Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
   Квантовая механика
<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Формулировка через интеграл по траекториям квантовой механики — это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое определение одиночной, уникальной траектории системы полной суммой (функциональным интегралом) по бесконечному множеству всевозможных траекторий для расчета квантовой амплитуды. Методологически формулировка через интеграл по траекториям близка к принципу Гюйгенса — Френеля из классической теории волн.

Формулировка через интеграл по траекториям была развита в 1948 году Ричардом Фейнманом. Некоторые предварительные моменты были разработаны ранее при написании его диссертации под руководством Джона Арчибальда Уилера.

Эта формулировка была ключевой для последующего развития теоретической физики, так как она явно симметрична во времени и пространстве. Непохожий на предыдущие методы, интеграл по траекториям позволяет физику легко переходить от одних координат к другим при каноническом описании одной и той же квантовой системы.

Интеграл по траекториям также относится к квантовым и стохастическим процессам, и это обеспечило базис для великого синтеза 1970-х годов, который объединил квантовую теорию поля со статистической теорией флуктуаций поля вблизи фазовых переходов второго рода. Уравнение Шрёдингера при этом является уравнением диффузии с мнимым коэффициентом диффузии, а интеграл по траекториям — аналитическим продолжением метода суммирования всех возможных путей. По этой причине интегралы по траекториям были использованы для изучения броуновского движения и диффузии немного ранее, чем они были представлены в квантовую механику[1].

Недавно определение интегралов по траекториям было расширено таким образом, чтобы помимо броуновского движения они могли описывать также и полёты Леви. Формулировка через интегралы по траекториям Леви ведёт к дробной квантовой механике и дробному расширению уравнения Шрёдингера[2].

Основы математической теории функциональных интегралов см.[3]





Квантовый принцип действия

В традиционной квантовой механике гамильтониан представляет собой генератор бесконечно малых (инфинитезимальных) временных трансляций (например, в пространстве состояний квантовомеханической системы). Это означает, что состояние через бесконечно малое время <math>dt</math> отличается от состояния в данный момент времени на величину, равную произведению <math>-i</math> на <math>dt</math> на действие оператора Гамильтона на это состояние. Для состояний с определённой энергией это выражает соотношение де Бройля между частотой и энергией, а общее отношение согласуется с ним с учётом принципа суперпозиции.

Но гамильтониан в классической механике выводится из лагранжиана, который является более фундаментальной величиной в соответствии со специальной теорией относительности. Гамильтониан описывает развитие системы во времени, но представление о времени изменяется при переходе от одной системы отсчёта к другой. Таким образом, гамильтониан различен для разных систем отсчёта, и в начальной формулировке квантовой механики её Лоренц-инвариантность не очевидна.

Гамильтониан является функцией координат и импульсов, и по нему определяются координаты и импульсы в более поздний момент времени. Лагранжиан — это функция координат в данный момент и координат немного позднее (или, эквивалентно для бесконечно малых промежутков времени, это есть функция координат и скорости). Первый и второй связаны преобразованием Лежандра, и условие, определяющее классические уравнения движения — это условие на минимум действия.

В квантовой механике преобразование Лежандра трудно интерпретировать, так как движение происходит не по определённой траектории. В классической механике с дискретизацией по времени

<math>
      \varepsilon H = p\big(q(t+\varepsilon) - q(t)\big) - \varepsilon L,

</math>

и

<math>
      p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}},

</math>

где частная производная по q оставляет q(t + ε) фиксированным. Обратное преобразование Лежандра:

<math>
      \varepsilon L = p \varepsilon \dot{q} - \varepsilon H,

</math>

где

<math>
      \dot q = \frac{\partial H}{\partial p},

</math>

и частная производная теперь берется по p при фиксированном q.

В квантовой механике состояние является суперпозицией разных состояний с разными значениями q или разными значениями p, а величины p и q могут быть интерпретированы как некоммутирующие операторы. Оператор p имеет определённое значение только на состояниях, которые не имеют определённого q. Тогда представим два состояния, разделённых во времени, и подействуем на них оператором, соответствующим лагранжиану:

<math>
      e^{-i[p\{q(t + \varepsilon) - q(t)\} - \varepsilon H(p,q)]}.

</math>

Если операции умножения в данной формуле рассматривать как умножение операторов (или их матриц), то это означает, что первый множитель

<math>
      e^{-ip q(t)}

</math>

и сумма по всем состояниям интегрируется по всем значениям q(t) — таким образом производится преобразование Фурье к переменной p(t). Это действие производится над гильбертовым пространством — переход к переменной p(t) в момент времени t.

Далее следует множитель

<math>
      e^{-i\varepsilon H(p,q)},

</math>

описывающий эволюцию системы за бесконечно малый промежуток времени.

