>.

Поскольку ряд Тейлора является степенным рядом, можно определить радиус его сходимости. Например, по формуле Даламбера: <math>R = \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{{b_k}}}{{{b_{k + 1}}}}} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!}}{{\frac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}Шаблон:(k + 1)!}}} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{{f^{(k + 1)}}(a)}}(k + 1)} \right|</math>.

Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен <math>R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac{{{e^a}}}{{{e^a}}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty</math>. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси <math>x</math> для любого параметра <math>a</math>.

Неаналитическая функция

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности <math>a</math>. Такие функции не являются аналитическими. Коши предложил в качестве примера такой функции функцию <math>f(x)= \left\{ \begin{matrix} 0,&\ \ x=0\\ e^{-\frac{1}{x^2}}, &\ \ x\not=0 \end{matrix} \right.</math> . Здесь и далее будем называть эту функцию функцией Коши.

Ясно, что функция Коши - это исправленная функция <math>{e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}</math>, дополненная в точке своего разрыва своим пределом.

У функции Коши все производные в точке <math>x=0</math> равны нулю, поэтому все коэффициенты ряда Тейлора для этой функции с параметром <math>a=0</math> равны нулю. Это означает, что такой ряд Тейлора в любой точке <math>x</math> равен нулю, т.е. он тождественно равен нулю. Но сама функция <math>f(x)</math>, очевидно, не равна тождественно нулю (она равна нулю в единственной точке <math>x=0</math>). Значит, функция <math>f(x)</math> совпадает со своим рядом Тейлора в единственной точке <math>x=0</math>. Значит, не существует такой окрестности точки <math>x=0</math>, что функция совпадает в ней со своим рядом Тейлора, поэтому такая функция не является аналитической в точке <math>x=0</math>.

Заметим, что во всех остальных точках функция Коши аналитической является.

Доказательство

Самое сложное здесь - доказать равенство нулю всех производных функции <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>. Функция <math>f(x)</math> - это исправленная функция <math>{e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}</math>, дополненная в точке <math>x=0</math> своим пределом в этой точке (сама по себе функция <math>{e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}</math> в точке <math>x=0</math> не существует). Таким образом, функция <math>f(x)</math> непрерывна в каждой своей точке по определению (равна своему пределу в каждой точке). Кроме того функция <math>f(x)</math> дифференцируема в каждой своей точке, т.е. имеет в каждой точке непрерывную производную, кроме, быть может, точки <math>x=0</math>. Найдем производную функции <math>f(x)</math> в этой точке. Для этого воспользуемся определением производной:

<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F(0 + \Delta x) - f(0)Шаблон:\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F(\Delta x)Шаблон:\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F(\Delta x)'Шаблон:\Delta x' =\lim_{\Delta x \to 0} f(\Delta x)'</math>

(Для доказательства было использовано правило Лопиталя.)

Значит, производная в точке <math>x=0</math> равна своему пределу в этой точке, т.е. является непрерывной. Для произвольного <math>x</math> производная имеет вид <math>f'(x) = {e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}\frac{2}{{{x^3}}} = \fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}</math>. Значит, при отрицательных <math>x</math> производная отрицательна, при положительных <math>x</math> производная положительна. А поскольку она непрерывна, то в точке <math>x=0</math> она равна нулю. Докажем теперь, что для произвольного натурального <math>k</math> верно <math> \lim_{x \to 0}\fracШаблон:F(x){{{x^k}}} = 0</math>. Для этого предварительно докажем, что утверждение верно в частном случае <math>k=2</math> (то, что оно верно в случае <math>k=1</math>, уже было доказано): <math> \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x){{{x^2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{{{e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}}}{{{x^2}}} = [\frac{1}{{{x^2}}} = t] = \lim_{t \to \infty} t{e^{ - t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{{{e^t}}} = \lim_{t \to \infty} \fracШаблон:T'{{({e^t})'}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{{{e^t}}} = 0</math>

Но в таком случае

<math> \begin{align} &0 = f'(0) = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x){x} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x)'Шаблон:X' = \lim_{x \to 0} f(x)' = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:2f(x){{{x^3}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:2f(x)'{{({x^3})'}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:2f(x)'{{3{x^2}}} = \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{{2\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}}}{{3{x^2}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:4f(x){{3{x^5}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:4f(x)'{{(3{x^5})'}} = \lim_{x \to 0} \frac{{4\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}}}{{15{x^4}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:8f(x){{15{x^7}}} = ...\\ \end{align}</math>

Значит, для натуральных нечетных <math>k</math> доказываемое равенство верно, поскольку константу всегда можно вынести из-под знака предела. Аналогично

<math> 0 = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x){{{x^2}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x)'Шаблон:2x = \lim_{x \to 0} \frac{{\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}}}Шаблон:2x = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x){{{x^4}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x)'{{4{x^3}}} = \lim_{x \to 0} \frac{{\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}}}{{4{x^3}}} = \lim_{x \to 0} \fracШаблон:F(x){{2{x^6}}} = ...</math>

Значит, доказываемое равенство верно и для четных <math>k</math>. Теперь найдем несколько начальных производных функции <math>f(x)</math>: <math>f'(x) = \fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}</math><math>f(x) = \left( {\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}} \right)' = 2\left( {f'(x)\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) = 2\left( {\fracШаблон:2f(x){{{x^3}}}\frac{1}{{{x^3}}} + f(x)\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)'} \right) = 2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)</math> <math>f(x) = \left( {2f(x)\left( {\frac{2}{{{x^6}}} - \frac{3}{{{x^4}}}} \right)} \right)' = 4f(x)\left( {\frac{2}{{{x^9}}} - \frac{3}{{{x^7}}} + \frac{6}{{{x^5}}} - \frac{6}{{{x^7}}}} \right)</math>

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение <math>f(x)</math> на сумму целых отрицательных степеней <math>x</math>. Поскольку предел суммы равен сумме пределов, только если каждый из таких пределов существует и конечен, то предел каждой такой функции равен нулю при <math>x</math>, стремящемся к нулю, как это уже было доказано. Значит, для любого натурального <math>k</math> верно <math>\lim_{x \to 0}{f^{(k)}}(x) = 0</math>. Остается доказать, что все производные непрерывны в точке <math>x=0</math>, т.е. равны своему пределу в этой точке, а значит, равны нулю. Доказать это возможно по индукции. Уже доказано, что первая производная непрерывна в точке <math>x=0</math> и равна нулю в этой точке. Тогда вторая производная

<math>f(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F'(0 + \Delta x) - f'(0)Шаблон:\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F'(\Delta x)Шаблон:\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F''(\Delta x)Шаблон:\Delta x' = \lim_{\Delta x \to 0} f(\Delta x)</math>

равна своему пределу в этой точке.

