Функция вероятности

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Функция вероятности дискретной случайной величины означает вероятность того, что случайная величина примет заданное значение.

Определения

Функция произвольной вероятности

Пусть <math>\mathbb{P}</math> является вероятностной мерой на <math>\mathbb{R}^n</math>, то есть определено вероятностное пространство <math>\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> обозначает борелевскую σ-алгебру на <math>\mathbb{R}^n</math>.

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель <math>\mathbb{P}</math> не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество <math>X \subset \mathbb{R}^n</math> такое, что <math>\mathbb{P}(X) = 1</math>.

Определение 2. Функция <math>p:\mathbb{R}^n \to [0,1]</math>, определённая следующим образом:

<math>p(x) = \left\{

\begin{matrix} \mathbb{P}(\{x\}), & x\in X \\ 0, & x \in \mathbb{R}^n \setminus X \end{matrix} \right.</math> называется функцией вероятности <math>\mathbb{P}</math>.

Функция вероятности случайной величины

Определение 3. Пусть <math>X:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\mathbb{R}^n</math>, называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности <math>p_X</math> случайной величины <math>X</math> имеет вид:

<math>p_X(x) = \mathbb{P}^X(\{x\}) \equiv \mathbb{P}(X=x)</math>.

или короче

<math>p_X(x_i) = \mathbb{P}(X=x_i) = p_i, \; i \in \mathbb{N}</math>,

где <math>X = \{x_1,x_2, x_3,\ldots \} \subset{\mathbb{R}^n}</math>.

Свойства функции вероятности

Из свойств вероятности очевидно следует:

• <math>p_X(x_i) \geqslant 0,\; \forall i \in \mathbb{N}</math>.
• <math>\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_X(x_i) = 1</math>.
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

<math>F_X(x) = \sum\limits_{x' \leqslant x}p_X(x')</math>.

• Если <math>X = (X_1,X_2)</math>, то

<math>\sum\limits_{x_2}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_1}(x_1)</math>,

<math>\sum\limits_{x_1}p_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = p_{X_2}(x_2)</math>,

где <math>p_{X_1,X_2}</math> — функция вероятности вектора <math>(X_1,X_2)</math>, а <math>p_{X_i}</math> — функция вероятности величины <math>X_i,\; i=1,2</math>. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности <math>n>2</math>.

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

<math>\mathbb{E}[g(X)] = \sum\limits_{i=1}^n g(x_i)\, p_i</math>,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. также

• Плотность вероятности

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Функция вероятности

Пьер ушел из своего дома только для того, чтобы избавиться от сложной путаницы требований жизни, охватившей его, и которую он, в тогдашнем состоянии, но в силах был распутать. Он поехал на квартиру Иосифа Алексеевича под предлогом разбора книг и бумаг покойного только потому, что он искал успокоения от жизненной тревоги, – а с воспоминанием об Иосифе Алексеевиче связывался в его душе мир вечных, спокойных и торжественных мыслей, совершенно противоположных тревожной путанице, в которую он чувствовал себя втягиваемым. Он искал тихого убежища и действительно нашел его в кабинете Иосифа Алексеевича. Когда он, в мертвой тишине кабинета, сел, облокотившись на руки, над запыленным письменным столом покойника, в его воображении спокойно и значительно, одно за другим, стали представляться воспоминания последних дней, в особенности Бородинского сражения и того неопределимого для него ощущения своей ничтожности и лживости в сравнении с правдой, простотой и силой того разряда людей, которые отпечатались у него в душе под названием они. Когда Герасим разбудил его от его задумчивости, Пьеру пришла мысль о том, что он примет участие в предполагаемой – как он знал – народной защите Москвы. И с этой целью он тотчас же попросил Герасима достать ему кафтан и пистолет и объявил ему свое намерение, скрывая свое имя, остаться в доме Иосифа Алексеевича. Потом, в продолжение первого уединенно и праздно проведенного дня (Пьер несколько раз пытался и не мог остановить своего внимания на масонских рукописях), ему несколько раз смутно представлялось и прежде приходившая мысль о кабалистическом значении своего имени в связи с именем Бонапарта; но мысль эта о том, что ему, l'Russe Besuhof, предназначено положить предел власти зверя, приходила ему еще только как одно из мечтаний, которые беспричинно и бесследно пробегают в воображении.
Когда, купив кафтан (с целью только участвовать в народной защите Москвы), Пьер встретил Ростовых и Наташа сказала ему: «Вы остаетесь? Ах, как это хорошо!» – в голове его мелькнула мысль, что действительно хорошо бы было, даже ежели бы и взяли Москву, ему остаться в ней и исполнить то, что ему предопределено.
На другой день он, с одною мыслию не жалеть себя и не отставать ни в чем от них, ходил с народом за Трехгорную заставу. Но когда он вернулся домой, убедившись, что Москву защищать не будут, он вдруг почувствовал, что то, что ему прежде представлялось только возможностью, теперь сделалось необходимостью и неизбежностью. Он должен был, скрывая свое имя, остаться в Москве, встретить Наполеона и убить его с тем, чтобы или погибнуть, или прекратить несчастье всей Европы, происходившее, по мнению Пьера, от одного Наполеона.