И последний множитель в этой интерпретации:

<math>
      e^{ipq(t + \varepsilon)},

</math>

производящий изменение базиса обратно к q(t), но уже в более поздний момент времени.

Это не сильно отличается от обычной эволюции во времени: H содержит всю динамическую информацию — он толкает состояние вперёд во времени. Первая и последняя части совершают преобразование Фурье к промежуточной переменной p(t) и обратно.

Гамильтониан — функция p и q, поэтому экспонирование этой величины и изменение базиса с p на q на каждом шаге позволяет выражать матричный элемент H как простую функцию вдоль каждого пути. Эта функция является квантовым аналогом классического действия. Данное наблюдение впервые сделано Дираком.

Дирак позднее заметил, что можно взять квадрат оператора эволюции в S-представлении:

<math>
      e^{i\varepsilon S},

</math>

получая тем самым оператор эволюции от времени t к времени t + 2ε. В то время как в H-представлении величина, которая суммируется по промежуточным состояниям, является неочевидным матричным элементом, в S-представлении она ассоциируется с путём. В пределе большой степени этого оператора он реконструирует полную эволюцию между двумя состояниями: ранним, которому соответствуют фиксированные значения координат q(0), и поздним — с фиксированным q(t). Результат является суммой по путям с фазой, являющейся квантовым действием.

Интерпретация Фейнмана

Работа Дирака не давала точного алгоритма расчёта сумм по путям, и она не показывала, как можно из этого подхода получить уравнение Шрёдингера или канонические коммутационные соотношения. Это было сделано Фейнманом.

Фейнман показал, что квант действия Дирака в большинстве интересных случаев просто равен классическому действию, соответственно дискретизированному. Это означает, что классическое действие является фазой, набегающей при квантовой эволюции между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил вывести всю квантовую механику из следующих постулатов:

  1. Вероятность события получается как квадрат модуля комплексного числа, называемого «амплитудой».
  2. Амплитуда получается сложением вместе вкладов всех историй в конфигурационном пространстве.
  3. Вклад истории в амплитуду пропорционален <math>e^{i S/\hbar}</math>, где <math>\hbar</math> — постоянная Планка, которая может быть положена равной единице выбором системы единиц измерения, тогда как S — действие этой истории, даваемое временны́м интегралом от лагранжиана вдоль соответствующего пути.

Для того чтобы найти полную вероятность амплитуды для данного процесса, нужно просуммировать или проинтегрировать амплитуду в пространстве всех возможных историй системы между начальным и конечным состояниями, включая истории, которые абсурдны по классическим стандартам (например, скорости частиц на траекториях могут превышать скорость света). В расчёт амплитуды одиночной частицы, которая движется из одного места в другое за заданное время, необходимо включать истории, в которых частица описывает причудливый узор, в которых частица «вылетает в космос» и летит обратно, и так далее. Интеграл по траекториям считает все эти амплитуды историй равными по величине (модулю), но различающимися по фазе (аргументу комплексного числа). Вклады, которые существенно отличаются от классической истории, подавляются только интерференцией с вкладами схожих историй с противоположной фазой (смотрите ниже).

Фейнман показал, что эта формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике, когда Гамильтониан квадратичен по импульсу. Амплитуда, вычисленная согласно фейнмановским принципам, также порождает уравнение Шрёдингера для гамильтониана, соответствующего данному действию.

Классические принципы действия ведут к затруднению из-за своей идеальности: вместо того, чтобы предсказывать будущее из начальных условий, они предсказывают путь к заданному будущему через комбинацию начальных и конечных условий, как если бы система каким-то образом знала, в какое состояние она должна прийти. Интеграл по траекториям объясняет работу классического принципа действия в терминах квантовой суперпозиции. Система не обязана знать заранее, куда она движется — интеграл по траекториям просто вычисляет амплитуду вероятности для любого заданного процесса, и траектория идёт по всем возможным направлениям. Однако спустя достаточно долгое время эффекты интерференции гарантируют, что только вклады от стационарных точек действия дают истории со значимыми вероятностями. Стационарные же точки действия соответствуют классическим траекториям, так что система в среднем движется по классическому пути.

Точная формулировка

Постулаты Фейнмана могут быть интерпретированы следующим образом:

Квантование времени

Для частицы, находящейся в гладком потенциале, интеграл по траекториям, который в одномерном случае является произведением обыкновенных интегралов, приближают зигзагообразными путями. При движении частицы из положения <math>x=x_a</math> в момент времени <math>t=t_a</math> в точку <math>x=x_b</math> при <math>t=t_b</math> временная последовательность <math>t_a < t_1 < \dots < t_{n-1} < t_n < t_b</math> может быть разделена на n малых сегментов <math>t_j-t_{j-1},\; j=1,\dots, n</math> фиксированной длительности <math>\varepsilon \equiv \Delta t=\frac{t_b-t_a}{n+1}</math> (одним оставшимся сегментом можно пренебречь, так как в конечном счёте рассматривается предел <math>n\to\infty </math>). Этот процесс называется квантованием времени.

