Формула Эйлера — Маклорена

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Формула Эйлера-Маклорена»)
Перейти к: навигация, поиск

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу (англ.)). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.





Формула

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

<math>\sum\limits_{a \leqslant k <b}f(k) = \int\limits_a^b f(x)dx + \left.\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b + R_m,</math>

где

<math>R_m=(-1)^{m+1}\int\limits_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx,</math>

здесь <math>a \leqslant b,m</math> — натуральное, <math>B_k</math> — числа Бернулли, <math>f(x)</math> — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные <math>f'(x),\ldots, f^{(m)}(x)</math>, <math>B_m(t)</math> — многочлен Бернулли, <math>\{x\}</math> — дробная часть x. В случае, когда <math>R_m</math> мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли <math>B_n(x), n=0,1,2,\ldots</math> определяются рекуррентно как

<math>B_0(x) = 1,</math>
<math>B_n'(x) = nB_{n-1}(x), \ \int\limits_0^1 B_n(x)dx = 0, n\in\mathbb{N}.</math>

Выражение <math>B_n(\{x\})=P_n(x)</math> называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах <math>P_n(x)</math>:

<math>R=-\int\limits_a^b f^{(2p)}(x) \frac{P_{2p}(x)}{(2p)!}dx,</math>

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что <math>f^{(2p)}</math> дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

<math>R=\int\limits_a^b f^{(2p+1)}(x) \frac{P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}dx.</math>

где <math>n \geqslant 0</math>. Можно показать, что

<math>\left| B_n(x) \right|\leqslant \frac{2n!}{(2\pi )^n}\zeta (n),</math>

где <math>\zeta</math> обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и <math>x=0</math>. С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

<math>\left|R\right|\leqslant\frac{2\zeta (2p)}{(2\pi)^{2p}}\int\limits_a^b\left|f^{(2p)}(x)\right| dx</math>

Доказательство

Операторные соображения

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Обозначим <math>\Delta</math> — разностный оператор, <math>\Sigma</math> — оператор суммирования, <math>D</math> — оператор дифференцирования, <math>\int</math> — оператор интегрирования. <math>\Delta</math> обратен к <math>\Sigma</math>, а <math>D</math> - обратен к <math>\int</math>. Можно выразить <math>\Delta</math> через <math>D</math> с помощью формулы Тейлора:

<math>\Delta f(x)=f(x+1)-f(x) = \frac{f'(x)}{1!}+\frac{f(x)}{2!}+\frac{f'(x)}{3!}+\ldots = \left(\frac{D}{1!}+\frac{D^2}{2!}+\frac{D^3}{3!}+\ldots \right)f(x)=(e^D-1)f(x),</math>

т.е. <math>\Delta = e^D-1</math> и тогда <math>\Sigma = \Delta ^{-1} = \frac{1}{e^D-1}</math>, а поскольку <math>\frac{z}{e^z-1}=\sum\limits_{k \geqslant 0}B_k \frac{z^k}{k!}</math>, то

<math>\sum = \frac{B_0}{D}+\frac{B_1}{1!}+\frac{B_2}{2!}D+\frac{B_3}{3!}D^2+\ldots =\int + \sum\limits_{k \geqslant 1}\frac{B_k}{k!}D^{k-1}.</math>

Применяя это операторное соотношение к <math>f(x)</math>, получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членом

Достаточно доказать формулу при <math>a=0,b=1</math>, поскольку мы можем любой отрезок <math>[a;b]</math> с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в <math>[0;1]</math>. При <math>a=0,b=1</math> формула имеет вид

<math>f(0)=\int\limits_0^1 f(x)dx+\left.\sum\limits_{k=1}^m\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_0^1+(-1)^{(m+1)}\int\limits_0^1\frac{B_m(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx.</math>

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При <math>m=1, B_1(x)=x-\frac{1}{2}</math>, и мы получаем:

<math>f(0)=\int\limits_0^1 f(x)dx -\frac{1}{2}(f(1)-f(0))+\int\limits_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)f'(x)dx.</math>

Интегрирования по частям при <math>u(x)=f(x),v(x)=x-\frac{1}{2}</math>, получаем формулу при <math>m=1</math>.

