Функция распределения простых чисел

В математике функция распределения простых чисел или пи-функция <math>\pi (x)</math> — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается <math>\pi(x)</math> (это никак не связано с числом пи).

История

Большой интерес в теории чисел представляет скорость роста пи-функции. В конце 18-го столетия Гауссом и Лежандром было выдвинуто предположение, что пи-функция оценивается как

<math> \frac{x}{\ln x}</math>

в смысле, что

<math>\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1.</math>

Это утверждение — теорема о распределении простых чисел. Оно эквивалентно утверждению

<math>\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)}=1</math>

где <math>\operatorname{li}</math> — это интегральный логарифм. Теорема о простых числах впервые была доказана в 1896 Жаком Адамаром и независимо Валле-Пуссеном, используя дзета-функцию Римана введенную Риманом в 1859.

Точнее рост <math>\pi(x)</math> сейчас описывается как

<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\bigl(xe^{-\sqrt{\ln x}/15}\bigr)</math>

где <math>O</math> обозначает O большое. Для чаще всего используемых значений x (то есть когда x не сильно велико) <math>\operatorname{li}(x)</math> больше чем <math>\pi(x)</math>, однако разность <math>\pi (x)-\operatorname{li}(x)</math> меняет свой знак бесконечное число раз. См. также Число Скьюза.

Доказательства теоремы о простых числах, не использующие дзета-функцию или комплексный анализ были найдены в 1948 году Атле Сельбергом и Паулем Эрдёшом (большей частью независимо).

Таблицы для пи-функции, x / ln x и li(x)

В следующей таблице показан рост функций <math>\pi(x),\frac{x}{\ln x},\operatorname{li}(x)</math> по степеням 10. См. также, and.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0,3	2,2	2,500
102	25	3,3	5,1	4,000
103	168	23	10	5,952
104	1 229	143	17	8,137
105	9 592	906	38	10,425
106	78 498	6 116	130	12,740
107	664 579	44 158	339	15,047
108	5 761 455	332 774	754	17,357
109	50 847 534	2 592 592	1 701	19,667
1010	455 052 511	20 758 029	3 104	21,975
1011	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,283
1012	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590
1013	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,896
1014	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,202
1015	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,507
1016	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35,812
1017	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38,116
1018	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40,420
1019	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42,725
1020	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45,028
1021	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47,332
1022	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49,636
1023	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7 250 186 216	51,939
1024	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54,243

В OEIS первая колонка значений <math>\pi(x)</math> — это последовательность A006880, <math>\pi(x)-\left\lfloor\frac{x}{\ln x}+0{,}5\right\rfloor</math> — это последовательность A057835, а <math>\lfloor\operatorname{li}(x)+0{,}5\rfloor-\pi(x)</math> — это последовательность A057752.

Алгоритмы вычисления пи-функции

Простой способ найти <math>\pi(x)</math>, если <math>x</math> не очень велико, — это использование решета Эратосфена выдающего простые, не превосходящие <math>x</math> и подсчитать их.

Более продуманный способ вычисления <math>\pi(x)</math> был дан Лежандром: дан <math>x</math>, если <math>p_1,p_2,\ldots,p_k</math> — различные простые числа, то число целых чисел, не превосходящих <math>x</math> и не делящихся на все <math>p_i</math> равно

<math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math>

(где <math>\lfloor\cdots\rfloor</math> обозначает целую часть). Следовательно, полученное число равно

<math>\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1</math>

если числа <math>p_1, p_2,\ldots,p_k</math> — это все простые числа, не превосходящие <math>\sqrt{x}</math>.