Приближение для интеграла по траекториям пропорционально выражению:

<math>

\int\limits_{x_1=x_a}^{x_1=x_b} \ldots \int\limits_{x_n=x_a}^{x_n=x_b} \ \exp \left(\fracШаблон:\rm i{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} \mathcal L\big(x(t), v(t), t\big)\,\mathrm{d}t\right) \, \mathrm{d}x_n \cdots \mathrm{d}x_{1}, </math> где <math>\mathcal L(x,v,t)</math> — лагранжиан одномерной системы, зависящий от пространственной переменной x(t) и скорости <math>v=\dot x(t)</math>, а <math>\mathrm{d}x_j</math> соответствует положению на j-ом временном шаге, если временной интеграл приближать суммой n слагаемых.

В пределе при n, стремящемся к бесконечности, это выражение становится функциональным интегралом, который (не считая несущественного множителя) является непосредственно произведением амплитуд плотностей вероятности <math>\langle x_a,t_a|x_b, t_b\rangle </math> найти квантово-механическую частицу при <math>t=t_a</math> в начальном состоянии <math>x=x_a</math> и при <math>t=t_b</math> в конечном состоянии <math>x=x_b</math>.

В действительности, <math> \mathcal L </math> — классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы, <math> \mathcal L(x,\dot x, t)=p \dot x -\mathcal H(x,p,t)</math>, где <math>\mathcal H </math> — гамильтониан (p — импульс, по определению равный <math>\left. p=\frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot x} \right) \!\!,</math> и вышеупомянутое «зигзагирование» соответствует появлению слагаемых

<math> \exp\left (\fracШаблон:\rm i{\hbar}\,\varepsilon \cdot \sum_{j=1}^{n}\mathcal L\left(\tilde x_{j},\tfrac{x_j-x_{j-1}}{\varepsilon},j\right)\right) </math>,

где <math>\tilde x_j \in [x_{j-1}, x_j]</math> — некоторая точка из соответствующего отрезка. Например, можно взять центр отрезка: <math>\tilde x_j=\tfrac{x_j+x_{j-1}}{2}</math>.

Таким образом, в отличие от классической механики, вклад даёт не только стационарная траектория, но, фактически, все виртуальные траектории между начальной и конечной точками.

Фейнмановское приближение квантования времени, однако, не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям для атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала <math>e^2/r</math> в нуле. Только после замены времени t на другой зависящий от траектории параметр («псевдовремя») <math>s=\int dt/r(t)</math> сингулярность устраняется, и приближение квантования времени существует, которое точно интегрируемо, так как оно может быть сделано гармоничным с помощью простого преобразования координат, как было показано İsmail Hakkı Duru и Hagen Kleinert в 1979 годуК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3456 дней]. Совместное применение преобразования время—«псевдовремя» и преобразований координат является важным методом для вычисления многих интегралов по траекториям и называется преобразованием Duru–Kleinert.

Свободная Частица

 Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии.
Вы можете помочь улучшить эту статью, исправив в ней ошибки.
Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его.

В представлении интеграла по траекториям квантовая амплитуда движется от точки x к точке y как интеграл по всем траекториям. Для свободной частицы действие (<math>m = 1</math>, <math>\hbar = 1</math>) интеграл

<math>
      S = \int {\dot{x}^2\over 2} dt

</math>

может быть найден явно.

Чтобы сделать это, концептуально удобно начать без множителя i в экспоненте, так что большие отклонения компенсируются малыми числами, а не отменой колеблющихся вкладов:

<math>
      K(x-y; T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} e^{-\int_0^T {\dot{x}^2\over 2} dt} Dx.

</math>

Разбивем интеграл на части:

<math>
      K(x,y;T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} \Pi_t e^{-\frac12 \left({x(t+\varepsilon) - x(t) \over \varepsilon}\right)^2 \varepsilon}\,Dx,

</math>

где Dx интерпретируется как конечная коллекция интегрирований на каждом целом множителе ε. Каждый множитель в произведении является гауссианом как функцией от x(t + ε), центрированным в x(t) с вариацией ε. Множественные интегралы — это повторяющиеся свёртки этого гауссиана Gε с копиями самого себя в смежные времена:

<math>
      K(x-y; T) = G_\varepsilon * G_\varepsilon * \dots * G_\varepsilon,

</math>

где число свёрток равно T/ε. Результат легко получить, взяв преобразование Фурье обеих сторон, так что свёртки становятся умножениями:

<math>
      \tilde{K}(p; T) = \tilde{G}_\varepsilon(p)^{T \over \varepsilon}.