Значит, <math>f(0) = 0</math>. Тогда в свою очередь для третьей производной можно записать:

<math>f(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F''(0 + \Delta x) - f''(0)Шаблон:\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F''(\Delta x)Шаблон:\Delta x = \lim_{\Delta x \to 0} \fracШаблон:F'''(\Delta x)Шаблон:\Delta x' = \lim_{\Delta x \to 0} f(\Delta x)=0</math>.

И так далее. Значит, все производные в точке <math>x=0</math> равны нулю, что и требовалось доказать.

Зависимость ряда Тейлора от параметра

Можно продемонстрировать, что ряд Тейлора как функция аргумента <math>x</math> не зависит от своего параметра <math>a</math>. Для этого достаточно найти частную производную ряда Тейлора по его параметру:

<math>\begin{array}{l} \frac{\partial }Шаблон:\partial a\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k}} } \right) = f'(a) + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\frac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k} - \frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!k{{(x - a)}^{k - 1}}} \right)} = \\

= f'(a) + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k}}  - \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:(k - 1)!{{(x - a)}^{k - 1}}}  = \\
= f'(a) + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k}}  - \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k}}  = f'(a) - f'(a) = 0

\end{array} </math>

Как видно, производная ряда по <math>a</math> тождественно равна нулю, поэтому сам ряд является константой от <math>a</math>, т.е. не зависит от <math>a</math>. Однако данная независимость весьма специфическая. Например, ряд Тейлора для функции Коши при <math>a=0</math> тождественно равен нулю, при <math>a\not=0</math> он равен <math>{e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}</math> (хотя бы в некоторой окрестности точки <math>a</math>). Очевидно, что <math>\fracШаблон:\partial 0Шаблон:\partial a = \frac{{\partial {e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}}}Шаблон:\partial a = 0 </math>. Однако отсюда невозможно сделать вывод, что <math>{e^{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} \equiv 0 </math>, и что ряд Тейлора, как функция аргумента <math>x</math>, при любом <math>a</math> имеет один и тот же вид.

Дело здесь в том, что ряд Тейлора, как функция аргумента <math>a</math>, даже если и равен константе, то не всегда одной и той же константе, т.е. он не всегда является непрерывной функцией. Это значит, что, например, для <math>a<x_0</math> ряд может быть равен <math>C_1</math>, для <math>a>x_0</math> ряд может быть равен <math>C_2</math>, где <math>C_1 \not=C_2</math>. При этом константы <math>C_1</math> и <math>C_2</math> могут быть некоторыми функциями от <math>x</math>. Раскладываемая функция <math>f(x)</math> в точке <math>x_0</math> не является аналитической. Действительно, по теореме о непрерывности функционального ряда, из разрывности в точке суммы ряда функций следует, что хотя бы одна из функций терпит разрыв в этой точке. А это значит, что у функции <math>f(x)</math> хотя бы одна из производных не существует.

Примером такой функции может быть функция <math>f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {C_1}(x),x < {x_0}\\ {C_2}(x),x > {x_0} \end{array} \right. </math>, где <math>C_1(x)</math> и <math>C_2(x)</math> - некоторые аналитические функции, не равные друг другу ни в одной точке <math>x</math> (кроме, быть может, <math>x=x_0</math>). В точке <math>x_0</math> функция <math>f(x)</math> может быть и определена, и даже непрерывна и дифференцируема несколько раз, но точно не будет аналитической. Понятно, что функция <math>f(x)</math> может быть равна своему ряду Тейлора только справа или слева от <math>x_0</math>, в зависимости от того, справа или слева от <math>x_0</math> находится параметр ряда <math>a</math>.

От параметра ряда Тейлора также зависит область его сходимости. Например, разложим в общем случае (для произвольного <math>a</math>) в ряд Тейлора функцию <math>f(x) = \frac{1}Шаблон:1 - x</math>: <math>f(x) = \frac{1}Шаблон:1 - x = \frac{1}Шаблон:1 - a\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {\fracШаблон:X - aШаблон:1 - a} \right)}^k}}</math>.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента <math>x</math>, при любых значениях <math>a</math> (кроме <math>a=1</math>) имеет один и тот же вид.

Действительно,

<math>\frac{1}Шаблон:1 - a\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {\fracШаблон:X - aШаблон:1 - a} \right)}^k}} = \frac{1}Шаблон:1 - a\frac{1}{{1 - \left( {\fracШаблон:X - aШаблон:1 - a} \right)}} = \frac{1}Шаблон:1 - x</math>.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством <math>\left| {\fracШаблон:X - aШаблон:1 - a} \right| < 1</math>. И теперь эта область зависит от <math>a</math>. Например, для <math>a=0</math> ряд сходится при <math>x \in ( - 1;1)</math>. Для <math>a=0,5</math> ряд сходится при <math>x \in ( 0;1)</math>.

Формула Тейлора

Предположим, что функция <math>f(x)</math> имеет все производные до <math>n+1</math>-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку <math>x=a</math>. Найдем многочлен <math>{P_n}(x)</math> степени не выше <math>n</math>, значение которого в точке <math>x=a</math> равняется значению функции <math>f(x)</math> в этой точке, а значения его производных до <math>n</math>-го порядка включительно в точке <math>x=a</math> равняются значениям соответствующих производных от функции <math>f(x)</math> в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид <math>{P_n}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:K!{{(x - a)}^k}}</math>, т.е. это <math>n</math>-я частичная сумма ряда Тейлора функции <math>f(x)</math>. Разница между функцией <math>f(x)</math> и многочленом <math>{P_n}(x)</math> называется остаточным членом и обозначается <math>{R_n}(x)=f(x)-{P_n}(x)</math>. Формула <math>f(x)={P_n}(x)+{R_n}(x)</math> называется формулой Тейлора. Легко догадаться, что остаточный член дифференцируем <math>n+1</math> раз в рассматриваемой окрестности точки <math>a</math>. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция <math>f(x)</math> имеет <math>n+1</math> производную на отрезке с концами <math>a</math> и <math>x</math>, то для произвольного положительного числа <math>p</math> найдётся точка <math>\xi</math>, лежащая между <math>a</math> и <math>x</math>, такая, что <math>f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).</math>

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

<math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1 </math>

Вывод

Продифференцируем по <math>x</math> обе части формулы Тейлора <math>n</math> раз:

<math>\begin{array}{l}

1)f(x)' = f(a)' + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:(k - 1)!{{(x - a)}^{k - 1}}} + {R_n}(x)'\\ 2)f(x) = f(a) + \sum\limits_{k = 3}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}Шаблон:(k - 2)!{{(x - a)}^{k - 2}}} + {R_n}(x)\\ ...\\ n - 1)f{(x)^{(n - 1)}} = f{(a)^{(n - 1)}} + {f^{(n)}}(a)(x - a) + {R_n}{(x)^{(n - 1)}}\\ n)f{(x)^{(n)}} = {f^{(n)}}(a) + {R_n}{(x)^{(n)}} \end{array}

</math>

(Отсюда, в частности, видно, что <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a) = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math> - это свойство остаточного члена в любой форме.)

