Формула Торричелли (гидродинамика)
Фо́рмула Торриче́лли связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием[1].
Формула Торричелли утверждает, что скорость <math>v</math> истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине <math>h</math> от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты <math>h</math>[2], то есть
- <math>v = \sqrt{2gh},</math>
где <math>g</math> — ускорение свободного падения.
Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии <math>\frac{1}{2}mv^2</math> и потерянной потенциальной энергии <math>mgh</math>.
Эта формула была получена в словесной форме итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году и опубликована в его сочинении Opera geometrica, вышедшем в 1644 году, в разделе De motu aquarum[2]. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.
Вывод
Закон Бернулли утверждает, что
- <math>\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{const},</math>
где v — это скорость жидкости, z — высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p — давление, ρ — плотность жидкости.
Пусть отверстие находится на высоте z = 0. У поверхности жидкости в резервуаре давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z = 0, и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:
- <math>gz + \frac{p_\text{atm}}{\rho} = \frac{v^2}{2} + \frac{p_\text{atm}}{\rho}</math>
- <math>\Rightarrow v^2 = 2gz</math>
- <math>\Rightarrow v = \sqrt{2gz}.</math>
z равно высоте h, и таким образом
- <math>v = \sqrt{2gh}.</math>
Напишите отзыв о статье "Формула Торричелли (гидродинамика)"
Литература
- T. E. Faber. Fluid Dynamics for Physicists. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-42969-2.
- Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
- Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)
Примечания
- ↑ [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/2621/%D0%A2%D0%9E%D0%A0%D0%A0%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%9B%D0%9B%D0%98 Торричелли формула]. Статьи в Физической энциклопедии и Физическом энциклопедическом словаре.
- ↑ 1 2 См. Evangelista Torricelli. De motu aquarum // [archive.org/stream/operageometrica00torrgoog#page/n196/mode/2up Opera Geometrica]. — 1644. — P. 191. Формула Торричелли там выражена утверждением на латинском языке: "Aquas violenter erumpentes in ipso eruptionis puncto eundem impetum habere, quem haberet grave aliquod, sive ipsius aquae gutta una, si ex suprema eiusdem aquae superficie usque ad orificium eruptiones naturaliter cecidisset".
Отрывок, характеризующий Формула Торричелли (гидродинамика)
– Вы шутите, – всё более и более оживляясь говорил Пьер. Какое же может быть заблуждение и зло в том, что я желал (очень мало и дурно исполнил), но желал сделать добро, да и сделал хотя кое что? Какое же может быть зло, что несчастные люди, наши мужики, люди такие же, как и мы, выростающие и умирающие без другого понятия о Боге и правде, как обряд и бессмысленная молитва, будут поучаться в утешительных верованиях будущей жизни, возмездия, награды, утешения? Какое же зло и заблуждение в том, что люди умирают от болезни, без помощи, когда так легко материально помочь им, и я им дам лекаря, и больницу, и приют старику? И разве не ощутительное, не несомненное благо то, что мужик, баба с ребенком не имеют дня и ночи покоя, а я дам им отдых и досуг?… – говорил Пьер, торопясь и шепелявя. – И я это сделал, хоть плохо, хоть немного, но сделал кое что для этого, и вы не только меня не разуверите в том, что то, что я сделал хорошо, но и не разуверите, чтоб вы сами этого не думали. А главное, – продолжал Пьер, – я вот что знаю и знаю верно, что наслаждение делать это добро есть единственное верное счастие жизни.– Да, ежели так поставить вопрос, то это другое дело, сказал князь Андрей. – Я строю дом, развожу сад, а ты больницы. И то, и другое может служить препровождением времени. А что справедливо, что добро – предоставь судить тому, кто всё знает, а не нам. Ну ты хочешь спорить, – прибавил он, – ну давай. – Они вышли из за стола и сели на крыльцо, заменявшее балкон.
– Ну давай спорить, – сказал князь Андрей. – Ты говоришь школы, – продолжал он, загибая палец, – поучения и так далее, то есть ты хочешь вывести его, – сказал он, указывая на мужика, снявшего шапку и проходившего мимо их, – из его животного состояния и дать ему нравственных потребностей, а мне кажется, что единственно возможное счастье – есть счастье животное, а ты его то хочешь лишить его. Я завидую ему, а ты хочешь его сделать мною, но не дав ему моих средств. Другое ты говоришь: облегчить его работу. А по моему, труд физический для него есть такая же необходимость, такое же условие его существования, как для меня и для тебя труд умственный. Ты не можешь не думать. Я ложусь спать в 3 м часу, мне приходят мысли, и я не могу заснуть, ворочаюсь, не сплю до утра оттого, что я думаю и не могу не думать, как он не может не пахать, не косить; иначе он пойдет в кабак, или сделается болен. Как я не перенесу его страшного физического труда, а умру через неделю, так он не перенесет моей физической праздности, он растолстеет и умрет. Третье, – что бишь еще ты сказал? – Князь Андрей загнул третий палец.