</math>

Фурье-преобразование гауссиана G является другим гауссианом обратной вариации[прояснить]:

<math>
      \tilde{G}_\varepsilon(p) = e^{-\varepsilon {p^2\over 2}},

</math>

и результат

<math>
      \tilde{K}(p; T) = e^{-T {p^2 \over 2}}.

</math>

Фурье-преобразование даёт К, и это снова гауссиан с обратной вариацией:

<math>
      K(x-y; T) \sim e^{-(x-y)^2\over 2T}.

</math>

Постоянная пропорциональности на самом деле не определена подходом разбиения времени, лишь отношение значений разных конечных выборов определено. Константа пропорциональности должна быть выбрана чтобы убедиться что между каждой из двух временных разбиений эволюция во времени унитарна квантово-механически, но более разъясняющий путь исправить нормировку - предположить интеграл по траекториям как описание стохастического процесса.

Результат имеет вероятностную интерпретацию. Сумма по всем траекториям экспоненциального множителя может быть представлена как сумма по всем траекториям вероятности выбора данной траектории. Вероятность - это произведение по каждому сегменту вероятности выбора данного сегмента, так что каждый сегмент вероятностным образом независимо выбирается. Факт того, что ответ - Гауссиан, распространяющийся линейно во времени - центральная предельная теорема, которая может быть интерпретирована как первый исторической вывод статистического интеграла по траекториям.

Вероятностная интерпретация дает естественный выбор нормировки. Интеграл по траекториям следует определять так, что:

<math> 

      \int K(x-y;T) dy = 1 \,

</math>

Это условие нормирует Гауссиан и образует ядро которое удовлетворяет уравнению диффузии:

<math> 

      {d\over dt} K(x;T) = {\nabla^2 \over 2} K \,

</math>

Для колеблющихся интегралов по траекториям, тех что с i в числителе, разбиение по времени образует искривляющиеся Гауссианы, так как раньше. Теперь, однако, продукт искривления в самой малой степени сингулярен так как он нуждается в осторожных лимитах для определения осциллирующих интегралов. Чтобы сделать факторы хорошо определенными, наилегчайший путь заключается в том, чтобы прибавить маленькую мнимую часть к временному слагаемому ε. Тогда тот же искривляющий аргумент как раньше дает ядро распространения:

<math> 

      K(x-y;T) \propto e^{i(x-y)^2 \over 2T} \,

</math>

Которое, с той же нормировкой что и раньше (не сумма-квадрат нормировкой! эта функция имеет расходящуюся норму), удовлетворяет свободному уравнению Шредингера

<math> 

      {d\over dt} K(x;T) = {\rm i} {\nabla^2 \over 2} K \,

</math>

Это означает, что любая суперпозиция К также будет удовлетворять тому же уравнению, линейно. Определяя

<math> 

      \psi_t(y) = \int \psi_0(x) K(x-y;t) dx = \int \psi_0(x) \int_{x(0)=x}^{x(t)=y} e^{iS} Dx \,

</math>

тогда ψt удовлетворяет свободному уравнению Шредингера, также как К:

<math> 

      {\rm i}{\partial \over \partial t} \psi_t = - {\nabla^2\over 2} \psi_t \,

</math>

Напишите отзыв о статье "Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям"

Ссылки

  1. ↑ Kleinert, H.: Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, Chapter 6, [www.worldscibooks.com/physics/0356.htm World Scientific (Singapore, 1989)]; Paperback ISBN 9971-5-0210-0 (also available online: [www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents1.html Vol. I])
  2. ↑ Laskin N. (2000), "Fractional Quantum Mechanics", Physical Review E62: 3135—3145. (статья на arxiv.org: arxiv.org/abs/0811.1769 )
  3. ↑ Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. Москва, изд-во МГУ, 1990. lib.mexmat.ru/books/5132

См. также

Литература

  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
  • Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М.: Наука, 1986. — 320 с.
  • Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике. — М.: Физматлит, 2010. — 360 с.
  • Лобанов Ю. Ю. Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике (диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук). — М., 2009.
  • Поляков А. М. Калибровочные поля и струны. — Ижевск: РХД, 1999. — 316 с.
  • Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической механике. — М.: Атомиздат, 1976. — 256 с.
  • Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1988. — 272 с.
  • Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. — М.: Наука, 1990. — 150 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 384 с.
  • Шестакова Т. П. Метод континуального интеграла в квантовой теории поля. — Ижевск: ИКИ, 2005. — 228 с.
  • Статья в Физической энциклопедии (А. А. Славнов): femto.com.ua/articles/part_2/4433.html


<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение

 В этой статье не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 15 мая 2011 года.
К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям

– Пожалуйста, Andre, для меня…
Из больших глаз ее светились лучи доброго и робкого света. Глаза эти освещали всё болезненное, худое лицо и делали его прекрасным. Брат хотел взять образок, но она остановила его. Андрей понял, перекрестился и поцеловал образок. Лицо его в одно и то же время было нежно (он был тронут) и насмешливо.
– Merci, mon ami. [Благодарю, мой друг.]
Она поцеловала его в лоб и опять села на диван. Они молчали.
– Так я тебе говорила, Andre, будь добр и великодушен, каким ты всегда был. Не суди строго Lise, – начала она. – Она так мила, так добра, и положение ее очень тяжело теперь.
– Кажется, я ничего не говорил тебе, Маша, чтоб я упрекал в чем нибудь свою жену или был недоволен ею. К чему ты всё это говоришь мне?
Княжна Марья покраснела пятнами и замолчала, как будто она чувствовала себя виноватою.
– Я ничего не говорил тебе, а тебе уж говорили . И мне это грустно.
Красные пятна еще сильнее выступили на лбу, шее и щеках княжны Марьи. Она хотела сказать что то и не могла выговорить. Брат угадал: маленькая княгиня после обеда плакала, говорила, что предчувствует несчастные роды, боится их, и жаловалась на свою судьбу, на свекра и на мужа. После слёз она заснула. Князю Андрею жалко стало сестру.
– Знай одно, Маша, я ни в чем не могу упрекнуть, не упрекал и никогда не упрекну мою жену , и сам ни в чем себя не могу упрекнуть в отношении к ней; и это всегда так будет, в каких бы я ни был обстоятельствах. Но ежели ты хочешь знать правду… хочешь знать, счастлив ли я? Нет. Счастлива ли она? Нет. Отчего это? Не знаю…
Говоря это, он встал, подошел к сестре и, нагнувшись, поцеловал ее в лоб. Прекрасные глаза его светились умным и добрым, непривычным блеском, но он смотрел не на сестру, а в темноту отворенной двери, через ее голову.
– Пойдем к ней, надо проститься. Или иди одна, разбуди ее, а я сейчас приду. Петрушка! – крикнул он камердинеру, – поди сюда, убирай. Это в сиденье, это на правую сторону.
Княжна Марья встала и направилась к двери. Она остановилась.
– Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu'il vous donne l'amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Если бы ты имел веру, то обратился бы к Богу с молитвою, чтоб Он даровал тебе любовь, которую ты не чувствуешь, и молитва твоя была бы услышана.]
– Да, разве это! – сказал князь Андрей. – Иди, Маша, я сейчас приду.
По дороге к комнате сестры, в галлерее, соединявшей один дом с другим, князь Андрей встретил мило улыбавшуюся m lle Bourienne, уже в третий раз в этот день с восторженною и наивною улыбкой попадавшуюся ему в уединенных переходах.
– Ah! je vous croyais chez vous, [Ах, я думала, вы у себя,] – сказала она, почему то краснея и опуская глаза.
Князь Андрей строго посмотрел на нее. На лице князя Андрея вдруг выразилось озлобление. Он ничего не сказал ей, но посмотрел на ее лоб и волосы, не глядя в глаза, так презрительно, что француженка покраснела и ушла, ничего не сказав.
Когда он подошел к комнате сестры, княгиня уже проснулась, и ее веселый голосок, торопивший одно слово за другим, послышался из отворенной двери. Она говорила, как будто после долгого воздержания ей хотелось вознаградить потерянное время.
– Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees… [Нет, представьте себе, старая графиня Зубова, с фальшивыми локонами, с фальшивыми зубами, как будто издеваясь над годами…] Xa, xa, xa, Marieie!
Точно ту же фразу о графине Зубовой и тот же смех уже раз пять слышал при посторонних князь Андрей от своей жены.
Он тихо вошел в комнату. Княгиня, толстенькая, румяная, с работой в руках, сидела на кресле и без умолку говорила, перебирая петербургские воспоминания и даже фразы. Князь Андрей подошел, погладил ее по голове и спросил, отдохнула ли она от дороги. Она ответила и продолжала тот же разговор.
Коляска шестериком стояла у подъезда. На дворе была темная осенняя ночь. Кучер не видел дышла коляски. На крыльце суетились люди с фонарями. Огромный дом горел огнями сквозь свои большие окна. В передней толпились дворовые, желавшие проститься с молодым князем; в зале стояли все домашние: Михаил Иванович, m lle Bourienne, княжна Марья и княгиня.
Князь Андрей был позван в кабинет к отцу, который с глазу на глаз хотел проститься с ним. Все ждали их выхода.
Когда князь Андрей вошел в кабинет, старый князь в стариковских очках и в своем белом халате, в котором он никого не принимал, кроме сына, сидел за столом и писал. Он оглянулся.
– Едешь? – И он опять стал писать.
– Пришел проститься.
– Целуй сюда, – он показал щеку, – спасибо, спасибо!
– За что вы меня благодарите?
– За то, что не просрочиваешь, за бабью юбку не держишься. Служба прежде всего. Спасибо, спасибо! – И он продолжал писать, так что брызги летели с трещавшего пера. – Ежели нужно сказать что, говори. Эти два дела могу делать вместе, – прибавил он.