По теореме Лагранжа (поскольку <math>f(x)</math> соответствует условиям теоремы) существует такая точка <math>\xi </math> между <math>x </math> и <math>a </math> (т.е. <math>\xi </math> не равно ни <math>x </math>, ни <math>a </math>), что <math>f{(x)^{(n)}} - {f^{(n)}}(a) = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Отсюда <math>{R_n}{(x)^{(n)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) </math>. Продифференцируем последнее тождество еще раз по <math>x </math> и получим <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>.

Пусть остаточный член задан в виде <math>{R_n}(x) = \frac{{f{{(\xi )}^{(n + 1)}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)! </math>. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке <math>x=a</math>, во-вторых, <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>. В конце еще можно сделать замену переменной: <math>\xi = a + \theta (x - a),\qquad 0 < \theta < 1 </math>. Формула выведена.

В форме Коши:

<math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1</math>

В интегральной форме:

<math>R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt</math>

Вывод

Методом интегрирования по частям получим <math>\begin{array}{l}

{R_n}(x) = \frac{1}Шаблон:N!\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}{f^{(n + 1)}}(t)dt} = \frac{1}Шаблон:N!\int\limits_a^x {{{(x - t)}^n}d{f^{(n)}}(t)} = \frac{1}Шаблон:N!\left. {\left( {{{(x - t)}^n}{f^{(n)}}(t)} \right)} \right|_a^x - \frac{1}Шаблон:N!\int\limits_a^x {{f^{(n)}}(t)d} {(x - t)^n} = \\

= \frac{1}Шаблон:(n - 1)!\int\limits_a^x {{{(x - t)}^{n - 1}}{f^{(n)}}(t)d} t - \frac{{{{(x - a)}^n}{f^{(n)}}(a)}}Шаблон:N! = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}Шаблон:K!}  = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}Шаблон:K!} 

\end{array}</math>

откуда

<math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}Шаблон:K!} + {R_n}(x)</math>

Ослабим предположения:

• Пусть функция <math>f(x)</math> имеет <math>n-1</math> производную в некоторой окрестности точки <math>a</math> и <math>n</math>-ю производную в самой точке <math>a</math>, тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

<math>R_{n}(x) = o[(x - a)^n ]</math>

Вывод

Поскольку <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a) = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math>, то предел отношения <math>\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} </math> при <math>x</math>, стремящемся к <math>a</math>, может быть найден по правилу Лопиталя: <math>\lim_{x \to a}\frac{{{R_n}(x)}}{{{{(x - a)}^n}}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)'}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)'}} =\lim_{x \to a} \frac{{{R_n}(x)}}{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}} = ... = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}{{{{\left( {{{(x - a)}^n}} \right)}^{(n)}}}} = \lim_{x \to a}\frac{{{R_n}{{(x)}^{(n)}}}}Шаблон:N! = 0 </math>

Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член <math>R_{n}(x)</math> является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем <math>(x - a)^n</math>, при <math>x \to a</math>. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Предположим, что некоторую функцию <math>f(x)</math> нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке <math>x=a</math>. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (т.е. буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке <math>a</math>, и ее ряд Тейлора с параметром <math>a</math> может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка <math>x=a</math>, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции <math>f(x)</math> только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку <math>a</math>. Пусть ряд Тейлора с параметром <math>a</math> такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех <math>x</math> из окрестности <math>a</math> по формуле Тейлора можно записать <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}(f(x)-P_n(x))=f(x)-\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math>, где <math>\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math> - ряд Тейлора.

Очевидно, что функция <math>f(x)</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки <math>a</math> существует непрерывная область <math>X</math> такая, что для всех <math>x \in X</math> остаточный член ее разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом <math>n</math>: <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0</math>.

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Ее ряд Тейлора сходится на всей оси <math>x</math> для любых параметров <math>a</math>. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках <math>a</math>.

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид <math>{R_n}(x) = \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)!{e^\xi }</math>, где <math>\xi</math> - некоторое число, заключенное между <math>x</math> и <math>a</math> (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно, <math>\lim_{n \to \infty}{R_n}(x) =\lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)!{e^\xi }={e^\xi }\lim_{n \to \infty} \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}Шаблон:(n + 1)!=0</math>.

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых <math>x</math> и <math>a</math>.

Признак аналитичности функции

Признаком (или достаточным условием) некоторого утверждения называется такое условие, из верности которого следует верность самого утверждения.

Признак аналитичности: если функция <math>f(x)</math>, которую нужно разложить в точке <math>a</math>, может быть продолжена на некоторую открытую область комплексной плоскости, содержащую <math>a</math>, и полученное продолжение является комплексно аналитическим (или, по-другому, голоморфным) в этой области, то полученный ряд Тейлора сходится (в какой-то окрестности) точки <math>a</math> к данной функции.

Под продолжением функции <math>f(x)</math> нужно понимать функцию <math>f(x)</math>, в которую вместо действительного аргумента <math>x</math> подставлен комплексный аргумент <math>z</math>, а сама она, кроме действительных значений, начинает принимать еще и мнимые.

Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция <math>f(z)</math>, для которой в некоторой односвязной области <math>A\subset\mathbb C</math>, называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий (на самом деле, выполняются все условия, раз уж они равносильны, но достаточно доказать лишь одно из них):

1. Ряд Тейлора функции в каждой точке <math>z\in A</math> сходится и его сумма равна <math>f(z)</math> (аналитичность в смысле Вейерштрасса).
2. В каждой точке <math>z=x+iy\in A</math> выполняются условия Коши — Римана <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} </math> и <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .</math> Здесь <math>u(z)</math> и <math>v(z)</math> — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
3. Интеграл <math>\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math> для любой замкнутой кривой <math>\Gamma\subset A</math> (аналитичность в смысле Коши).
4. Функция <math>f(z)</math> является голоморфной в области <math>A</math>. То есть <math>f(z)</math> комплексно дифференцируема в каждой точке <math>z\in A</math>.

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.

Важное отличие голоморфной функции от аналитической функции действительного аргумента заключается в том, что из комплексной дифференцируемости комплексной функции следует ее аналитичность (или голоморфность) просто согласно определению, тогда как из дифференцируемости действительной функции действительного аргумента ее аналитичность не следует. Это означает, в частности, что дифференцируемая функция при расширении на комплексную плоскость может перестать быть таковой.