Шаг. Шаг индукции равносилен равенству <math>R_{m-1}=\left. \frac{B_m}{m!}f^{(m-1)}(x)\right|_0^1+R_m</math>, т.е. нужно доказать, что

<math>\left. (-1)^mB_mf^{(m-1)}(x)\right|_0^1=m\int\limits_0^1 B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int\limits_0^1 B_m(x)f^{(m)}(x)dx.</math>

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при <math>u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_m(x)</math>: <math>B_m'(x)=mB_{m-1}(x)</math>, поэтому формула верна тогда и только тогда, когда

<math>\left. (-1)^mB_mf^{(m-1)}(x)\right|_0^1= \left. B_m(x)f^{(m-1)}(x)\right|_0^1,</math>

то есть когда <math>(-1)^mB_m=B_m(1)=B_m(0)</math>, а это верно, поскольку при нечётных m у нас <math>B_m=0,</math>.

Применение

Сумма степеней

Вычислим сумму степеней <math>\sum\limits_{a \leqslant k <b}k^{m-1}</math>. Положим <math>f(x)=x^{m-1}</math>, тогда <math>f^{(m)}(x)=0</math> и <math>R_m=0</math>, вычисляя интегралы, получаем:

<math>\sum\limits_{a \leqslant k <b}k^{m-1} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}B_k(b^{m-k}-a^{m-k}).</math>

Сумма обратных квадратов

Вычислить сумму

<math> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} \cdots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.</math>

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна <math>\frac{\pi ^2}{6}</math>, что и было им доказано в том же году.[1][2]

Численное интегрирование

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

<math>\sum\limits_{n=a}^bf(n)\sim\int\limits_a^bf(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),</math>

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов <math>a\to -\infty</math> или <math> b\to +\infty</math>, или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

<math>\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} \sim \underbrace{\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{(z+k)^2}dk}_{=1/z}+\frac{1}{2z^2}

+\sum\limits_{t=1}^{+\infty} \frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.</math>

Здесь левая часть равна <math>\psi^{(1)}(z)</math>, называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как <math>\psi^{(1)}(z)=\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma(z)</math>; гамма-функция <math>\Gamma(z)</math> равна <math>(z-1)!</math>, если z натуральное. Полученный результат есть асимптотческое разложение <math>\psi^{(1)}(z)</math>. Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел

Полагаем <math>f(x)=x^{-1}</math>, тогда <math>f^{(m)}(x)=(-1)^mm!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})</math> и тогда получаем

<math>\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}-\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}-\theta _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},</math>

где <math>0<\theta _{m,n} < 1</math>. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера <math>\gamma</math>.

Аппроксимация Стирлинга для факториала

Полагаем <math>f(x)=\ln x</math>, тогда <math>f'(x)=x^{-1}, f^{(m+1)}(x)=(-1)^mm!x^{-m-1}</math> и тогда получаем

<math>\sum\limits_{k=1}^n \ln k = n\ln n -n + \sigma -\frac{\ln n}{2}+\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}- \phi _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}},</math>

где на самом деле <math>\sigma = \ln \sqrt{2\pi}</math>. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Напишите отзыв о статье "Формула Эйлера — Маклорена"

Примечания

  1. David J. Pengelley, [www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula"], in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, 2003.
  2. К. П. Кохась [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=mp&paperid=146&what=fullt&option_lang=rus Сумма обратных квадратов] // Матем. просв.. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.