– О жене… Мне и так совестно, что я вам ее на руки оставляю…
– Что врешь? Говори, что нужно.
– Когда жене будет время родить, пошлите в Москву за акушером… Чтоб он тут был.
Старый князь остановился и, как бы не понимая, уставился строгими глазами на сына.
– Я знаю, что никто помочь не может, коли натура не поможет, – говорил князь Андрей, видимо смущенный. – Я согласен, что и из миллиона случаев один бывает несчастный, но это ее и моя фантазия. Ей наговорили, она во сне видела, и она боится.
– Гм… гм… – проговорил про себя старый князь, продолжая дописывать. – Сделаю.
Он расчеркнул подпись, вдруг быстро повернулся к сыну и засмеялся.
– Плохо дело, а?
– Что плохо, батюшка?
– Жена! – коротко и значительно сказал старый князь.
– Я не понимаю, – сказал князь Андрей.
– Да нечего делать, дружок, – сказал князь, – они все такие, не разженишься. Ты не бойся; никому не скажу; а ты сам знаешь.
Он схватил его за руку своею костлявою маленькою кистью, потряс ее, взглянул прямо в лицо сына своими быстрыми глазами, которые, как казалось, насквозь видели человека, и опять засмеялся своим холодным смехом.
Сын вздохнул, признаваясь этим вздохом в том, что отец понял его. Старик, продолжая складывать и печатать письма, с своею привычною быстротой, схватывал и бросал сургуч, печать и бумагу.
– Что делать? Красива! Я всё сделаю. Ты будь покоен, – говорил он отрывисто во время печатания.
Андрей молчал: ему и приятно и неприятно было, что отец понял его. Старик встал и подал письмо сыну.
– Слушай, – сказал он, – о жене не заботься: что возможно сделать, то будет сделано. Теперь слушай: письмо Михайлу Иларионовичу отдай. Я пишу, чтоб он тебя в хорошие места употреблял и долго адъютантом не держал: скверная должность! Скажи ты ему, что я его помню и люблю. Да напиши, как он тебя примет. Коли хорош будет, служи. Николая Андреича Болконского сын из милости служить ни у кого не будет. Ну, теперь поди сюда.
Он говорил такою скороговоркой, что не доканчивал половины слов, но сын привык понимать его. Он подвел сына к бюро, откинул крышку, выдвинул ящик и вынул исписанную его крупным, длинным и сжатым почерком тетрадь.
– Должно быть, мне прежде тебя умереть. Знай, тут мои записки, их государю передать после моей смерти. Теперь здесь – вот ломбардный билет и письмо: это премия тому, кто напишет историю суворовских войн. Переслать в академию. Здесь мои ремарки, после меня читай для себя, найдешь пользу.
Андрей не сказал отцу, что, верно, он проживет еще долго. Он понимал, что этого говорить не нужно.
– Всё исполню, батюшка, – сказал он.
– Ну, теперь прощай! – Он дал поцеловать сыну свою руку и обнял его. – Помни одно, князь Андрей: коли тебя убьют, мне старику больно будет… – Он неожиданно замолчал и вдруг крикливым голосом продолжал: – а коли узнаю, что ты повел себя не как сын Николая Болконского, мне будет… стыдно! – взвизгнул он.
– Этого вы могли бы не говорить мне, батюшка, – улыбаясь, сказал сын.
Старик замолчал.
– Еще я хотел просить вас, – продолжал князь Андрей, – ежели меня убьют и ежели у меня будет сын, не отпускайте его от себя, как я вам вчера говорил, чтоб он вырос у вас… пожалуйста.
– Жене не отдавать? – сказал старик и засмеялся.
Они молча стояли друг против друга. Быстрые глаза старика прямо были устремлены в глаза сына. Что то дрогнуло в нижней части лица старого князя.
– Простились… ступай! – вдруг сказал он. – Ступай! – закричал он сердитым и громким голосом, отворяя дверь кабинета.
– Что такое, что? – спрашивали княгиня и княжна, увидев князя Андрея и на минуту высунувшуюся фигуру кричавшего сердитым голосом старика в белом халате, без парика и в стариковских очках.
Князь Андрей вздохнул и ничего не ответил.
– Ну, – сказал он, обратившись к жене.
И это «ну» звучало холодною насмешкой, как будто он говорил: «теперь проделывайте вы ваши штуки».
– Andre, deja! [Андрей, уже!] – сказала маленькая княгиня, бледнея и со страхом глядя на мужа.
Он обнял ее. Она вскрикнула и без чувств упала на его плечо.
Он осторожно отвел плечо, на котором она лежала, заглянул в ее лицо и бережно посадил ее на кресло.
– Adieu, Marieie, [Прощай, Маша,] – сказал он тихо сестре, поцеловался с нею рука в руку и скорыми шагами вышел из комнаты.
Княгиня лежала в кресле, m lle Бурьен терла ей виски. Княжна Марья, поддерживая невестку, с заплаканными прекрасными глазами, всё еще смотрела в дверь, в которую вышел князь Андрей, и крестила его. Из кабинета слышны были, как выстрелы, часто повторяемые сердитые звуки стариковского сморкания. Только что князь Андрей вышел, дверь кабинета быстро отворилась и выглянула строгая фигура старика в белом халате.
– Уехал? Ну и хорошо! – сказал он, сердито посмотрев на бесчувственную маленькую княгиню, укоризненно покачал головою и захлопнул дверь.