Верность признака может быть доказана, исходя из следующих соображений. Голоморфная функция равна своему ряду Тейлора в области аналитичности просто по определению. В этой области также пролегает промежуток действительной оси, содержащий в себе точку <math>a</math>. Значит, голоморфная функция равна своему ряду Тейлора в частности только для этих действительных значений промежутка. Если рассматривать еще и только действительные значения такой функции, то получится действительная функция действительного аргумента, равная своему ряду Тейлора.

При этом аналитичность в точке расширенной функции устанавливается однозначно и достаточно просто, например, с помощью проверки условий Коши-Римана. Например, с помощью признака аналитичности может быть достаточно просто установлена аналитичность функции Коши во всех точках, кроме <math>x=0</math>, тогда как, пользуясь одним только критерием аналитичности, это сделать довольно сложно.

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента: <math>\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}</math>
• Натуральный логарифм: <math>\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} = \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},</math> для всех <math> -1< x \le 1</math>
• Биномиальное разложение: <math>\displaystyle(1+x)^\alpha = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n,</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math> и всех комплексных <math>\alpha,</math> где <math>\displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math>
  • Квадратный корень: <math>\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,</math> для всех <math>|x|<1</math>
  • <math>\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} x^n,</math> для всех <math> |x| < 1</math>
  • Конечный геометрический ряд: <math>\displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n, </math> для всех <math> x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0</math>
• Тригонометрические функции:
  • Синус: <math>\displaystyle\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in\mathbb{C}</math>
  • Косинус: <math>\displaystyle\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}</math>
  • Тангенс: <math>\displaystyle\operatorname{tg}\ x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2},</math> где <math>B_{2n}</math> — числа Бернулли
  • Секанс: <math>\displaystyle\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2}</math> где <math>E_{2n}</math> — числа Эйлера
  • Арксинус: <math>\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math>
  • Арккосинус: <math>\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math>
  • Арктангенс: <math>\displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left| x \right| < 1</math>
• Гиперболические функции:
  • <math>\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}</math>
  • <math>\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}</math>
  • <math>\operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math> для всех <math>

\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}</math>

• • <math>\operatorname{arsh}\, \left(x\right) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math>
  • <math>\operatorname{arth}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math>

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция <math>f(x,y)</math> имеет полные производные вплоть до <math>n</math>-го порядка включительно в некоторой окрестности точки <math>(x_0, y_0)</math>. Введём дифференциальный оператор

<math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}</math>.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции <math>f(x,y)</math> по степеням <math>(x-x_0)^k</math> и <math>(y-y_0)^k</math> в окрестности точки <math>(x_0, y_0)</math> будет иметь вид

<math>f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),</math>

где <math>R_n(x,y)</math> — остаточный член в форме Лагранжа:

<math>R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]</math>

В случае функции одной переменной <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac d {dx}</math>, поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе <math>\mathrm{T}</math>.

Формула Тейлора для большого числа переменных

Для разложения в ряд Тейлора функции <math>n</math> переменных <math>f(x_1, x_2, ... x_n)</math>, которая в некоторой окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> имеет полные производные вплоть до <math>n</math>-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

<math>\mathrm{T}=(x_1-a_{1})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-a_{2})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-a_{n})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.</math>

Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням <math>(x_i-a_{i})^k</math> в окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> имеет вид

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n),</math>

где <math>R_m(x_1, x_2, ... x_n)</math> — m-тый член ряда.

Ряд Тейлора для большого числа переменных может быть также записан, как

<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k_1=0}^\infty\sum\limits_{k_2=0}^\infty...\sum\limits_{k_n=0}^\infty C_{k_1,k_2,...k_n}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n}</math>,

где

<math>C_{k_1,k_2,...k_n}=\dfrac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\dfrac {\partial^{k_1+k_2+...+k_n}} {\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}f(x_1,x_2,...x_n)|_{x_1=a_{1},x_2=a_{2},...,x_n=a_{n}} </math>

Пример разложения в ряд Тейлора функции большого числа переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> в окрестности точки <math>(0, 0, 0)</math> до второго порядка малости. Оператор T будет иметь вид

<math>\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.</math>

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

<math>f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) =</math>

<math>= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z);</math>

Учитывая, что

<math>T^2 =

x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z}, </math>

получим

<math>f(x, y, z)= f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z}

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +

</math>

<math>

+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_2(x, y, z). </math>

Например, при <math>f(x,y,z)=e^{x+y+z}</math>,

<math>f(x, y, z)= 1 + x + y + z

+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + xy + xz + yz + R_2(x, y, z). </math>

См. также

• Теорема Тейлора
• Ряд Фурье
• Ряд Лорана
• Дельсарт, Жан Фридерик
• Аналитическая функция
• Формула Эйлера

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. [webmath.exponenta.ru/s/vm_1_index.html Высшая математика. Первый семестр,] Интерактивный компьютерный учебник.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
• Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.
• Емелин Александр [mathprofi.ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady.html Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений]