В 1870—1885 годах в серии статей Эрнст Мейссель описал (и использовал) практический комбинаторный способ вычисления <math>\pi(x)</math>. Пусть <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> — первые <math>n</math> простых, обозначим <math>\Phi(m,n)</math> число натуральных чисел, не превосходящих <math>m</math>, которые не делятся ни на одно<math>p_i</math>. Тогда

<math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\left[\frac{m}{p_n}\right],n-1\right)</math>

Возьмем натуральное <math>m</math>, если <math>n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)</math> и если <math>\mu=\pi\left(\sqrt{m}\right)-n</math>, то

<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu}{2}-1-\sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac{m}{p_{n+k}}\right)</math>

Используя этот подход, Мейссель вычислил <math>\pi(x)</math> для <math>x=5\cdot 10^5;10^6;10^7;10^8</math>.

В 1959 году Деррик Генри Лемер расширил и упростил метод Мейсселя. Определим, для действительного <math>m</math> и для натуральных <math>n,k</math> величину <math>P_k(m,n)</math> как число чисел, не превосходящих m имеющих ровно k простых множителей, причем все они превосходят <math>p_n</math>. Кроме того, положим <math>P_0(m,n)=1</math>. Тогда

<math>\Phi(m,n)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_k(m,n)</math>

где сумма явно всегда имеет конечное число ненулевых слагаемых. Пусть <math>y</math> — целое, такое, что <math>\sqrt[3]{m}\leqslant y\leqslant\sqrt{m}</math>, и положим <math>n=\pi(y)</math>. Тогда <math>P_1(m,n)=\pi(m)-n</math> и <math>P_k(m,n)=0</math> при <math>k\geqslant 3</math>. Следовательно

<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)</math>

Вычисление <math>P_2(m,n)</math> может быть получено следующим способом:

<math>P_2(m,n)=\sum_{y<p\leqslant\sqrt{m}}\left(\pi\left(\frac mp\right)-\pi(p)+1\right)</math>

С другой стороны, вычисление <math>\Phi(m,n)</math> может быть выполнено с помощью следующих правил:

1. <math>\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor</math>
2. <math>\Phi(m,b)=\Phi(m,b-1)-\Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)</math>

Используя этот метод и IBM 701, Лемер смог вычислить <math>\pi\left(10^{10}\right)</math>.

Дальнейшие усовершенствования этого метода были сделаны Lagarias, Miller, Odlyzko, Deleglise и Rivat.

Китайский математик Hwang Cheng использовал следующие тождества:

<math>e^{(a-1)\Theta}f(x)=f(ax),</math>

<math>J(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi(x^{1/n})}{n}</math>

и, полагая <math>x=e^t</math>, выполняя преобразование Лапласа обеих частей и применяя сумму геометрической прогрессии с <math>e^{n\Theta}</math>, получил выражение:

<math>\frac{1}{2{\pi}i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}g(s)t^{s}\,ds = \pi(t)</math>

<math>\frac{\ln \zeta(s)}{s}=(1-e^{\Theta(s)})^{-1}g(s)</math>

<math>\Theta(s)=s\frac{d}{ds}</math>

Другие функции, подсчитывающие простые числа

Другие функции, подсчитывающие простые числа, также используются, поскольку с ними удобнее работать. Одна из них — функция Римана, часто обозначаемая как <math>\Pi_0(x)</math> или <math>J_0(x)</math>. Она испытывает прыжок на 1/n для степеней простых <math>p^n</math>, причем в точке прыжка <math>x</math> её значение равно полусумме значений на обеих сторонах от <math>x</math>. Эти дополнительные детали нужны для того, чтобы она могла быть определена обратным преобразованием Меллина. Формально, мы определим <math>\Pi_0(x)</math> как

<math>\Pi_0(x) = \frac12 \bigg(\sum_{p^n < x} \frac1n\ + \sum_{p^n \le x} \frac1n\bigg)</math>

где p простое.

