Функция Мертенса
Поделись знанием:
Пьер ничего не ответил и, нахмуренный и сердитый, каким его никогда не видали, вышел от Растопчина.
Когда он приехал домой, уже смеркалось. Человек восемь разных людей побывало у него в этот вечер. Секретарь комитета, полковник его батальона, управляющий, дворецкий и разные просители. У всех были дела до Пьера, которые он должен был разрешить. Пьер ничего не понимал, не интересовался этими делами и давал на все вопросы только такие ответы, которые бы освободили его от этих людей. Наконец, оставшись один, он распечатал и прочел письмо жены.
«Они – солдаты на батарее, князь Андрей убит… старик… Простота есть покорность богу. Страдать надо… значение всего… сопрягать надо… жена идет замуж… Забыть и понять надо…» И он, подойдя к постели, не раздеваясь повалился на нее и тотчас же заснул.
Когда он проснулся на другой день утром, дворецкий пришел доложить, что от графа Растопчина пришел нарочно посланный полицейский чиновник – узнать, уехал ли или уезжает ли граф Безухов.
Человек десять разных людей, имеющих дело до Пьера, ждали его в гостиной. Пьер поспешно оделся, и, вместо того чтобы идти к тем, которые ожидали его, он пошел на заднее крыльцо и оттуда вышел в ворота.
С тех пор и до конца московского разорения никто из домашних Безуховых, несмотря на все поиски, не видал больше Пьера и не знал, где он находился.
Ростовы до 1 го сентября, то есть до кануна вступления неприятеля в Москву, оставались в городе.
После поступления Пети в полк казаков Оболенского и отъезда его в Белую Церковь, где формировался этот полк, на графиню нашел страх. Мысль о том, что оба ее сына находятся на войне, что оба они ушли из под ее крыла, что нынче или завтра каждый из них, а может быть, и оба вместе, как три сына одной ее знакомой, могут быть убиты, в первый раз теперь, в это лето, с жестокой ясностью пришла ей в голову. Она пыталась вытребовать к себе Николая, хотела сама ехать к Пете, определить его куда нибудь в Петербурге, но и то и другое оказывалось невозможным. Петя не мог быть возвращен иначе, как вместе с полком или посредством перевода в другой действующий полк. Николай находился где то в армии и после своего последнего письма, в котором подробно описывал свою встречу с княжной Марьей, не давал о себе слуха. Графиня не спала ночей и, когда засыпала, видела во сне убитых сыновей. После многих советов и переговоров граф придумал наконец средство для успокоения графини. Он перевел Петю из полка Оболенского в полк Безухова, который формировался под Москвою. Хотя Петя и оставался в военной службе, но при этом переводе графиня имела утешенье видеть хотя одного сына у себя под крылышком и надеялась устроить своего Петю так, чтобы больше не выпускать его и записывать всегда в такие места службы, где бы он никак не мог попасть в сражение. Пока один Nicolas был в опасности, графине казалось (и она даже каялась в этом), что она любит старшего больше всех остальных детей; но когда меньшой, шалун, дурно учившийся, все ломавший в доме и всем надоевший Петя, этот курносый Петя, с своими веселыми черными глазами, свежим румянцем и чуть пробивающимся пушком на щеках, попал туда, к этим большим, страшным, жестоким мужчинам, которые там что то сражаются и что то в этом находят радостного, – тогда матери показалось, что его то она любила больше, гораздо больше всех своих детей. Чем ближе подходило то время, когда должен был вернуться в Москву ожидаемый Петя, тем более увеличивалось беспокойство графини. Она думала уже, что никогда не дождется этого счастия. Присутствие не только Сони, но и любимой Наташи, даже мужа, раздражало графиню. «Что мне за дело до них, мне никого не нужно, кроме Пети!» – думала она.
В последних числах августа Ростовы получили второе письмо от Николая. Он писал из Воронежской губернии, куда он был послан за лошадьми. Письмо это не успокоило графиню. Зная одного сына вне опасности, она еще сильнее стала тревожиться за Петю.