Отрывок, характеризующий Ряд Тейлора

– Да, это так, – нетерпеливо продолжал князь Василий, потирая лысину и опять с злобой придвигая к себе отодвинутый столик, – но, наконец…наконец дело в том, ты сама знаешь, что прошлою зимой граф написал завещание, по которому он всё имение, помимо прямых наследников и нас, отдавал Пьеру.
– Мало ли он писал завещаний! – спокойно сказала княжна. – Но Пьеру он не мог завещать. Пьер незаконный.
– Ma chere, – сказал вдруг князь Василий, прижав к себе столик, оживившись и начав говорить скорей, – но что, ежели письмо написано государю, и граф просит усыновить Пьера? Понимаешь, по заслугам графа его просьба будет уважена…
Княжна улыбнулась, как улыбаются люди, которые думают что знают дело больше, чем те, с кем разговаривают.
– Я тебе скажу больше, – продолжал князь Василий, хватая ее за руку, – письмо было написано, хотя и не отослано, и государь знал о нем. Вопрос только в том, уничтожено ли оно, или нет. Ежели нет, то как скоро всё кончится , – князь Василий вздохнул, давая этим понять, что он разумел под словами всё кончится , – и вскроют бумаги графа, завещание с письмом будет передано государю, и просьба его, наверно, будет уважена. Пьер, как законный сын, получит всё.
– А наша часть? – спросила княжна, иронически улыбаясь так, как будто всё, но только не это, могло случиться.
– Mais, ma pauvre Catiche, c'est clair, comme le jour. [Но, моя дорогая Катишь, это ясно, как день.] Он один тогда законный наследник всего, а вы не получите ни вот этого. Ты должна знать, моя милая, были ли написаны завещание и письмо, и уничтожены ли они. И ежели почему нибудь они забыты, то ты должна знать, где они, и найти их, потому что…
– Этого только недоставало! – перебила его княжна, сардонически улыбаясь и не изменяя выражения глаз. – Я женщина; по вашему мы все глупы; но я настолько знаю, что незаконный сын не может наследовать… Un batard, [Незаконный,] – прибавила она, полагая этим переводом окончательно показать князю его неосновательность.
– Как ты не понимаешь, наконец, Катишь! Ты так умна: как ты не понимаешь, – ежели граф написал письмо государю, в котором просит его признать сына законным, стало быть, Пьер уж будет не Пьер, а граф Безухой, и тогда он по завещанию получит всё? И ежели завещание с письмом не уничтожены, то тебе, кроме утешения, что ты была добродетельна et tout ce qui s'en suit, [и всего, что отсюда вытекает,] ничего не останется. Это верно.
– Я знаю, что завещание написано; но знаю тоже, что оно недействительно, и вы меня, кажется, считаете за совершенную дуру, mon cousin, – сказала княжна с тем выражением, с которым говорят женщины, полагающие, что они сказали нечто остроумное и оскорбительное.
– Милая ты моя княжна Катерина Семеновна, – нетерпеливо заговорил князь Василий. – Я пришел к тебе не за тем, чтобы пикироваться с тобой, а за тем, чтобы как с родной, хорошею, доброю, истинною родной, поговорить о твоих же интересах. Я тебе говорю десятый раз, что ежели письмо к государю и завещание в пользу Пьера есть в бумагах графа, то ты, моя голубушка, и с сестрами, не наследница. Ежели ты мне не веришь, то поверь людям знающим: я сейчас говорил с Дмитрием Онуфриичем (это был адвокат дома), он то же сказал.
Видимо, что то вдруг изменилось в мыслях княжны; тонкие губы побледнели (глаза остались те же), и голос, в то время как она заговорила, прорывался такими раскатами, каких она, видимо, сама не ожидала.
– Это было бы хорошо, – сказала она. – Я ничего не хотела и не хочу.
Она сбросила свою собачку с колен и оправила складки платья.
– Вот благодарность, вот признательность людям, которые всем пожертвовали для него, – сказала она. – Прекрасно! Очень хорошо! Мне ничего не нужно, князь.
– Да, но ты не одна, у тебя сестры, – ответил князь Василий.
Но княжна не слушала его.
– Да, я это давно знала, но забыла, что, кроме низости, обмана, зависти, интриг, кроме неблагодарности, самой черной неблагодарности, я ничего не могла ожидать в этом доме…
– Знаешь ли ты или не знаешь, где это завещание? – спрашивал князь Василий еще с большим, чем прежде, подергиванием щек.
– Да, я была глупа, я еще верила в людей и любила их и жертвовала собой. А успевают только те, которые подлы и гадки. Я знаю, чьи это интриги.
Княжна хотела встать, но князь удержал ее за руку. Княжна имела вид человека, вдруг разочаровавшегося во всем человеческом роде; она злобно смотрела на своего собеседника.
– Еще есть время, мой друг. Ты помни, Катишь, что всё это сделалось нечаянно, в минуту гнева, болезни, и потом забыто. Наша обязанность, моя милая, исправить его ошибку, облегчить его последние минуты тем, чтобы не допустить его сделать этой несправедливости, не дать ему умереть в мыслях, что он сделал несчастными тех людей…
– Тех людей, которые всем пожертвовали для него, – подхватила княжна, порываясь опять встать, но князь не пустил ее, – чего он никогда не умел ценить. Нет, mon cousin, – прибавила она со вздохом, – я буду помнить, что на этом свете нельзя ждать награды, что на этом свете нет ни чести, ни справедливости. На этом свете надо быть хитрою и злою.
– Ну, voyons, [послушай,] успокойся; я знаю твое прекрасное сердце.
– Нет, у меня злое сердце.
– Я знаю твое сердце, – повторил князь, – ценю твою дружбу и желал бы, чтобы ты была обо мне того же мнения. Успокойся и parlons raison, [поговорим толком,] пока есть время – может, сутки, может, час; расскажи мне всё, что ты знаешь о завещании, и, главное, где оно: ты должна знать. Мы теперь же возьмем его и покажем графу. Он, верно, забыл уже про него и захочет его уничтожить. Ты понимаешь, что мое одно желание – свято исполнить его волю; я затем только и приехал сюда. Я здесь только затем, чтобы помогать ему и вам.
– Теперь я всё поняла. Я знаю, чьи это интриги. Я знаю, – говорила княжна.
– Hе в том дело, моя душа.
– Это ваша protegee, [любимица,] ваша милая княгиня Друбецкая, Анна Михайловна, которую я не желала бы иметь горничной, эту мерзкую, гадкую женщину.
– Ne perdons point de temps. [Не будем терять время.]
– Ax, не говорите! Прошлую зиму она втерлась сюда и такие гадости, такие скверности наговорила графу на всех нас, особенно Sophie, – я повторить не могу, – что граф сделался болен и две недели не хотел нас видеть. В это время, я знаю, что он написал эту гадкую, мерзкую бумагу; но я думала, что эта бумага ничего не значит.
– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!