В октябре 1805 года русские войска занимали села и города эрцгерцогства Австрийского, и еще новые полки приходили из России и, отягощая постоем жителей, располагались у крепости Браунау. В Браунау была главная квартира главнокомандующего Кутузова.
11 го октября 1805 года один из только что пришедших к Браунау пехотных полков, ожидая смотра главнокомандующего, стоял в полумиле от города. Несмотря на нерусскую местность и обстановку (фруктовые сады, каменные ограды, черепичные крыши, горы, видневшиеся вдали), на нерусский народ, c любопытством смотревший на солдат, полк имел точно такой же вид, какой имел всякий русский полк, готовившийся к смотру где нибудь в середине России.
С вечера, на последнем переходе, был получен приказ, что главнокомандующий будет смотреть полк на походе. Хотя слова приказа и показались неясны полковому командиру, и возник вопрос, как разуметь слова приказа: в походной форме или нет? в совете батальонных командиров было решено представить полк в парадной форме на том основании, что всегда лучше перекланяться, чем не докланяться. И солдаты, после тридцативерстного перехода, не смыкали глаз, всю ночь чинились, чистились; адъютанты и ротные рассчитывали, отчисляли; и к утру полк, вместо растянутой беспорядочной толпы, какою он был накануне на последнем переходе, представлял стройную массу 2 000 людей, из которых каждый знал свое место, свое дело и из которых на каждом каждая пуговка и ремешок были на своем месте и блестели чистотой. Не только наружное было исправно, но ежели бы угодно было главнокомандующему заглянуть под мундиры, то на каждом он увидел бы одинаково чистую рубаху и в каждом ранце нашел бы узаконенное число вещей, «шильце и мыльце», как говорят солдаты. Было только одно обстоятельство, насчет которого никто не мог быть спокоен. Это была обувь. Больше чем у половины людей сапоги были разбиты. Но недостаток этот происходил не от вины полкового командира, так как, несмотря на неоднократные требования, ему не был отпущен товар от австрийского ведомства, а полк прошел тысячу верст.
Полковой командир был пожилой, сангвинический, с седеющими бровями и бакенбардами генерал, плотный и широкий больше от груди к спине, чем от одного плеча к другому. На нем был новый, с иголочки, со слежавшимися складками мундир и густые золотые эполеты, которые как будто не книзу, а кверху поднимали его тучные плечи. Полковой командир имел вид человека, счастливо совершающего одно из самых торжественных дел жизни. Он похаживал перед фронтом и, похаживая, подрагивал на каждом шагу, слегка изгибаясь спиною. Видно, было, что полковой командир любуется своим полком, счастлив им, что все его силы душевные заняты только полком; но, несмотря на то, его подрагивающая походка как будто говорила, что, кроме военных интересов, в душе его немалое место занимают и интересы общественного быта и женский пол.
– Ну, батюшка Михайло Митрич, – обратился он к одному батальонному командиру (батальонный командир улыбаясь подался вперед; видно было, что они были счастливы), – досталось на орехи нынче ночью. Однако, кажется, ничего, полк не из дурных… А?
Батальонный командир понял веселую иронию и засмеялся.
– И на Царицыном лугу с поля бы не прогнали.
– Что? – сказал командир.
В это время по дороге из города, по которой расставлены были махальные, показались два верховые. Это были адъютант и казак, ехавший сзади.
Адъютант был прислан из главного штаба подтвердить полковому командиру то, что было сказано неясно во вчерашнем приказе, а именно то, что главнокомандующий желал видеть полк совершенно в том положении, в котором oн шел – в шинелях, в чехлах и без всяких приготовлений.
К Кутузову накануне прибыл член гофкригсрата из Вены, с предложениями и требованиями итти как можно скорее на соединение с армией эрцгерцога Фердинанда и Мака, и Кутузов, не считая выгодным это соединение, в числе прочих доказательств в пользу своего мнения намеревался показать австрийскому генералу то печальное положение, в котором приходили войска из России. С этою целью он и хотел выехать навстречу полку, так что, чем хуже было бы положение полка, тем приятнее было бы это главнокомандующему. Хотя адъютант и не знал этих подробностей, однако он передал полковому командиру непременное требование главнокомандующего, чтобы люди были в шинелях и чехлах, и что в противном случае главнокомандующий будет недоволен. Выслушав эти слова, полковой командир опустил голову, молча вздернул плечами и сангвиническим жестом развел руки.