Литература

Отрывок, характеризующий Формула Эйлера — Маклорена

– Не…е…т, – проговорил сквозь зубы Долохов, – нет, не кончено, – и сделав еще несколько падающих, ковыляющих шагов до самой сабли, упал на снег подле нее. Левая рука его была в крови, он обтер ее о сюртук и оперся ею. Лицо его было бледно, нахмуренно и дрожало.
– Пожалу… – начал Долохов, но не мог сразу выговорить… – пожалуйте, договорил он с усилием. Пьер, едва удерживая рыдания, побежал к Долохову, и хотел уже перейти пространство, отделяющее барьеры, как Долохов крикнул: – к барьеру! – и Пьер, поняв в чем дело, остановился у своей сабли. Только 10 шагов разделяло их. Долохов опустился головой к снегу, жадно укусил снег, опять поднял голову, поправился, подобрал ноги и сел, отыскивая прочный центр тяжести. Он глотал холодный снег и сосал его; губы его дрожали, но всё улыбаясь; глаза блестели усилием и злобой последних собранных сил. Он поднял пистолет и стал целиться.
– Боком, закройтесь пистолетом, – проговорил Несвицкий.
– 3ак'ойтесь! – не выдержав, крикнул даже Денисов своему противнику.
Пьер с кроткой улыбкой сожаления и раскаяния, беспомощно расставив ноги и руки, прямо своей широкой грудью стоял перед Долоховым и грустно смотрел на него. Денисов, Ростов и Несвицкий зажмурились. В одно и то же время они услыхали выстрел и злой крик Долохова.
– Мимо! – крикнул Долохов и бессильно лег на снег лицом книзу. Пьер схватился за голову и, повернувшись назад, пошел в лес, шагая целиком по снегу и вслух приговаривая непонятные слова:
– Глупо… глупо! Смерть… ложь… – твердил он морщась. Несвицкий остановил его и повез домой.
Ростов с Денисовым повезли раненого Долохова.
Долохов, молча, с закрытыми глазами, лежал в санях и ни слова не отвечал на вопросы, которые ему делали; но, въехав в Москву, он вдруг очнулся и, с трудом приподняв голову, взял за руку сидевшего подле себя Ростова. Ростова поразило совершенно изменившееся и неожиданно восторженно нежное выражение лица Долохова.
– Ну, что? как ты чувствуешь себя? – спросил Ростов.
– Скверно! но не в том дело. Друг мой, – сказал Долохов прерывающимся голосом, – где мы? Мы в Москве, я знаю. Я ничего, но я убил ее, убил… Она не перенесет этого. Она не перенесет…
– Кто? – спросил Ростов.
– Мать моя. Моя мать, мой ангел, мой обожаемый ангел, мать, – и Долохов заплакал, сжимая руку Ростова. Когда он несколько успокоился, он объяснил Ростову, что живет с матерью, что ежели мать увидит его умирающим, она не перенесет этого. Он умолял Ростова ехать к ней и приготовить ее.
Ростов поехал вперед исполнять поручение, и к великому удивлению своему узнал, что Долохов, этот буян, бретёр Долохов жил в Москве с старушкой матерью и горбатой сестрой, и был самый нежный сын и брат.