В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.
– Ah, mon ami, oubliez les torts qu'on a pu avoir envers vous, pensez que c'est votre pere… peut etre a l'agonie. – Она вздохнула. – Je vous ai tout de suite aime comme mon fils. Fiez vous a moi, Pierre. Je n'oublirai pas vos interets. [Забудьте, друг мой, в чем были против вас неправы. Вспомните, что это ваш отец… Может быть, в агонии. Я тотчас полюбила вас, как сына. Доверьтесь мне, Пьер. Я не забуду ваших интересов.]
Пьер ничего не понимал; опять ему еще сильнее показалось, что всё это так должно быть, и он покорно последовал за Анною Михайловной, уже отворявшею дверь.
Дверь выходила в переднюю заднего хода. В углу сидел старик слуга княжен и вязал чулок. Пьер никогда не был на этой половине, даже не предполагал существования таких покоев. Анна Михайловна спросила у обгонявшей их, с графином на подносе, девушки (назвав ее милой и голубушкой) о здоровье княжен и повлекла Пьера дальше по каменному коридору. Из коридора первая дверь налево вела в жилые комнаты княжен. Горничная, с графином, второпях (как и всё делалось второпях в эту минуту в этом доме) не затворила двери, и Пьер с Анною Михайловной, проходя мимо, невольно заглянули в ту комнату, где, разговаривая, сидели близко друг от друга старшая княжна с князем Васильем. Увидав проходящих, князь Василий сделал нетерпеливое движение и откинулся назад; княжна вскочила и отчаянным жестом изо всей силы хлопнула дверью, затворяя ее.
Жест этот был так не похож на всегдашнее спокойствие княжны, страх, выразившийся на лице князя Василья, был так несвойствен его важности, что Пьер, остановившись, вопросительно, через очки, посмотрел на свою руководительницу.
Анна Михайловна не выразила удивления, она только слегка улыбнулась и вздохнула, как будто показывая, что всего этого она ожидала.
– Soyez homme, mon ami, c'est moi qui veillerai a vos interets, [Будьте мужчиною, друг мой, я же стану блюсти за вашими интересами.] – сказала она в ответ на его взгляд и еще скорее пошла по коридору.
Пьер не понимал, в чем дело, и еще меньше, что значило veiller a vos interets, [блюсти ваши интересы,] но он понимал, что всё это так должно быть. Коридором они вышли в полуосвещенную залу, примыкавшую к приемной графа. Это была одна из тех холодных и роскошных комнат, которые знал Пьер с парадного крыльца. Но и в этой комнате, посередине, стояла пустая ванна и была пролита вода по ковру. Навстречу им вышли на цыпочках, не обращая на них внимания, слуга и причетник с кадилом. Они вошли в знакомую Пьеру приемную с двумя итальянскими окнами, выходом в зимний сад, с большим бюстом и во весь рост портретом Екатерины. Все те же люди, почти в тех же положениях, сидели, перешептываясь, в приемной. Все, смолкнув, оглянулись на вошедшую Анну Михайловну, с ее исплаканным, бледным лицом, и на толстого, большого Пьера, который, опустив голову, покорно следовал за нею.
На лице Анны Михайловны выразилось сознание того, что решительная минута наступила; она, с приемами деловой петербургской дамы, вошла в комнату, не отпуская от себя Пьера, еще смелее, чем утром. Она чувствовала, что так как она ведет за собою того, кого желал видеть умирающий, то прием ее был обеспечен. Быстрым взглядом оглядев всех, бывших в комнате, и заметив графова духовника, она, не то что согнувшись, но сделавшись вдруг меньше ростом, мелкою иноходью подплыла к духовнику и почтительно приняла благословение одного, потом другого духовного лица.
– Слава Богу, что успели, – сказала она духовному лицу, – мы все, родные, так боялись. Вот этот молодой человек – сын графа, – прибавила она тише. – Ужасная минута!
Проговорив эти слова, она подошла к доктору.
– Cher docteur, – сказала она ему, – ce jeune homme est le fils du comte… y a t il de l'espoir? [этот молодой человек – сын графа… Есть ли надежда?]
Доктор молча, быстрым движением возвел кверху глаза и плечи. Анна Михайловна точно таким же движением возвела плечи и глаза, почти закрыв их, вздохнула и отошла от доктора к Пьеру. Она особенно почтительно и нежно грустно обратилась к Пьеру.
– Ayez confiance en Sa misericorde, [Доверьтесь Его милосердию,] – сказала она ему, указав ему диванчик, чтобы сесть подождать ее, сама неслышно направилась к двери, на которую все смотрели, и вслед за чуть слышным звуком этой двери скрылась за нею.
Пьер, решившись во всем повиноваться своей руководительнице, направился к диванчику, который она ему указала. Как только Анна Михайловна скрылась, он заметил, что взгляды всех, бывших в комнате, больше чем с любопытством и с участием устремились на него. Он заметил, что все перешептывались, указывая на него глазами, как будто со страхом и даже с подобострастием. Ему оказывали уважение, какого прежде никогда не оказывали: неизвестная ему дама, которая говорила с духовными лицами, встала с своего места и предложила ему сесть, адъютант поднял уроненную Пьером перчатку и подал ему; доктора почтительно замолкли, когда он проходил мимо их, и посторонились, чтобы дать ему место. Пьер хотел сначала сесть на другое место, чтобы не стеснять даму, хотел сам поднять перчатку и обойти докторов, которые вовсе и не стояли на дороге; но он вдруг почувствовал, что это было бы неприлично, он почувствовал, что он в нынешнюю ночь есть лицо, которое обязано совершить какой то страшный и ожидаемый всеми обряд, и что поэтому он должен был принимать от всех услуги. Он принял молча перчатку от адъютанта, сел на место дамы, положив свои большие руки на симметрично выставленные колени, в наивной позе египетской статуи, и решил про себя, что всё это так именно должно быть и что ему в нынешний вечер, для того чтобы не потеряться и не наделать глупостей, не следует действовать по своим соображениям, а надобно предоставить себя вполне на волю тех, которые руководили им.
Не прошло и двух минут, как князь Василий, в своем кафтане с тремя звездами, величественно, высоко неся голову, вошел в комнату. Он казался похудевшим с утра; глаза его были больше обыкновенного, когда он оглянул комнату и увидал Пьера. Он подошел к нему, взял руку (чего он прежде никогда не делал) и потянул ее книзу, как будто он хотел испытать, крепко ли она держится.
– Courage, courage, mon ami. Il a demande a vous voir. C'est bien… [Не унывать, не унывать, мой друг. Он пожелал вас видеть. Это хорошо…] – и он хотел итти.
Но Пьер почел нужным спросить:
– Как здоровье…
Он замялся, не зная, прилично ли назвать умирающего графом; назвать же отцом ему было совестно.
– Il a eu encore un coup, il y a une demi heure. Еще был удар. Courage, mon аmi… [Полчаса назад у него был еще удар. Не унывать, мой друг…]
Пьер был в таком состоянии неясности мысли, что при слове «удар» ему представился удар какого нибудь тела. Он, недоумевая, посмотрел на князя Василия и уже потом сообразил, что ударом называется болезнь. Князь Василий на ходу сказал несколько слов Лоррену и прошел в дверь на цыпочках. Он не умел ходить на цыпочках и неловко подпрыгивал всем телом. Вслед за ним прошла старшая княжна, потом прошли духовные лица и причетники, люди (прислуга) тоже прошли в дверь. За этою дверью послышалось передвиженье, и наконец, всё с тем же бледным, но твердым в исполнении долга лицом, выбежала Анна Михайловна и, дотронувшись до руки Пьера, сказала:
– La bonte divine est inepuisable. C'est la ceremonie de l'extreme onction qui va commencer. Venez. [Милосердие Божие неисчерпаемо. Соборование сейчас начнется. Пойдемте.]
Пьер прошел в дверь, ступая по мягкому ковру, и заметил, что и адъютант, и незнакомая дама, и еще кто то из прислуги – все прошли за ним, как будто теперь уж не надо было спрашивать разрешения входить в эту комнату.


