Функция Грина

Фу́нкция Гри́на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Определение и использование

Функция Грина G(x, s) линейного дифференциального оператора L = L(x), действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства Rⁿ в точке s — это любое решение уравнения

<math>L~G(x,s)=\delta(x-s)</math>

<p style="margin:0; font-size:4pt;">        </p>

(1)

</dl>

где <math>\ \delta</math> — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

<math>L~u(x)=f(x)</math>

<p style="margin:0; font-size:4pt;">        </p>

(2)

</dl>

Функция Грина — это обратный оператор к <math>L</math>. Поэтому её нередко символически обозначают как <math>L^{-1}</math>.

Если ядро L нетривиально, то функция Грина неединственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий и/или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Следует помнить, что, вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

<math>L~G(x,s)=-\delta(x-s)\,,</math>

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если L имеет постоянные коэффициенты по отношению к x, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

<math>G(x,s)=G(x-s)</math>

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Замечание

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид <math>Lf=\kappa h</math>, функция Грина <math>g(x,s)</math> также определяется с учётом этого коэффициента, то есть, по определению тогда она есть решение уравнения

<math>L f_1 (x) = \kappa\, \delta(x - s)</math>.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения <math>Lf=\kappa h</math> с произвольной функцией <math>h</math> в правой части записывается как

<math>f(x)=\int{\kappa\, h(s)\, g(x,s)\,ds}</math>.

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)

Постановка задачи

Пусть <math>L</math> — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

<math>L={d\over dx}\left[p(x){d\over dx}\right]-q(x)</math>

и пусть <math>D</math> — оператор краевых условий

<math>Du=\left\{\begin{matrix}\alpha_1 u^\prime(0)+\beta_1 u(0),\\ \alpha_2 u^\prime(l)+\beta_2 u(l).\end{matrix}\right.</math>

Пусть <math>f(x)</math> — непрерывная функция на промежутке <math>[0,\;l]</math>. Предположим также, что задача

<math>\begin{matrix}Lu=f, \\ Du=0\end{matrix}</math>

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Грина

Тогда существует единственное решение <math>u(x)</math>, удовлетворяющее системе

<math>\begin{matrix}Lu=f,\\ Du=0,\end{matrix}</math>

которое задаётся выражением

<math>u(x)=\int\limits_0^l f(s)g(x,\;s)\,ds</math>,

где <math>g(x,\;s)</math> — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

1. <math>g(x,\;s)</math> непрерывна по <math>x</math> и <math>s</math>.
2. Для <math>x\ne s</math>, <math>Lg(x,\;s)=0</math>.
3. Для <math>s\ne 0,\;l</math>, <math>Dg(x,\;s)=0</math>.
4. Скачок производной: <math>g^\prime(s_{+0},\;s)-g^\prime(s_{-0},\; s)=1/p(s)</math>.
5. Симметрична: <math>g(x,\;s)=g(s,\;x)</math>.

Нахождение функции Грина

В виде ряда через собственные функции оператора

Если множество собственных векторов (собственных функций) <math>\Psi_n</math> дифференциального оператора <math>L\ </math>

(то есть набор функций <math>\Psi_n(x)</math>, таких, что для каждой найдётся число <math>\lambda_n \ne 0</math>, что <math>L\Psi_n=\lambda_n\Psi_n</math>)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов <math>\Psi_n</math> и собственных значений <math>\lambda_n</math>.

Под полнотой системы функций <math>\Psi_n(x)</math> подразумевается выполнение соотношения:

<math>\delta(x-x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\Psi_n(x)\bar\Psi_n(x^\prime)</math>.

Можно показать, что

<math>G(x,\;x^\prime)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\Psi_n(x)\bar\Psi_n(x^\prime)}{\lambda_n}</math>.

Действительно, подействовав оператором <math>L</math> на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если <math>\Psi_n</math> — вещественные функции, его можно не делать).

Для параболических уравнений

Уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

<math>H\psi(x,\beta) = -\frac{\partial\psi(x,\beta)}{\partial\beta}</math>

<p style="margin:0; font-size:4pt;">        </p>

(2)

</dl>

где <math>H</math> — эрмитов оператор, <math>x= \mathcal{f} x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \mathcal{g} </math> - пространственные координаты

• для уравнения теплопроводности <math>\Delta T = \frac {c} {k} \frac{\partial T} {\partial t}</math>

<math>T</math> — температура, <math>\beta=\frac{k}{c}t</math>.

