Формула конечных приращений

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция <math> f </math> непрерывна на отрезке <math>[a; b]</math> и дифференцируема в интервале <math>(a;b)</math>, то найдётся такая точка <math> c\in (a;b)</math>, что

<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)</math>.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке <math>[a;b]</math> найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть <math>f(t)</math> — расстояние точки в момент <math>t</math> от начального положения. Тогда <math>f(b)-f(a)</math> есть путь, пройденный с момента <math> t=a </math> до момента <math> t=b </math>, отношение <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени <math>t\in (a,b)</math>, то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем функцию <math>F(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>. Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны нулю. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка <math>c</math>, в которой производная функции <math>F</math> равна нулю:

<math>f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Leftrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c),</math>

что и требовалось доказать.

Следствия и обобщения

Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых <math>x</math> и <math>y</math> существует точка <math>c</math>, такая что <math>f(y) - f(x) = f'(c) (y - x) = 0</math>.

Значит, при всех <math>x</math> и <math>y</math> верно равенство <math>f(y) = f(x)</math>.

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция <math>f(x)</math> возрастает/убывает на отрезке <math>[a,b]</math> тогда и только тогда, когда её производная <math>f'(x)</math> на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции <math>f(x)</math>.

Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция <math>f</math> дифференцируема <math>n</math> раз в окрестности точки <math>x</math>, то для малых <math>h</math> (т.е. тех, для которых отрезок <math>[x,x+h]</math> лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

<math>f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f(x)\frac{h^2}{2} + ... + f^{(n-1)}(x)\frac{h^{n-1}}{(n-1)!} + f^{(n)}(x+\theta h)\frac{h^{n}}{n!}</math>

где <math>\theta</math> - некоторое число из интервала <math>(0,1)</math>.

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При <math>n=1</math> из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Следствие 3. Если функция <math>n</math> переменных <math>f(x_1, x_2,\dots,x_n)</math> дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}</math>

Доказательство для <math>n=2</math>. Зафиксируем значения <math>\Delta x</math> и <math>\Delta y</math> и рассмотрим разностные операторы

<math>\Delta_x: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}</math> и <math>\Delta_y: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x,y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}</math>.

По теореме Лагранжа существуют числа <math>\theta_1,\theta_2\in(0,1)</math>, такие что

<math>\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2\Delta y) \rightarrow \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)</math>

при <math>(\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0</math> в силу непрерывности вторых производных функции <math>f(x,y)</math>.

Аналогично доказывается, что <math>\Delta_x\Delta_y f(x,y)\rightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>.

Но так как <math>\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_x\Delta_y f(x,y)</math>, (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество <math>d^2 = 0</math> для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция <math>f(x)</math> дифференцируема на отрезке <math>[a,b]</math> и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: <math>\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx = f(b) - f(a)</math>.

Доказательство. Пусть <math>T</math> - произвольное разбиение <math>a=x_0 < x_1 < x_2 < ... <x_n = b</math> отрезка <math>[a,b]</math>. Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков <math>[x_{k-1}, x_k]</math> найдём точку <math>\xi_k</math> такую, что <math>f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = f(x_k) - f(x_{k-1})</math>.

Суммируя эти равенства, получим: <math>\sum\limits_{k=1}^{n} f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = \sum\limits_{k=1}^{n} (f(x_k) - f(x_{k-1})) = f(b) - f(a)</math>

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла <math>\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx</math> и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши - основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение <math>F:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m</math> непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области <math>\Omega</math> пространства <math>\mathbb{R}^n</math>. Тогда <math>|F(y) - F(x)| \leq \sup\limits_{\xi\in \Omega}|DF(\xi)|\cdot |y - x|</math>.

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

См. также

• Лагранж, Жозеф Луи
• Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.