Несмотря на то, что уже с 20 го числа августа почти все знакомые Ростовых повыехали из Москвы, несмотря на то, что все уговаривали графиню уезжать как можно скорее, она ничего не хотела слышать об отъезде до тех пор, пока не вернется ее сокровище, обожаемый Петя. 28 августа приехал Петя. Болезненно страстная нежность, с которою мать встретила его, не понравилась шестнадцатилетнему офицеру. Несмотря на то, что мать скрыла от него свое намеренье не выпускать его теперь из под своего крылышка, Петя понял ее замыслы и, инстинктивно боясь того, чтобы с матерью не разнежничаться, не обабиться (так он думал сам с собой), он холодно обошелся с ней, избегал ее и во время своего пребывания в Москве исключительно держался общества Наташи, к которой он всегда имел особенную, почти влюбленную братскую нежность.
По обычной беспечности графа, 28 августа ничто еще не было готово для отъезда, и ожидаемые из рязанской и московской деревень подводы для подъема из дома всего имущества пришли только 30 го.
С 28 по 31 августа вся Москва была в хлопотах и движении. Каждый день в Дорогомиловскую заставу ввозили и развозили по Москве тысячи раненых в Бородинском сражении, и тысячи подвод, с жителями и имуществом, выезжали в другие заставы. Несмотря на афишки Растопчина, или независимо от них, или вследствие их, самые противоречащие и странные новости передавались по городу. Кто говорил о том, что не велено никому выезжать; кто, напротив, рассказывал, что подняли все иконы из церквей и что всех высылают насильно; кто говорил, что было еще сраженье после Бородинского, в котором разбиты французы; кто говорил, напротив, что все русское войско уничтожено; кто говорил о московском ополчении, которое пойдет с духовенством впереди на Три Горы; кто потихоньку рассказывал, что Августину не ведено выезжать, что пойманы изменники, что мужики бунтуют и грабят тех, кто выезжает, и т. п., и т. п. Но это только говорили, а в сущности, и те, которые ехали, и те, которые оставались (несмотря на то, что еще не было совета в Филях, на котором решено было оставить Москву), – все чувствовали, хотя и не выказывали этого, что Москва непременно сдана будет и что надо как можно скорее убираться самим и спасать свое имущество. Чувствовалось, что все вдруг должно разорваться и измениться, но до 1 го числа ничто еще не изменялось. Как преступник, которого ведут на казнь, знает, что вот вот он должен погибнуть, но все еще приглядывается вокруг себя и поправляет дурно надетую шапку, так и Москва невольно продолжала свою обычную жизнь, хотя знала, что близко то время погибели, когда разорвутся все те условные отношения жизни, которым привыкли покоряться.
В продолжение этих трех дней, предшествовавших пленению Москвы, все семейство Ростовых находилось в различных житейских хлопотах. Глава семейства, граф Илья Андреич, беспрестанно ездил по городу, собирая со всех сторон ходившие слухи, и дома делал общие поверхностные и торопливые распоряжения о приготовлениях к отъезду.
Графиня следила за уборкой вещей, всем была недовольна и ходила за беспрестанно убегавшим от нее Петей, ревнуя его к Наташе, с которой он проводил все время. Соня одна распоряжалась практической стороной дела: укладываньем вещей. Но Соня была особенно грустна и молчалива все это последнее время. Письмо Nicolas, в котором он упоминал о княжне Марье, вызвало в ее присутствии радостные рассуждения графини о том, как во встрече княжны Марьи с Nicolas она видела промысл божий.
– Я никогда не радовалась тогда, – сказала графиня, – когда Болконский был женихом Наташи, а я всегда желала, и у меня есть предчувствие, что Николинька женится на княжне. И как бы это хорошо было!
Соня чувствовала, что это была правда, что единственная возможность поправления дел Ростовых была женитьба на богатой и что княжна была хорошая партия. Но ей было это очень горько. Несмотря на свое горе или, может быть, именно вследствие своего горя, она на себя взяла все трудные заботы распоряжений об уборке и укладке вещей и целые дни была занята. Граф и графиня обращались к ней, когда им что нибудь нужно было приказывать. Петя и Наташа, напротив, не только не помогали родителям, но большею частью всем в доме надоедали и мешали. И целый день почти слышны были в доме их беготня, крики и беспричинный хохот. Они смеялись и радовались вовсе не оттого, что была причина их смеху; но им на душе было радостно и весело, и потому все, что ни случалось, было для них причиной радости и смеха. Пете было весело оттого, что, уехав из дома мальчиком, он вернулся (как ему говорили все) молодцом мужчиной; весело было оттого, что он дома, оттого, что он из Белой Церкви, где не скоро была надежда попасть в сраженье, попал в Москву, где на днях будут драться; и главное, весело оттого, что Наташа, настроению духа которой он всегда покорялся, была весела. Наташа же была весела потому, что она слишком долго была грустна, и теперь ничто не напоминало ей причину ее грусти, и она была здорова. Еще она была весела потому, что был человек, который ею восхищался (восхищение других была та мазь колес, которая была необходима для того, чтоб ее машина совершенно свободно двигалась), и Петя восхищался ею. Главное же, веселы они были потому, что война была под Москвой, что будут сражаться у заставы, что раздают оружие, что все бегут, уезжают куда то, что вообще происходит что то необычайное, что всегда радостно для человека, в особенности для молодого.