Пьер хорошо знал эту большую, разделенную колоннами и аркой комнату, всю обитую персидскими коврами. Часть комнаты за колоннами, где с одной стороны стояла высокая красного дерева кровать, под шелковыми занавесами, а с другой – огромный киот с образами, была красно и ярко освещена, как бывают освещены церкви во время вечерней службы. Под освещенными ризами киота стояло длинное вольтеровское кресло, и на кресле, обложенном вверху снежно белыми, не смятыми, видимо, только – что перемененными подушками, укрытая до пояса ярко зеленым одеялом, лежала знакомая Пьеру величественная фигура его отца, графа Безухого, с тою же седою гривой волос, напоминавших льва, над широким лбом и с теми же характерно благородными крупными морщинами на красивом красно желтом лице. Он лежал прямо под образами; обе толстые, большие руки его были выпростаны из под одеяла и лежали на нем. В правую руку, лежавшую ладонью книзу, между большим и указательным пальцами вставлена была восковая свеча, которую, нагибаясь из за кресла, придерживал в ней старый слуга. Над креслом стояли духовные лица в своих величественных блестящих одеждах, с выпростанными на них длинными волосами, с зажженными свечами в руках, и медленно торжественно служили. Немного позади их стояли две младшие княжны, с платком в руках и у глаз, и впереди их старшая, Катишь, с злобным и решительным видом, ни на мгновение не спуская глаз с икон, как будто говорила всем, что не отвечает за себя, если оглянется. Анна Михайловна, с кроткою печалью и всепрощением на лице, и неизвестная дама стояли у двери. Князь Василий стоял с другой стороны двери, близко к креслу, за резным бархатным стулом, который он поворотил к себе спинкой, и, облокотив на нее левую руку со свечой, крестился правою, каждый раз поднимая глаза кверху, когда приставлял персты ко лбу. Лицо его выражало спокойную набожность и преданность воле Божией. «Ежели вы не понимаете этих чувств, то тем хуже для вас», казалось, говорило его лицо.
Сзади его стоял адъютант, доктора и мужская прислуга; как бы в церкви, мужчины и женщины разделились. Всё молчало, крестилось, только слышны были церковное чтение, сдержанное, густое басовое пение и в минуты молчания перестановка ног и вздохи. Анна Михайловна, с тем значительным видом, который показывал, что она знает, что делает, перешла через всю комнату к Пьеру и подала ему свечу. Он зажег ее и, развлеченный наблюдениями над окружающими, стал креститься тою же рукой, в которой была свеча.
Младшая, румяная и смешливая княжна Софи, с родинкою, смотрела на него. Она улыбнулась, спрятала свое лицо в платок и долго не открывала его; но, посмотрев на Пьера, опять засмеялась. Она, видимо, чувствовала себя не в силах глядеть на него без смеха, но не могла удержаться, чтобы не смотреть на него, и во избежание искушений тихо перешла за колонну. В середине службы голоса духовенства вдруг замолкли; духовные лица шопотом сказали что то друг другу; старый слуга, державший руку графа, поднялся и обратился к дамам. Анна Михайловна выступила вперед и, нагнувшись над больным, из за спины пальцем поманила к себе Лоррена. Француз доктор, – стоявший без зажженной свечи, прислонившись к колонне, в той почтительной позе иностранца, которая показывает, что, несмотря на различие веры, он понимает всю важность совершающегося обряда и даже одобряет его, – неслышными шагами человека во всей силе возраста подошел к больному, взял своими белыми тонкими пальцами его свободную руку с зеленого одеяла и, отвернувшись, стал щупать пульс и задумался. Больному дали чего то выпить, зашевелились около него, потом опять расступились по местам, и богослужение возобновилось. Во время этого перерыва Пьер заметил, что князь Василий вышел из за своей спинки стула и, с тем же видом, который показывал, что он знает, что делает, и что тем хуже для других, ежели они не понимают его, не подошел к больному, а, пройдя мимо его, присоединился к старшей княжне и с нею вместе направился в глубь спальни, к высокой кровати под шелковыми занавесами. От кровати и князь и княжна оба скрылись в заднюю дверь, но перед концом службы один за другим возвратились на свои места. Пьер обратил на это обстоятельство не более внимания, как и на все другие, раз навсегда решив в своем уме, что всё, что совершалось перед ним нынешний вечер, было так необходимо нужно.
Звуки церковного пения прекратились, и послышался голос духовного лица, которое почтительно поздравляло больного с принятием таинства. Больной лежал всё так же безжизненно и неподвижно. Вокруг него всё зашевелилось, послышались шаги и шопоты, из которых шопот Анны Михайловны выдавался резче всех.
Пьер слышал, как она сказала:
– Непременно надо перенести на кровать, здесь никак нельзя будет…
Больного так обступили доктора, княжны и слуги, что Пьер уже не видал той красно желтой головы с седою гривой, которая, несмотря на то, что он видел и другие лица, ни на мгновение не выходила у него из вида во всё время службы. Пьер догадался по осторожному движению людей, обступивших кресло, что умирающего поднимали и переносили.
– За мою руку держись, уронишь так, – послышался ему испуганный шопот одного из слуг, – снизу… еще один, – говорили голоса, и тяжелые дыхания и переступанья ногами людей стали торопливее, как будто тяжесть, которую они несли, была сверх сил их.
Несущие, в числе которых была и Анна Михайловна, поровнялись с молодым человеком, и ему на мгновение из за спин и затылков людей показалась высокая, жирная, открытая грудь, тучные плечи больного, приподнятые кверху людьми, державшими его под мышки, и седая курчавая, львиная голова. Голова эта, с необычайно широким лбом и скулами, красивым чувственным ртом и величественным холодным взглядом, была не обезображена близостью смерти. Она была такая же, какою знал ее Пьер назад тому три месяца, когда граф отпускал его в Петербург. Но голова эта беспомощно покачивалась от неровных шагов несущих, и холодный, безучастный взгляд не знал, на чем остановиться.
Прошло несколько минут суетни около высокой кровати; люди, несшие больного, разошлись. Анна Михайловна дотронулась до руки Пьера и сказала ему: «Venez». [Идите.] Пьер вместе с нею подошел к кровати, на которой, в праздничной позе, видимо, имевшей отношение к только что совершенному таинству, был положен больной. Он лежал, высоко опираясь головой на подушки. Руки его были симметрично выложены на зеленом шелковом одеяле ладонями вниз. Когда Пьер подошел, граф глядел прямо на него, но глядел тем взглядом, которого смысл и значение нельзя понять человеку. Или этот взгляд ровно ничего не говорил, как только то, что, покуда есть глаза, надо же глядеть куда нибудь, или он говорил слишком многое. Пьер остановился, не зная, что ему делать, и вопросительно оглянулся на свою руководительницу Анну Михайловну. Анна Михайловна сделала ему торопливый жест глазами, указывая на руку больного и губами посылая ей воздушный поцелуй. Пьер, старательно вытягивая шею, чтоб не зацепить за одеяло, исполнил ее совет и приложился к ширококостной и мясистой руке. Ни рука, ни один мускул лица графа не дрогнули. Пьер опять вопросительно посмотрел на Анну Михайловну, спрашивая теперь, что ему делать. Анна Михайловна глазами указала ему на кресло, стоявшее подле кровати. Пьер покорно стал садиться на кресло, глазами продолжая спрашивать, то ли он сделал, что нужно. Анна Михайловна одобрительно кивнула головой. Пьер принял опять симметрично наивное положение египетской статуи, видимо, соболезнуя о том, что неуклюжее и толстое тело его занимало такое большое пространство, и употребляя все душевные силы, чтобы казаться как можно меньше. Он смотрел на графа. Граф смотрел на то место, где находилось лицо Пьера, в то время как он стоял. Анна Михайловна являла в своем положении сознание трогательной важности этой последней минуты свидания отца с сыном. Это продолжалось две минуты, которые показались Пьеру часом. Вдруг в крупных мускулах и морщинах лица графа появилось содрогание. Содрогание усиливалось, красивый рот покривился (тут только Пьер понял, до какой степени отец его был близок к смерти), из перекривленного рта послышался неясный хриплый звук. Анна Михайловна старательно смотрела в глаза больному и, стараясь угадать, чего было нужно ему, указывала то на Пьера, то на питье, то шопотом вопросительно называла князя Василия, то указывала на одеяло. Глаза и лицо больного выказывали нетерпение. Он сделал усилие, чтобы взглянуть на слугу, который безотходно стоял у изголовья постели.
– На другой бочок перевернуться хотят, – прошептал слуга и поднялся, чтобы переворотить лицом к стене тяжелое тело графа.
Пьер встал, чтобы помочь слуге.
В то время как графа переворачивали, одна рука его беспомощно завалилась назад, и он сделал напрасное усилие, чтобы перетащить ее. Заметил ли граф тот взгляд ужаса, с которым Пьер смотрел на эту безжизненную руку, или какая другая мысль промелькнула в его умирающей голове в эту минуту, но он посмотрел на непослушную руку, на выражение ужаса в лице Пьера, опять на руку, и на лице его явилась так не шедшая к его чертам слабая, страдальческая улыбка, выражавшая как бы насмешку над своим собственным бессилием. Неожиданно, при виде этой улыбки, Пьер почувствовал содрогание в груди, щипанье в носу, и слезы затуманили его зрение. Больного перевернули на бок к стене. Он вздохнул.
– Il est assoupi, [Он задремал,] – сказала Анна Михайловна, заметив приходившую на смену княжну. – Аllons. [Пойдем.]
Пьер вышел.


