Функция Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Фу́нкция Дирихле́ — функция <math>D\colon\R\mapsto\{0,1\}</math>, принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

<math>D(x) = \begin{cases}1, & x\in \mathbb Q, \\

0, & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q. \end{cases}</math>

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике.

Названа в честь немецкого математика Дирихле.

Представление

Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как двойной предел последовательности непрерывных функций:

• <math>D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x</math>.

Свойства

• Область определения: <math>(- \infty ; + \infty )</math>.
• Область значений: <math>\{0;1\}</math>.

Периодичность

Функция Дирихле периодическая, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю. Основного периода функция не имеет.

Непрерывность

Фу́нкция Дирихле́ является всюду разрывной функцией: во всякой окрестности каждой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа, и, следовательно, данная функция не будет иметь предела ни в одной точке области определения; все точки разрыва — точки разрыва второго рода.

Измеримость

• Функция Дирихле — простая функция.
• <math>D(x)</math> является <math>\mathcal{B}(\R)</math>-измеримой функцией.

Интегрируемость

Интеграл Римана

Функция Дирихле не является интегрируемой в смысле Римана.

Интеграл Лебега

Интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю:

<math>\int\limits_X D(x)\,d\mu = 1\cdot \mu(X\cap\Q)+ 0\cdot \mu(X\backslash\Q) = 1\cdot 0 + 0\cdot\mu(X) = 0</math>.

Отрывок, характеризующий Функция Дирихле

Ростов, со времени своего проигрыша, решил, что он в пять лет заплатит этот долг родителям. Ему посылалось по 10 ти тысяч в год, теперь же он решился брать только две, а остальные предоставлять родителям для уплаты долга.

Армия наша после неоднократных отступлений, наступлений и сражений при Пултуске, при Прейсиш Эйлау, сосредоточивалась около Бартенштейна. Ожидали приезда государя к армии и начала новой кампании.
Павлоградский полк, находившийся в той части армии, которая была в походе 1805 года, укомплектовываясь в России, опоздал к первым действиям кампании. Он не был ни под Пултуском, ни под Прейсиш Эйлау и во второй половине кампании, присоединившись к действующей армии, был причислен к отряду Платова.
Отряд Платова действовал независимо от армии. Несколько раз павлоградцы были частями в перестрелках с неприятелем, захватили пленных и однажды отбили даже экипажи маршала Удино. В апреле месяце павлоградцы несколько недель простояли около разоренной до тла немецкой пустой деревни, не трогаясь с места.
Была ростепель, грязь, холод, реки взломало, дороги сделались непроездны; по нескольку дней не выдавали ни лошадям ни людям провианта. Так как подвоз сделался невозможен, то люди рассыпались по заброшенным пустынным деревням отыскивать картофель, но уже и того находили мало. Всё было съедено, и все жители разбежались; те, которые оставались, были хуже нищих, и отнимать у них уж было нечего, и даже мало – жалостливые солдаты часто вместо того, чтобы пользоваться от них, отдавали им свое последнее.
Павлоградский полк в делах потерял только двух раненых; но от голоду и болезней потерял почти половину людей. В госпиталях умирали так верно, что солдаты, больные лихорадкой и опухолью, происходившими от дурной пищи, предпочитали нести службу, через силу волоча ноги во фронте, чем отправляться в больницы. С открытием весны солдаты стали находить показывавшееся из земли растение, похожее на спаржу, которое они называли почему то машкин сладкий корень, и рассыпались по лугам и полям, отыскивая этот машкин сладкий корень (который был очень горек), саблями выкапывали его и ели, несмотря на приказания не есть этого вредного растения.
Весною между солдатами открылась новая болезнь, опухоль рук, ног и лица, причину которой медики полагали в употреблении этого корня. Но несмотря на запрещение, павлоградские солдаты эскадрона Денисова ели преимущественно машкин сладкий корень, потому что уже вторую неделю растягивали последние сухари, выдавали только по полфунта на человека, а картофель в последнюю посылку привезли мерзлый и проросший. Лошади питались тоже вторую неделю соломенными крышами с домов, были безобразно худы и покрыты еще зимнею, клоками сбившеюся шерстью.