Мы также может записать

<math>\Pi_0(x) = \sum\limits_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\ln n} - \frac12 \frac{\Lambda(x)}{\ln x} = \sum_{n=1}^\infty \frac1n \pi_0(\sqrt[n]{x})</math>

где <math>\Lambda(n)</math> — функция Мангольдта и

<math>\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\pi(x-\varepsilon)+\pi(x+\varepsilon)}2.</math>

Формула обращения Мёбиуса дает

<math>\pi_{0}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}n \Pi_0(\sqrt[n]{x})</math>

Используя известное соотношение между логарифмом дзета-функции Римана и функцией Мангольдта <math>\Lambda</math>, и используя формулу Перрона мы получим

<math>\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1}\,dx</math>

Функция Римана имеет производящую функцию

<math>\sum_{n=1}^\infty \Pi_0(n)x^n = \sum_{a=2}^\infty \frac{x^{a}}{1-x} - \frac{1}{2}\sum_{a=2}^\infty

\sum_{b=2}^\infty \frac{x^{ab}}{1-x} + \frac{1}{3}\sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \frac{x^{abc}}{1 -x} - \frac{1}{4}\sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \sum_{d=2}^\infty \frac{x^{abcd}}{1-x} + \cdots </math>

Функция Чебышёва — это функция, подсчитывающая степени простых чисел <math>p^n</math> с весом <math>\ln p</math>:

<math>\theta(x)=\sum_{p\leqslant x}\ln p</math>

<math>\psi(x) = \sum_{p^n\leqslant x} \ln p = \sum_{n=1}^\infty \theta(\sqrt[n]{x}) = \sum_{n\leqslant x}\Lambda(n).</math>

Формулы для функций, подсчитывающих простые числа

Формулы для функций, подсчитывающих простые числа, бывают двух видов: арифметические формулы и аналитические формулы. Аналитические формулы для таких функций были впервые использованы для доказательства теоремы о простых числах. Они происходят от работ Римана и Мангольдта и в общем известны как явные формулы.

Существует следующее выражение для <math>\psi</math>-функции Чебышёва:

<math>\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})</math>

где

<math>\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\psi(x-\varepsilon)+\psi(x+\varepsilon)}2.</math>

Здесь <math>\rho</math> пробегает нули дзета-функции в критической полосе, где действительная часть <math>\rho</math> лежит между нулем и единицей. Формула верна для всех <math>x>1</math>. Ряд по корням сходится условно, и может быть взят в порядке абсолютного значения возрастания мнимой части корней. Заметим, что аналогичная сумма по тривиальным корням дает последнее слагаемое в формуле.

Для <math>\scriptstyle\Pi_0(x)</math> мы имеем следующую сложную формулу

<math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1) \ln t}.</math>

Опять же, формула верна для всех <math>x>1</math>, где <math>\rho</math> — нетривиальные нули зета-функции, упорядоченные по их абсолютному значению, и, снова, последний интеграл берется со знаком «минус» и является такой же суммой, но по тривиальным нулям. Выражение <math>\operatorname{li}(x^{\rho})</math> во втором члене может быть рассмотренно как <math>\operatorname{Ei}(\rho\ln x)</math>, где <math>\operatorname{Ei}</math> — это аналитическое продолжение интегральной показательной функции на комплексную плоскость с ветвью, вырезанной вдоль прямой <math>x<0</math>.

Таким образом, формула обращения Мёбиуса дает нам

<math>\pi_{0}(x)=\operatorname{R}(x)-\sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho})-\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{\pi}{\ln x}</math>

верное для <math>x>1</math>, где

<math>\operatorname{R}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n}\operatorname{li}(x^{1/n})=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>

называется R-функцией также в честь Римана. Последний ряд в ней известен как ряд Грэма и сходится для всех <math>x>0</math>.

Сумма по нетривиальным нулям дзета-функции в формуле для <math>\pi_0(x)</math> описывает флуктуации <math>\pi_0(x)</math>, в то время как остальные слагаемые дают гладкую часть пи-функции, поэтому мы можем использовать

<math>\operatorname{R}(x) - \frac{1}{\ln x} + \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{\pi}{\ln x}</math>

как [primefan.ru:8014/WWW/stuff/primes/best_estimator.gif наилучшее приближение] для <math>\pi(x)</math> для <math>x>1</math>.