В теории чисел функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n формулой
- <math>M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)</math>,
где <math>\mu(k)</math> — функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честь Франца Мертенса.
Другими словами, <math>M(n)</math> — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих n и содержащих чётное число множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число множителей.
Определение выше может быть расширено на все положительные действительные числа следующим образом:
- <math>M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).</math>
Содержание
Свойства
- <math>|M(x)|\leqslant x</math>.
- <math>M(x) = o(x)</math>, что нетривиально, но доказано[1]
- <math>M(x) = M([x])</math>, где <math>[x]</math> - целая часть числа <math>x</math>.
- Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта:
Если <math>c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d</math>, то при <math>x\geqslant 1</math> справедливо тождество:
- <math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x)</math>, где <math>C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n</math> - сумматорная функция последовательности <math>c_n</math>.
В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при <math>x\geqslant 1</math>:
- <math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1</math> - характеристическое свойство функции Мертенса;
- <math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x)</math>, где <math>\psi(x)</math> - вторая функция Чебышёва;
- <math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\sqrt{x})</math>;
- <math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!</math>, где <math>\Lambda(k)</math> - функция Мангольдта;
- <math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x]</math>, где <math>\tau(k)</math> - количество делителей числа <math>k</math>.
- Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях n:
- 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 ... последовательность A028442 в OEIS.
- Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения <math>-1,0,1</math>, функция Мертенса изменяется медленно: для всех n верно, что <math>|M(n)| \leqslant n</math>. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех n абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из n: <math>|M(n)| \leqslant \sqrt{n}</math>. Однако, гипотеза Мертенса оказалась не верна, как показали в 1985 году Эндрю Одлызко (англ.) и Герман те Риеле (англ.). Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте <math>M(n)</math>, а именно <math>M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})</math>. Поскольку наибольшие значения <math>M(n)</math> растут как минимум так же быстро, как и корень из n, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса. Здесь, O обозначает O большое.
Первые 160 значений M(n) последовательность A002321 в OEIS
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| M(n) | 1 | 0 | -1 | -1 | -2 | -1 | -2 | -2 | -2 | -1 | -2 | -2 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -2 | -3 | -3 |
| n | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| M(n) | -2 | -1 | -2 | -2 | -2 | -1 | -1 | -1 | -2 | -3 | -4 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| n | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| M(n) | -1 | -2 | -3 | -3 | -3 | -2 | -3 | -3 | -3 | -3 | -2 | -2 | -3 | -3 | -2 | -2 | -1 | 0 | -1 | -1 |
| n | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| M(n) | -2 | -1 | -1 | -1 | 0 | -1 | -2 | -2 | -1 | -2 | -3 | -3 | -4 | -3 | -3 | -3 | -2 | -3 | -4 | -4 |
| n | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
| M(n) | -4 | -3 | -4 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -2 | -1 | -1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| n | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
| M(n) | 0 | -1 | -2 | -2 | -3 | -2 | -3 | -3 | -4 | -5 | -4 | -4 | -5 | -6 | -5 | -5 | -5 | -4 | -3 | -3 |
| n | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 |
| M(n) | -3 | -2 | -1 | -1 | -1 | -1 | -2 | -2 | -1 | -2 | -3 | -3 | -2 | -1 | -1 | -1 | -2 | -3 | -4 | -4 |
| n | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 |
| M(n) | -3 | -2 | -1 | -1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | -1 | -1 | -1 | -2 | -1 | -1 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Представления
Как интеграл
Используя произведение Эйлера, получаем, что
- <math>\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^s},</math>
где <math>\zeta(s)</math> - это Дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым p. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, мы получаем:
- <math> \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x), </math>
где C - замкнутая кривая, окружающая все корни <math>\zeta(s).</math>
Для обращения используется преобразование Меллина
- <math>\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,</math>
которое сохраняется при <math>\Re(s)>1</math>.
Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни <math>\zeta (\rho)</math>, получается "точная формула" по теореме о вычетах:
- <math>\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.</math>
Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению
- <math>\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac{x}{t+1}\right) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),</math>
где <math>H(x)</math> - функция Хевисайда, <math>B_{2r}</math> - числа Бернулли, и все производные по t вычисляются при <math>t=0</math>.
Титчмарш (1960) доказал следовую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме
- <math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)}{\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,</math>
где t в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а <math>(g, h)</math> связаны преобразованием Фурье, так что
- <math>\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.</math>
Как сумма через последовательность Фарея
Другая формула для функции Мертенса
- <math>M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a},</math>
где <math>\mathcal{F}_n</math> - последовательность Фарея порядка n.
Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля Ландау[2].
Как определитель
<math>M(n)</math> равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка <math>n</math>, в которой <math>a_{ij}=1</math> тогда и только тогда, когда <math>j=1</math> или <math>i \mid j</math>.
Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:
<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1 \\ x_2 + x_4 + \dots + x_{2[n/2]} = 1 \\ x_3 + x_6 + \dots + x_{3[n/3]} = 1 \\ \dots \\ \sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\ \dots\\ \end{cases} </math>
Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.
Решением системы являются числа <math>x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\dots,\,x_k = M(n/k),\,\dots,\,x_n = M(n/n) = 1,</math> в силу характеристического свойства функции Мертенса: <math>\sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1</math>
Решая систему по правилу Крамера, и учитывая, что определитель системы равен 1, получаем, что <math>x_1</math>, равный <math>M(n)</math>, равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка <math>n</math>.
Вычисление
Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов n.
| Person | Year | Limit |
| Mertens | 1897 | 104 |
| von Sterneck | 1897 | 1.5·105 |
| von Sterneck | 1901 | 5·105 |
| von Sterneck | 1912 | 5·106 |
| Neubauer | 1963 | 108 |
| Cohen and Dress | 1979 | 7.8·109 |
| Dress | 1993 | 1012 |
| Lioen and van de Lune | 1994 | 1013 |
| Kotnik and van de Lune | 2003 | 1014 |
Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих N, может быть вычислена за время <math>O(N^{1+\varepsilon})</math>. Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение <math>M(N)</math> за время <math>O(N^{2/3+\varepsilon})</math>.
Приложения
В своём элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказывает и использует тот факт, что из <math>M(x)=o(x)</math> следует <math>\pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\right)</math>.[1]
Замечания
Напишите отзыв о статье "Функция Мертенса"
Литература
- Е. К. Титчмарш. Теория дзета-функции Римана. — ИЛ, 1953.
См. также
Ссылки
- Edwards Harold. Riemann's Zeta Function. — Mineola, New York: Dover, 1974. — ISBN 0-486-41740-9.
- F. Mertens, "Uber eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.
- A. M. Odlyzko and Herman te Riele, "[www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf Disproof of the Mertens Conjecture]", Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138–160.
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/MertensFunction.html Mertens function] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- OEIS A002321, см. секции REFERENCES и LINKS
- Deleglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Mobius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447
Отрывок, характеризующий Функция Мертенса
– Un conseil d'ami, mon cher. Decampez et au plutot, c'est tout ce que je vous dis. A bon entendeur salut! Прощайте, мой милый. Ах, да, – прокричал он ему из двери, – правда ли, что графиня попалась в лапки des saints peres de la Societe de Jesus? [Дружеский совет. Выбирайтесь скорее, вот что я вам скажу. Блажен, кто умеет слушаться!.. святых отцов Общества Иисусова?]Пьер ничего не ответил и, нахмуренный и сердитый, каким его никогда не видали, вышел от Растопчина.
Когда он приехал домой, уже смеркалось. Человек восемь разных людей побывало у него в этот вечер. Секретарь комитета, полковник его батальона, управляющий, дворецкий и разные просители. У всех были дела до Пьера, которые он должен был разрешить. Пьер ничего не понимал, не интересовался этими делами и давал на все вопросы только такие ответы, которые бы освободили его от этих людей. Наконец, оставшись один, он распечатал и прочел письмо жены.