Отрывок, характеризующий Формула конечных приращений

На другой день после смотра Борис, одевшись в лучший мундир и напутствуемый пожеланиями успеха от своего товарища Берга, поехал в Ольмюц к Болконскому, желая воспользоваться его лаской и устроить себе наилучшее положение, в особенности положение адъютанта при важном лице, казавшееся ему особенно заманчивым в армии. «Хорошо Ростову, которому отец присылает по 10 ти тысяч, рассуждать о том, как он никому не хочет кланяться и ни к кому не пойдет в лакеи; но мне, ничего не имеющему, кроме своей головы, надо сделать свою карьеру и не упускать случаев, а пользоваться ими».
В Ольмюце он не застал в этот день князя Андрея. Но вид Ольмюца, где стояла главная квартира, дипломатический корпус и жили оба императора с своими свитами – придворных, приближенных, только больше усилил его желание принадлежать к этому верховному миру.
Он никого не знал, и, несмотря на его щегольской гвардейский мундир, все эти высшие люди, сновавшие по улицам, в щегольских экипажах, плюмажах, лентах и орденах, придворные и военные, казалось, стояли так неизмеримо выше его, гвардейского офицерика, что не только не хотели, но и не могли признать его существование. В помещении главнокомандующего Кутузова, где он спросил Болконского, все эти адъютанты и даже денщики смотрели на него так, как будто желали внушить ему, что таких, как он, офицеров очень много сюда шляется и что они все уже очень надоели. Несмотря на это, или скорее вследствие этого, на другой день, 15 числа, он после обеда опять поехал в Ольмюц и, войдя в дом, занимаемый Кутузовым, спросил Болконского. Князь Андрей был дома, и Бориса провели в большую залу, в которой, вероятно, прежде танцовали, а теперь стояли пять кроватей, разнородная мебель: стол, стулья и клавикорды. Один адъютант, ближе к двери, в персидском халате, сидел за столом и писал. Другой, красный, толстый Несвицкий, лежал на постели, подложив руки под голову, и смеялся с присевшим к нему офицером. Третий играл на клавикордах венский вальс, четвертый лежал на этих клавикордах и подпевал ему. Болконского не было. Никто из этих господ, заметив Бориса, не изменил своего положения. Тот, который писал, и к которому обратился Борис, досадливо обернулся и сказал ему, что Болконский дежурный, и чтобы он шел налево в дверь, в приемную, коли ему нужно видеть его. Борис поблагодарил и пошел в приемную. В приемной было человек десять офицеров и генералов.
В то время, как взошел Борис, князь Андрей, презрительно прищурившись (с тем особенным видом учтивой усталости, которая ясно говорит, что, коли бы не моя обязанность, я бы минуты с вами не стал разговаривать), выслушивал старого русского генерала в орденах, который почти на цыпочках, на вытяжке, с солдатским подобострастным выражением багрового лица что то докладывал князю Андрею.
– Очень хорошо, извольте подождать, – сказал он генералу тем французским выговором по русски, которым он говорил, когда хотел говорить презрительно, и, заметив Бориса, не обращаясь более к генералу (который с мольбою бегал за ним, прося еще что то выслушать), князь Андрей с веселой улыбкой, кивая ему, обратился к Борису.
Борис в эту минуту уже ясно понял то, что он предвидел прежде, именно то, что в армии, кроме той субординации и дисциплины, которая была написана в уставе, и которую знали в полку, и он знал, была другая, более существенная субординация, та, которая заставляла этого затянутого с багровым лицом генерала почтительно дожидаться, в то время как капитан князь Андрей для своего удовольствия находил более удобным разговаривать с прапорщиком Друбецким. Больше чем когда нибудь Борис решился служить впредь не по той писанной в уставе, а по этой неписанной субординации. Он теперь чувствовал, что только вследствие того, что он был рекомендован князю Андрею, он уже стал сразу выше генерала, который в других случаях, во фронте, мог уничтожить его, гвардейского прапорщика. Князь Андрей подошел к нему и взял за руку.
– Очень жаль, что вчера вы не застали меня. Я целый день провозился с немцами. Ездили с Вейротером поверять диспозицию. Как немцы возьмутся за аккуратность – конца нет!
Борис улыбнулся, как будто он понимал то, о чем, как об общеизвестном, намекал князь Андрей. Но он в первый раз слышал и фамилию Вейротера и даже слово диспозиция.
– Ну что, мой милый, всё в адъютанты хотите? Я об вас подумал за это время.
– Да, я думал, – невольно отчего то краснея, сказал Борис, – просить главнокомандующего; к нему было письмо обо мне от князя Курагина; я хотел просить только потому, – прибавил он, как бы извиняясь, что, боюсь, гвардия не будет в деле.
– Хорошо! хорошо! мы обо всем переговорим, – сказал князь Андрей, – только дайте доложить про этого господина, и я принадлежу вам.
В то время как князь Андрей ходил докладывать про багрового генерала, генерал этот, видимо, не разделявший понятий Бориса о выгодах неписанной субординации, так уперся глазами в дерзкого прапорщика, помешавшего ему договорить с адъютантом, что Борису стало неловко. Он отвернулся и с нетерпением ожидал, когда возвратится князь Андрей из кабинета главнокомандующего.
– Вот что, мой милый, я думал о вас, – сказал князь Андрей, когда они прошли в большую залу с клавикордами. – К главнокомандующему вам ходить нечего, – говорил князь Андрей, – он наговорит вам кучу любезностей, скажет, чтобы приходили к нему обедать («это было бы еще не так плохо для службы по той субординации», подумал Борис), но из этого дальше ничего не выйдет; нас, адъютантов и ординарцев, скоро будет батальон. Но вот что мы сделаем: у меня есть хороший приятель, генерал адъютант и прекрасный человек, князь Долгоруков; и хотя вы этого можете не знать, но дело в том, что теперь Кутузов с его штабом и мы все ровно ничего не значим: всё теперь сосредоточивается у государя; так вот мы пойдемте ка к Долгорукову, мне и надо сходить к нему, я уж ему говорил про вас; так мы и посмотрим; не найдет ли он возможным пристроить вас при себе, или где нибудь там, поближе .к солнцу.