• для уравнения Шредингера <math>H\psi=-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>

<math>\psi</math> — волновая функция, <math>\beta=\frac{\hbar i}{2m}t</math>.

• для уравнения диффузии <math>\nabla ^{2} \psi = \frac{1}{\lambda}\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>

<math>\psi</math> — концентрация вещества, <math>\beta=\lambda t</math>.

Собственные функции <math>\varphi_{m}</math> оператора <math>H</math> образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

<math>H\varphi_{m}=\lambda_{m}\varphi_{m}</math>.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

<math>\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(\beta)\varphi_{m}(x) </math>

<p style="margin:0; font-size:4pt;">        </p>

(3)

</dl>

Подставляя в уравнение (2) предполагаемую форму решения, получаем:

<math>H\psi=\sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(\beta)H\varphi_{m}(x) =

- \sum_{m=0}^{\infty} \varphi_{m}(x)\frac{\partial}{\partial \beta}A_{m}(\beta)</math>.

Таким образом:

<math>\sum_{m=0}^{\infty}[\lambda_{m}A_{m}(\beta)+\frac{\partial}{\partial \beta}A_{m}(\beta)]\varphi_{m}(x) = 0</math>.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

<math>-\lambda_{m}A_{m}(\beta)=\frac{\partial A_{m}(\beta)}{\partial \beta}</math>,

откуда

<math>A_{m}(\beta)=A_{m}(0)e^{-\lambda_{m} \beta}</math>.

Следовательно, решение исходного уравнения (2) можно представить в виде:

<math>\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty}A_{m}(0)e^{-\lambda_{m} \beta}\varphi_{m}(x)</math>.

Считая ряд (3) равномерно сходящимся, можно найти, что:

<math>A_{m}(\beta) = \int \varphi_{m}^{*}(x)\psi(x, \beta)d\tau</math>,

где <math>d\tau=dx_{1}dx_{2}...dx_{n}</math> — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

<math>A_{m}(0) = \int \varphi_{m}^{*}(x)\psi(x, 0)d\tau</math>

Итак, если задано начальное состояние, то

<math>\psi(x, \beta) = \sum_{m=0}^{\infty} \int \psi (x', 0) \varphi_{m}^{*}(x')\varphi_{m}(x)e^{-\lambda_{m} \beta}d\tau'</math>

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

<math>\psi(x, \beta) = \int \langle x | G(\beta) | x' \rangle \psi(x', 0) d\tau'</math>,

где:

<math> \langle x | G(\beta) | x' \rangle = \sum_{m=0}^{\infty} \varphi_{m}^{*}(x') \varphi_{m}(x)e^{-\lambda_{m} \beta}</math>.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана

Функция Грина для лапласиана может быть легко получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина, начнём с закона Гаусса :

<math>\int\limits_V\nabla\cdot\hat A\ dV=\int\limits_S\hat A\cdot d\hat\sigma</math>.

Допустим <math>A=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi</math> и подставим в закон Гаусса . Вычислим <math>\nabla\cdot\hat A</math> и применим цепное правило для <math>\nabla</math> оператора:

<math>\nabla\cdot\hat A=\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)=</math>

<math>=(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)+\varphi\nabla^2\psi-(\nabla\varphi)\cdot(\nabla\psi)-\psi\nabla^2\varphi=\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi</math>.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

<math>\int\limits_V (\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi)\ dV=\int\limits_S (\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot d\hat\sigma</math>.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор <math>L</math> Лапласиан, <math>\nabla^2</math>, и то, что у нас имеется для него функция Грина <math>G</math>. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

<math>LG(x,\;x^\prime)=\nabla^2G(x,\;x^\prime)=\delta(x-x^\prime)</math>.

Положим <math>\psi=G</math> в теореме Грина. Тогда получим:

<math>\int\limits_V (\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^2\varphi(x^\prime))\ d^3x^\prime=</math>

<math>=\int\limits_S (\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime))\cdot d\hat\sigma^\prime</math>.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа (<math>\nabla^2\varphi(x)=0</math>) и уравнение Пуассона (<math>\nabla^2\varphi(x)=-4\pi\rho(x)</math>) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение <math>\varphi(x)</math> всюду внутри заданной области, если (1) значение <math>\varphi(x)</math> задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная <math>\varphi(x)</math> задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение <math>\varphi(x)</math> внутри области. В этом случае интеграл <math>\int\limits_V\varphi(x^\prime)\delta(x-x^\prime)\ d^3x^\prime</math> упрощается до <math>\varphi(x)</math> в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