Пьер в последнее время редко виделся с женою с глазу на глаз. И в Петербурге, и в Москве дом их постоянно бывал полон гостями. В следующую ночь после дуэли, он, как и часто делал, не пошел в спальню, а остался в своем огромном, отцовском кабинете, в том самом, в котором умер граф Безухий.
Он прилег на диван и хотел заснуть, для того чтобы забыть всё, что было с ним, но он не мог этого сделать. Такая буря чувств, мыслей, воспоминаний вдруг поднялась в его душе, что он не только не мог спать, но не мог сидеть на месте и должен был вскочить с дивана и быстрыми шагами ходить по комнате. То ему представлялась она в первое время после женитьбы, с открытыми плечами и усталым, страстным взглядом, и тотчас же рядом с нею представлялось красивое, наглое и твердо насмешливое лицо Долохова, каким оно было на обеде, и то же лицо Долохова, бледное, дрожащее и страдающее, каким оно было, когда он повернулся и упал на снег.
«Что ж было? – спрашивал он сам себя. – Я убил любовника , да, убил любовника своей жены. Да, это было. Отчего? Как я дошел до этого? – Оттого, что ты женился на ней, – отвечал внутренний голос.
«Но в чем же я виноват? – спрашивал он. – В том, что ты женился не любя ее, в том, что ты обманул и себя и ее, – и ему живо представилась та минута после ужина у князя Василья, когда он сказал эти невыходившие из него слова: „Je vous aime“. [Я вас люблю.] Всё от этого! Я и тогда чувствовал, думал он, я чувствовал тогда, что это было не то, что я не имел на это права. Так и вышло». Он вспомнил медовый месяц, и покраснел при этом воспоминании. Особенно живо, оскорбительно и постыдно было для него воспоминание о том, как однажды, вскоре после своей женитьбы, он в 12 м часу дня, в шелковом халате пришел из спальни в кабинет, и в кабинете застал главного управляющего, который почтительно поклонился, поглядел на лицо Пьера, на его халат и слегка улыбнулся, как бы выражая этой улыбкой почтительное сочувствие счастию своего принципала.
«А сколько раз я гордился ею, гордился ее величавой красотой, ее светским тактом, думал он; гордился тем своим домом, в котором она принимала весь Петербург, гордился ее неприступностью и красотой. Так вот чем я гордился?! Я тогда думал, что не понимаю ее. Как часто, вдумываясь в ее характер, я говорил себе, что я виноват, что не понимаю ее, не понимаю этого всегдашнего спокойствия, удовлетворенности и отсутствия всяких пристрастий и желаний, а вся разгадка была в том страшном слове, что она развратная женщина: сказал себе это страшное слово, и всё стало ясно!
«Анатоль ездил к ней занимать у нее денег и целовал ее в голые плечи. Она не давала ему денег, но позволяла целовать себя. Отец, шутя, возбуждал ее ревность; она с спокойной улыбкой говорила, что она не так глупа, чтобы быть ревнивой: пусть делает, что хочет, говорила она про меня. Я спросил у нее однажды, не чувствует ли она признаков беременности. Она засмеялась презрительно и сказала, что она не дура, чтобы желать иметь детей, и что от меня детей у нее не будет».
Потом он вспомнил грубость, ясность ее мыслей и вульгарность выражений, свойственных ей, несмотря на ее воспитание в высшем аристократическом кругу. «Я не какая нибудь дура… поди сам попробуй… allez vous promener», [убирайся,] говорила она. Часто, глядя на ее успех в глазах старых и молодых мужчин и женщин, Пьер не мог понять, отчего он не любил ее. Да я никогда не любил ее, говорил себе Пьер; я знал, что она развратная женщина, повторял он сам себе, но не смел признаться в этом.
И теперь Долохов, вот он сидит на снегу и насильно улыбается, и умирает, может быть, притворным каким то молодечеством отвечая на мое раскаянье!»
Пьер был один из тех людей, которые, несмотря на свою внешнюю, так называемую слабость характера, не ищут поверенного для своего горя. Он переработывал один в себе свое горе.
«Она во всем, во всем она одна виновата, – говорил он сам себе; – но что ж из этого? Зачем я себя связал с нею, зачем я ей сказал этот: „Je vous aime“, [Я вас люблю?] который был ложь и еще хуже чем ложь, говорил он сам себе. Я виноват и должен нести… Что? Позор имени, несчастие жизни? Э, всё вздор, – подумал он, – и позор имени, и честь, всё условно, всё независимо от меня.
«Людовика XVI казнили за то, что они говорили, что он был бесчестен и преступник (пришло Пьеру в голову), и они были правы с своей точки зрения, так же как правы и те, которые за него умирали мученической смертью и причисляли его к лику святых. Потом Робеспьера казнили за то, что он был деспот. Кто прав, кто виноват? Никто. А жив и живи: завтра умрешь, как мог я умереть час тому назад. И стоит ли того мучиться, когда жить остается одну секунду в сравнении с вечностью? – Но в ту минуту, как он считал себя успокоенным такого рода рассуждениями, ему вдруг представлялась она и в те минуты, когда он сильнее всего выказывал ей свою неискреннюю любовь, и он чувствовал прилив крови к сердцу, и должен был опять вставать, двигаться, и ломать, и рвать попадающиеся ему под руки вещи. «Зачем я сказал ей: „Je vous aime?“ все повторял он сам себе. И повторив 10 й раз этот вопрос, ему пришло в голову Мольерово: mais que diable allait il faire dans cette galere? [но за каким чортом понесло его на эту галеру?] и он засмеялся сам над собою.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Формула_Эйлера_—_Маклорена&oldid=79295460»