– Наделали дела! – проговорил он. – Вот я вам говорил же, Михайло Митрич, что на походе, так в шинелях, – обратился он с упреком к батальонному командиру. – Ах, мой Бог! – прибавил он и решительно выступил вперед. – Господа ротные командиры! – крикнул он голосом, привычным к команде. – Фельдфебелей!… Скоро ли пожалуют? – обратился он к приехавшему адъютанту с выражением почтительной учтивости, видимо относившейся к лицу, про которое он говорил.
– Через час, я думаю.
– Успеем переодеть?
– Не знаю, генерал…
Полковой командир, сам подойдя к рядам, распорядился переодеванием опять в шинели. Ротные командиры разбежались по ротам, фельдфебели засуетились (шинели были не совсем исправны) и в то же мгновение заколыхались, растянулись и говором загудели прежде правильные, молчаливые четвероугольники. Со всех сторон отбегали и подбегали солдаты, подкидывали сзади плечом, через голову перетаскивали ранцы, снимали шинели и, высоко поднимая руки, натягивали их в рукава.
Через полчаса всё опять пришло в прежний порядок, только четвероугольники сделались серыми из черных. Полковой командир, опять подрагивающею походкой, вышел вперед полка и издалека оглядел его.
– Это что еще? Это что! – прокричал он, останавливаясь. – Командира 3 й роты!..
– Командир 3 й роты к генералу! командира к генералу, 3 й роты к командиру!… – послышались голоса по рядам, и адъютант побежал отыскивать замешкавшегося офицера.
Когда звуки усердных голосов, перевирая, крича уже «генерала в 3 ю роту», дошли по назначению, требуемый офицер показался из за роты и, хотя человек уже пожилой и не имевший привычки бегать, неловко цепляясь носками, рысью направился к генералу. Лицо капитана выражало беспокойство школьника, которому велят сказать невыученный им урок. На красном (очевидно от невоздержания) носу выступали пятна, и рот не находил положения. Полковой командир с ног до головы осматривал капитана, в то время как он запыхавшись подходил, по мере приближения сдерживая шаг.
– Вы скоро людей в сарафаны нарядите! Это что? – крикнул полковой командир, выдвигая нижнюю челюсть и указывая в рядах 3 й роты на солдата в шинели цвета фабричного сукна, отличавшегося от других шинелей. – Сами где находились? Ожидается главнокомандующий, а вы отходите от своего места? А?… Я вас научу, как на смотр людей в казакины одевать!… А?…
Ротный командир, не спуская глаз с начальника, всё больше и больше прижимал свои два пальца к козырьку, как будто в одном этом прижимании он видел теперь свое спасенье.
– Ну, что ж вы молчите? Кто у вас там в венгерца наряжен? – строго шутил полковой командир.
– Ваше превосходительство…
– Ну что «ваше превосходительство»? Ваше превосходительство! Ваше превосходительство! А что ваше превосходительство – никому неизвестно.
– Ваше превосходительство, это Долохов, разжалованный… – сказал тихо капитан.
– Что он в фельдмаршалы, что ли, разжалован или в солдаты? А солдат, так должен быть одет, как все, по форме.
– Ваше превосходительство, вы сами разрешили ему походом.
– Разрешил? Разрешил? Вот вы всегда так, молодые люди, – сказал полковой командир, остывая несколько. – Разрешил? Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Полковой командир помолчал. – Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Что? – сказал он, снова раздражаясь. – Извольте одеть людей прилично…
И полковой командир, оглядываясь на адъютанта, своею вздрагивающею походкой направился к полку. Видно было, что его раздражение ему самому понравилось, и что он, пройдясь по полку, хотел найти еще предлог своему гневу. Оборвав одного офицера за невычищенный знак, другого за неправильность ряда, он подошел к 3 й роте.
– Кааак стоишь? Где нога? Нога где? – закричал полковой командир с выражением страдания в голосе, еще человек за пять не доходя до Долохова, одетого в синеватую шинель.
Долохов медленно выпрямил согнутую ногу и прямо, своим светлым и наглым взглядом, посмотрел в лицо генерала.
– Зачем синяя шинель? Долой… Фельдфебель! Переодеть его… дря… – Он не успел договорить.
– Генерал, я обязан исполнять приказания, но не обязан переносить… – поспешно сказал Долохов.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Формулировка_квантовой_теории_через_интегралы_по_траекториям&oldid=77462194»