«Они – солдаты на батарее, князь Андрей убит… старик… Простота есть покорность богу. Страдать надо… значение всего… сопрягать надо… жена идет замуж… Забыть и понять надо…» И он, подойдя к постели, не раздеваясь повалился на нее и тотчас же заснул.
Когда он проснулся на другой день утром, дворецкий пришел доложить, что от графа Растопчина пришел нарочно посланный полицейский чиновник – узнать, уехал ли или уезжает ли граф Безухов.
Человек десять разных людей, имеющих дело до Пьера, ждали его в гостиной. Пьер поспешно оделся, и, вместо того чтобы идти к тем, которые ожидали его, он пошел на заднее крыльцо и оттуда вышел в ворота.
С тех пор и до конца московского разорения никто из домашних Безуховых, несмотря на все поиски, не видал больше Пьера и не знал, где он находился.
Ростовы до 1 го сентября, то есть до кануна вступления неприятеля в Москву, оставались в городе.
После поступления Пети в полк казаков Оболенского и отъезда его в Белую Церковь, где формировался этот полк, на графиню нашел страх. Мысль о том, что оба ее сына находятся на войне, что оба они ушли из под ее крыла, что нынче или завтра каждый из них, а может быть, и оба вместе, как три сына одной ее знакомой, могут быть убиты, в первый раз теперь, в это лето, с жестокой ясностью пришла ей в голову. Она пыталась вытребовать к себе Николая, хотела сама ехать к Пете, определить его куда нибудь в Петербурге, но и то и другое оказывалось невозможным. Петя не мог быть возвращен иначе, как вместе с полком или посредством перевода в другой действующий полк. Николай находился где то в армии и после своего последнего письма, в котором подробно описывал свою встречу с княжной Марьей, не давал о себе слуха. Графиня не спала ночей и, когда засыпала, видела во сне убитых сыновей. После многих советов и переговоров граф придумал наконец средство для успокоения графини. Он перевел Петю из полка Оболенского в полк Безухова, который формировался под Москвою. Хотя Петя и оставался в военной службе, но при этом переводе графиня имела утешенье видеть хотя одного сына у себя под крылышком и надеялась устроить своего Петю так, чтобы больше не выпускать его и записывать всегда в такие места службы, где бы он никак не мог попасть в сражение. Пока один Nicolas был в опасности, графине казалось (и она даже каялась в этом), что она любит старшего больше всех остальных детей; но когда меньшой, шалун, дурно учившийся, все ломавший в доме и всем надоевший Петя, этот курносый Петя, с своими веселыми черными глазами, свежим румянцем и чуть пробивающимся пушком на щеках, попал туда, к этим большим, страшным, жестоким мужчинам, которые там что то сражаются и что то в этом находят радостного, – тогда матери показалось, что его то она любила больше, гораздо больше всех своих детей. Чем ближе подходило то время, когда должен был вернуться в Москву ожидаемый Петя, тем более увеличивалось беспокойство графини. Она думала уже, что никогда не дождется этого счастия. Присутствие не только Сони, но и любимой Наташи, даже мужа, раздражало графиню. «Что мне за дело до них, мне никого не нужно, кроме Пети!» – думала она.
В последних числах августа Ростовы получили второе письмо от Николая. Он писал из Воронежской губернии, куда он был послан за лошадьми. Письмо это не успокоило графиню. Зная одного сына вне опасности, она еще сильнее стала тревожиться за Петю.
Несмотря на то, что уже с 20 го числа августа почти все знакомые Ростовых повыехали из Москвы, несмотря на то, что все уговаривали графиню уезжать как можно скорее, она ничего не хотела слышать об отъезде до тех пор, пока не вернется ее сокровище, обожаемый Петя. 28 августа приехал Петя. Болезненно страстная нежность, с которою мать встретила его, не понравилась шестнадцатилетнему офицеру. Несмотря на то, что мать скрыла от него свое намеренье не выпускать его теперь из под своего крылышка, Петя понял ее замыслы и, инстинктивно боясь того, чтобы с матерью не разнежничаться, не обабиться (так он думал сам с собой), он холодно обошелся с ней, избегал ее и во время своего пребывания в Москве исключительно держался общества Наташи, к которой он всегда имел особенную, почти влюбленную братскую нежность.
По обычной беспечности графа, 28 августа ничто еще не было готово для отъезда, и ожидаемые из рязанской и московской деревень подводы для подъема из дома всего имущества пришли только 30 го.
