Функции Чебышёва

Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции <math>\theta(x)</math> и <math>\psi(x)</math>, связанные с распределением простых чисел и определённые как

<math>\theta(x)=\sum\limits_{p\leqslant x}\ln p</math>

и

<math>\psi(x)=\sum\limits_{p^m\leqslant x}\ln p,</math>

где p — простые числа, m — натуральное число.

Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым.

Свойства

• Определение пси-функции Чебышёва может записано через функцию Мангольдта: <math>\psi(x)=\sum\limits_{n\leqslant x}\Lambda(n)</math>.
• Функции Чебышёва связаны соотношением <math>\psi(x)=\theta(x)+\theta(\sqrt{x})+\theta(\sqrt[3]{x})+...</math>, откуда следует асимптотическое соотношение <math>\psi(x)=\theta(x)+O(\sqrt{x})</math>
• Потенцирование даёт: <math>e^{\psi(x)}=\operatorname{lcm}(1,2,...,[x])</math>, <math>e^{\theta(x)}=\prod\limits_{p\leqslant x}p</math>

Связь с распределением простых чисел

• Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: <math>\psi(x)\sim\theta(x)\sim\pi(x)\ln x</math>.
• Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана:

<math>\psi(x)=x-\sum\limits_\rho\frac{x^{\rho}}{\rho}-\ln 2\pi-\frac{1}{2}\ln (1-x^{-2}),</math>

где <math>\rho</math> пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

• Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

<math>\psi(x)=x+O(e^{-c\sqrt{\ln x}})</math>

А гипотеза Римана эквивалентна утверждению

<math>\psi(x)=x+O(\sqrt{x}\ln^2 x)</math>

См. также

• Постулат Бертрана

Литература

• Прахар, К. Распределение простых чисел = Primzahl Verteilung / пер. с нем. А. А. Карацупы. — М. : Мир, 1967. — 511 с.</span>

Математика

Отрывок, характеризующий Функции Чебышёва

– Вот хочу молодого человека научить, как ковать лошадь, – сказал Телянин.
Они вышли на крыльцо и в конюшню. Поручик показал, как делать заклепку, и ушел к себе.
Когда Ростов вернулся, на столе стояла бутылка с водкой и лежала колбаса. Денисов сидел перед столом и трещал пером по бумаге. Он мрачно посмотрел в лицо Ростову.
– Ей пишу, – сказал он.
Он облокотился на стол с пером в руке, и, очевидно обрадованный случаю быстрее сказать словом всё, что он хотел написать, высказывал свое письмо Ростову.
– Ты видишь ли, дг'уг, – сказал он. – Мы спим, пока не любим. Мы дети пг`axa… а полюбил – и ты Бог, ты чист, как в пег'вый день создания… Это еще кто? Гони его к чог'ту. Некогда! – крикнул он на Лаврушку, который, нисколько не робея, подошел к нему.
– Да кому ж быть? Сами велели. Вахмистр за деньгами пришел.
Денисов сморщился, хотел что то крикнуть и замолчал.
– Сквег'но дело, – проговорил он про себя. – Сколько там денег в кошельке осталось? – спросил он у Ростова.
– Семь новых и три старых.
– Ах,сквег'но! Ну, что стоишь, чучела, пошли вахмистг'а, – крикнул Денисов на Лаврушку.
– Пожалуйста, Денисов, возьми у меня денег, ведь у меня есть, – сказал Ростов краснея.
– Не люблю у своих занимать, не люблю, – проворчал Денисов.
– А ежели ты у меня не возьмешь деньги по товарищески, ты меня обидишь. Право, у меня есть, – повторял Ростов.
– Да нет же.
И Денисов подошел к кровати, чтобы достать из под подушки кошелек.
– Ты куда положил, Ростов?
– Под нижнюю подушку.
– Да нету.
Денисов скинул обе подушки на пол. Кошелька не было.
– Вот чудо то!
– Постой, ты не уронил ли? – сказал Ростов, по одной поднимая подушки и вытрясая их.
Он скинул и отряхнул одеяло. Кошелька не было.
– Уж не забыл ли я? Нет, я еще подумал, что ты точно клад под голову кладешь, – сказал Ростов. – Я тут положил кошелек. Где он? – обратился он к Лаврушке.
– Я не входил. Где положили, там и должен быть.
– Да нет…
– Вы всё так, бросите куда, да и забудете. В карманах то посмотрите.
– Нет, коли бы я не подумал про клад, – сказал Ростов, – а то я помню, что положил.
Лаврушка перерыл всю постель, заглянул под нее, под стол, перерыл всю комнату и остановился посреди комнаты. Денисов молча следил за движениями Лаврушки и, когда Лаврушка удивленно развел руками, говоря, что нигде нет, он оглянулся на Ростова.
– Г'остов, ты не школьнич…
Ростов почувствовал на себе взгляд Денисова, поднял глаза и в то же мгновение опустил их. Вся кровь его, бывшая запертою где то ниже горла, хлынула ему в лицо и глаза. Он не мог перевести дыхание.
– И в комнате то никого не было, окромя поручика да вас самих. Тут где нибудь, – сказал Лаврушка.
– Ну, ты, чог'това кукла, повог`ачивайся, ищи, – вдруг закричал Денисов, побагровев и с угрожающим жестом бросаясь на лакея. – Чтоб был кошелек, а то запог'ю. Всех запог'ю!
Ростов, обходя взглядом Денисова, стал застегивать куртку, подстегнул саблю и надел фуражку.
– Я тебе говог'ю, чтоб был кошелек, – кричал Денисов, тряся за плечи денщика и толкая его об стену.
– Денисов, оставь его; я знаю кто взял, – сказал Ростов, подходя к двери и не поднимая глаз.
Денисов остановился, подумал и, видимо поняв то, на что намекал Ростов, схватил его за руку.
– Вздог'! – закричал он так, что жилы, как веревки, надулись у него на шее и лбу. – Я тебе говог'ю, ты с ума сошел, я этого не позволю. Кошелек здесь; спущу шкуг`у с этого мег`завца, и будет здесь.
– Я знаю, кто взял, – повторил Ростов дрожащим голосом и пошел к двери.
– А я тебе говог'ю, не смей этого делать, – закричал Денисов, бросаясь к юнкеру, чтоб удержать его.
Но Ростов вырвал свою руку и с такою злобой, как будто Денисов был величайший враг его, прямо и твердо устремил на него глаза.
– Ты понимаешь ли, что говоришь? – сказал он дрожащим голосом, – кроме меня никого не было в комнате. Стало быть, ежели не то, так…
Он не мог договорить и выбежал из комнаты.
– Ах, чог'т с тобой и со всеми, – были последние слова, которые слышал Ростов.