В приемной никого уже не было, кроме князя Василия и старшей княжны, которые, сидя под портретом Екатерины, о чем то оживленно говорили. Как только они увидали Пьера с его руководительницей, они замолчали. Княжна что то спрятала, как показалось Пьеру, и прошептала:
– Не могу видеть эту женщину.
– Catiche a fait donner du the dans le petit salon, – сказал князь Василий Анне Михайловне. – Allez, ma pauvre Анна Михайловна, prenez quelque сhose, autrement vous ne suffirez pas. [Катишь велела подать чаю в маленькой гостиной. Вы бы пошли, бедная Анна Михайловна, подкрепили себя, а то вас не хватит.]
Пьеру он ничего не сказал, только пожал с чувством его руку пониже плеча. Пьер с Анной Михайловной прошли в petit salon. [маленькую гостиную.]
– II n'y a rien qui restaure, comme une tasse de cet excellent the russe apres une nuit blanche, [Ничто так не восстановляет после бессонной ночи, как чашка этого превосходного русского чаю.] – говорил Лоррен с выражением сдержанной оживленности, отхлебывая из тонкой, без ручки, китайской чашки, стоя в маленькой круглой гостиной перед столом, на котором стоял чайный прибор и холодный ужин. Около стола собрались, чтобы подкрепить свои силы, все бывшие в эту ночь в доме графа Безухого. Пьер хорошо помнил эту маленькую круглую гостиную, с зеркалами и маленькими столиками. Во время балов в доме графа, Пьер, не умевший танцовать, любил сидеть в этой маленькой зеркальной и наблюдать, как дамы в бальных туалетах, брильянтах и жемчугах на голых плечах, проходя через эту комнату, оглядывали себя в ярко освещенные зеркала, несколько раз повторявшие их отражения. Теперь та же комната была едва освещена двумя свечами, и среди ночи на одном маленьком столике беспорядочно стояли чайный прибор и блюда, и разнообразные, непраздничные люди, шопотом переговариваясь, сидели в ней, каждым движением, каждым словом показывая, что никто не забывает и того, что делается теперь и имеет еще совершиться в спальне. Пьер не стал есть, хотя ему и очень хотелось. Он оглянулся вопросительно на свою руководительницу и увидел, что она на цыпочках выходила опять в приемную, где остался князь Василий с старшею княжной. Пьер полагал, что и это было так нужно, и, помедлив немного, пошел за ней. Анна Михайловна стояла подле княжны, и обе они в одно время говорили взволнованным шопотом:
– Позвольте мне, княгиня, знать, что нужно и что ненужно, – говорила княжна, видимо, находясь в том же взволнованном состоянии, в каком она была в то время, как захлопывала дверь своей комнаты.
– Но, милая княжна, – кротко и убедительно говорила Анна Михайловна, заступая дорогу от спальни и не пуская княжну, – не будет ли это слишком тяжело для бедного дядюшки в такие минуты, когда ему нужен отдых? В такие минуты разговор о мирском, когда его душа уже приготовлена…
Князь Василий сидел на кресле, в своей фамильярной позе, высоко заложив ногу на ногу. Щеки его сильно перепрыгивали и, опустившись, казались толще внизу; но он имел вид человека, мало занятого разговором двух дам.
– Voyons, ma bonne Анна Михайловна, laissez faire Catiche. [Оставьте Катю делать, что она знает.] Вы знаете, как граф ее любит.
– Я и не знаю, что в этой бумаге, – говорила княжна, обращаясь к князю Василью и указывая на мозаиковый портфель, который она держала в руках. – Я знаю только, что настоящее завещание у него в бюро, а это забытая бумага…
Она хотела обойти Анну Михайловну, но Анна Михайловна, подпрыгнув, опять загородила ей дорогу.
– Я знаю, милая, добрая княжна, – сказала Анна Михайловна, хватаясь рукой за портфель и так крепко, что видно было, она не скоро его пустит. – Милая княжна, я вас прошу, я вас умоляю, пожалейте его. Je vous en conjure… [Умоляю вас…]
Княжна молчала. Слышны были только звуки усилий борьбы зa портфель. Видно было, что ежели она заговорит, то заговорит не лестно для Анны Михайловны. Анна Михайловна держала крепко, но, несмотря на то, голос ее удерживал всю свою сладкую тягучесть и мягкость.