<math>\varphi(x)=\int\limits_V G(x,\;x^\prime)\rho(x^\prime)\ d^3x^\prime+\int\limits_S (\varphi(x^\prime)\nabla^\prime G(x,\;x^\prime)-G(x,\;x^\prime)\nabla^\prime\varphi(x^\prime))\cdot d\hat\sigma^\prime</math>.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике <math>\varphi(x)</math> понимается как электростатический потенциал, <math>\rho(x)</math> как плотность электрического заряда, а нормальная производная <math>\nabla\varphi(x^\prime)\cdot d\hat\sigma^\prime</math> как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде <math>G(x,\;x^\prime)</math>. Эта функция обращается в нуль, когда <math>x</math> или <math>x^\prime</math> находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

<math>G(\hat x,\;\hat x^\prime)=\frac{1}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}</math>.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

<math>\varphi(x)=\int\limits_V\frac{\rho(x^\prime)}{\left|\hat x-\hat x^\prime\right|}\ d^3x^\prime</math>.

Пример

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

<math>\begin{matrix}Lu\end{matrix}=u^{\prime\prime}+u=f(x)</math>;

<math>u(0)=0,\quad u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0</math>.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина <math>g(x,s)</math> в данном случае по определению должна быть решением уравнения

<math>g^{\prime\prime} + g = \delta(x - s)</math>

<p style="margin:0; font-size:4pt;">        </p>

(3)

</dl>

где двумя штрихами обозначена вторая производная по <math>x</math>.

Для <math>x \ne s</math>, где <math>\delta</math>-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

<math>g^{\prime\prime} + g = 0</math>,

то есть для всех точек, кроме <math>s</math>, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

<math>g = A \cos x + B \sin x</math>,

где <math>A</math> и <math>B</math> — константы (не зависят от <math>x</math>).

Таким образом, <math>g(x,s)</math> должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки <math>s</math>, причём слева и справа от неё коэффициенты <math>A</math> и <math>B</math> могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: <math>u(0) = 0</math> — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для <math>x < s</math> коэффициент <math>A</math> общего решения должен быть нулём, то есть для <math>x < s</math>

<math>g(x,\;s)=B\cdot\sin x</math>.

Точно так же из правого граничного условия: <math>u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0</math> — получаем равенство нулю коэффициента <math>B</math>, то есть для <math>x > s</math>

<math>g(x,\;s)=A\cdot\cos x</math>.

В итоге, учитывая, что коэффициенты <math>A</math> и <math>B</math> вообще говоря могут зависеть от <math>s</math>, можем записать:

<math>g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix}

B(s)\sin x,\;\;x<s \\ A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}\right.</math>

Второй шаг:

Нужно определить <math>A(s)</math> и <math>B(s)</math>.

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения <math>x < s</math> и <math>x > s</math>:

<math>B(s)\sin s=A(s)\cos s</math>.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от <math> x=s-\varepsilon</math> до <math> x=s+\varepsilon</math> получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

<math>g'(s_{+0},s) - g'(s_{-0},s) = -A(s)\cdot\sin s -B(s)\cdot\cos s=1</math>.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

<math>A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s</math>.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

<math>g(x,\;s)=\left\{\begin{matrix}

-1 \cdot \cos s\cdot\sin x,\;\;x<s \\ -1 \cdot \sin s\cdot\cos x,\;\;s<x \end{matrix}\right.</math>, что можно записать как

<math>g(x,\;s)=\frac12\left(\sin\left|x-s\right|-\sin(x+s)\right).

</math>

Другие примеры

• Пусть дано множество <math>\mathbb R</math> и оператор <math>\ L</math> равен <math>\ d/dx</math>. Тогда функция Хевисайда <math>\ H(x-x_0)</math> является функцией Грина для <math>\ L</math> при <math>\ x_0</math>.
• Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости <math>{ (x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}</math> и <math>\ L</math> — оператор Лапласа. Также предположим, что при <math>\ x=0</math> наложены краевые условия Дирихле, при <math>\ y=0</math> — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

<math>G(x,\;y,\;x_0,\;y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]+</math>

<math>+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].</math>

См. также

• Дифференциальный оператор
• Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Напишите отзыв о статье "Функция Грина"

Примечания

Литература

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9