С 28 по 31 августа вся Москва была в хлопотах и движении. Каждый день в Дорогомиловскую заставу ввозили и развозили по Москве тысячи раненых в Бородинском сражении, и тысячи подвод, с жителями и имуществом, выезжали в другие заставы. Несмотря на афишки Растопчина, или независимо от них, или вследствие их, самые противоречащие и странные новости передавались по городу. Кто говорил о том, что не велено никому выезжать; кто, напротив, рассказывал, что подняли все иконы из церквей и что всех высылают насильно; кто говорил, что было еще сраженье после Бородинского, в котором разбиты французы; кто говорил, напротив, что все русское войско уничтожено; кто говорил о московском ополчении, которое пойдет с духовенством впереди на Три Горы; кто потихоньку рассказывал, что Августину не ведено выезжать, что пойманы изменники, что мужики бунтуют и грабят тех, кто выезжает, и т. п., и т. п. Но это только говорили, а в сущности, и те, которые ехали, и те, которые оставались (несмотря на то, что еще не было совета в Филях, на котором решено было оставить Москву), – все чувствовали, хотя и не выказывали этого, что Москва непременно сдана будет и что надо как можно скорее убираться самим и спасать свое имущество. Чувствовалось, что все вдруг должно разорваться и измениться, но до 1 го числа ничто еще не изменялось. Как преступник, которого ведут на казнь, знает, что вот вот он должен погибнуть, но все еще приглядывается вокруг себя и поправляет дурно надетую шапку, так и Москва невольно продолжала свою обычную жизнь, хотя знала, что близко то время погибели, когда разорвутся все те условные отношения жизни, которым привыкли покоряться.
В продолжение этих трех дней, предшествовавших пленению Москвы, все семейство Ростовых находилось в различных житейских хлопотах. Глава семейства, граф Илья Андреич, беспрестанно ездил по городу, собирая со всех сторон ходившие слухи, и дома делал общие поверхностные и торопливые распоряжения о приготовлениях к отъезду.
Графиня следила за уборкой вещей, всем была недовольна и ходила за беспрестанно убегавшим от нее Петей, ревнуя его к Наташе, с которой он проводил все время. Соня одна распоряжалась практической стороной дела: укладываньем вещей. Но Соня была особенно грустна и молчалива все это последнее время. Письмо Nicolas, в котором он упоминал о княжне Марье, вызвало в ее присутствии радостные рассуждения графини о том, как во встрече княжны Марьи с Nicolas она видела промысл божий.
– Я никогда не радовалась тогда, – сказала графиня, – когда Болконский был женихом Наташи, а я всегда желала, и у меня есть предчувствие, что Николинька женится на княжне. И как бы это хорошо было!
Соня чувствовала, что это была правда, что единственная возможность поправления дел Ростовых была женитьба на богатой и что княжна была хорошая партия. Но ей было это очень горько. Несмотря на свое горе или, может быть, именно вследствие своего горя, она на себя взяла все трудные заботы распоряжений об уборке и укладке вещей и целые дни была занята. Граф и графиня обращались к ней, когда им что нибудь нужно было приказывать. Петя и Наташа, напротив, не только не помогали родителям, но большею частью всем в доме надоедали и мешали. И целый день почти слышны были в доме их беготня, крики и беспричинный хохот. Они смеялись и радовались вовсе не оттого, что была причина их смеху; но им на душе было радостно и весело, и потому все, что ни случалось, было для них причиной радости и смеха. Пете было весело оттого, что, уехав из дома мальчиком, он вернулся (как ему говорили все) молодцом мужчиной; весело было оттого, что он дома, оттого, что он из Белой Церкви, где не скоро была надежда попасть в сраженье, попал в Москву, где на днях будут драться; и главное, весело оттого, что Наташа, настроению духа которой он всегда покорялся, была весела. Наташа же была весела потому, что она слишком долго была грустна, и теперь ничто не напоминало ей причину ее грусти, и она была здорова. Еще она была весела потому, что был человек, который ею восхищался (восхищение других была та мазь колес, которая была необходима для того, чтоб ее машина совершенно свободно двигалась), и Петя восхищался ею. Главное же, веселы они были потому, что война была под Москвой, что будут сражаться у заставы, что раздают оружие, что все бегут, уезжают куда то, что вообще происходит что то необычайное, что всегда радостно для человека, в особенности для молодого.