Амплитуда «шумной» части эвристически оценивается как <math>\sqrt x/\ln x</math>, поэтому флуктуации в распределении простых могут быть явно представлены <math>\Delta</math>-функцией:

<math>\Delta(x) = \left( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x) + \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{\pi}{\ln x} \right) \frac{\ln x}{\sqrt x}.</math>

Общирные таблицы значений <math>\Delta(x)</math> доступны здесь.

Неравенства

Здесь выписаны некоторые неравенства для <math>\pi (x)</math>.

<math>\frac{x}{\ln x}<\pi(x)<1{,}25506\cdot \frac{x}{\ln x} \qquad x \geqslant 17.</math>

Левое неравенство выполняется при <math>x \geqslant 17</math>, а правое — при <math>x>1.</math>

Неравенства для <math>n</math>-го простого числа <math>p_n</math>:

<math>n\ln n+n\ln\ln n -n<p_n<n\ln n +n\ln\ln n, \ n\geqslant 6</math>

Левое неравенство верно при <math>n \geqslant 1</math>, а правое — при <math>n \geqslant 6</math>.

Имеет место следующая асимптотика для <math>n</math>-го простого числа <math>p_n</math>:

<math> p_n = n\ln n\left(1+\frac{\ln\ln n-1}{\ln n}+\frac{\ln\ln n-2}{\ln ^2 n}+\frac{-1/2\ln ^2\ln n+3\ln\ln n -11/2}{\ln^3 n}+O\left(\frac{\ln^3\ln n}{\ln^4 n}\right)\right)</math>

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана эквивалентна более точной границе ошибки приближения <math>\pi(x)</math> интегральным логарифмом, а отсюда и более регулярному распределению простых чисел

<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \ln x).</math>

В частности,

<math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x, \qquad x \geqslant 2657. </math>

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Постулат Бертрана

Литература

• К. Прахар. Распределение простых чисел. — Мир, 1967.

Ссылки

• Chris Caldwell, [primes.utm.edu/nthprime/ The Nth Prime Page] at The Prime Pages.

Отрывок, характеризующий Функция распределения простых чисел

– Решилась! Расея! – крикнул он. – Алпатыч! решилась! Сам запалю. Решилась… – Ферапонтов побежал на двор.
По улице, запружая ее всю, непрерывно шли солдаты, так что Алпатыч не мог проехать и должен был дожидаться. Хозяйка Ферапонтова с детьми сидела также на телеге, ожидая того, чтобы можно было выехать.
Была уже совсем ночь. На небе были звезды и светился изредка застилаемый дымом молодой месяц. На спуске к Днепру повозки Алпатыча и хозяйки, медленно двигавшиеся в рядах солдат и других экипажей, должны были остановиться. Недалеко от перекрестка, у которого остановились повозки, в переулке, горели дом и лавки. Пожар уже догорал. Пламя то замирало и терялось в черном дыме, то вдруг вспыхивало ярко, до странности отчетливо освещая лица столпившихся людей, стоявших на перекрестке. Перед пожаром мелькали черные фигуры людей, и из за неумолкаемого треска огня слышались говор и крики. Алпатыч, слезший с повозки, видя, что повозку его еще не скоро пропустят, повернулся в переулок посмотреть пожар. Солдаты шныряли беспрестанно взад и вперед мимо пожара, и Алпатыч видел, как два солдата и с ними какой то человек во фризовой шинели тащили из пожара через улицу на соседний двор горевшие бревна; другие несли охапки сена.
Алпатыч подошел к большой толпе людей, стоявших против горевшего полным огнем высокого амбара. Стены были все в огне, задняя завалилась, крыша тесовая обрушилась, балки пылали. Очевидно, толпа ожидала той минуты, когда завалится крыша. Этого же ожидал Алпатыч.
– Алпатыч! – вдруг окликнул старика чей то знакомый голос.
– Батюшка, ваше сиятельство, – отвечал Алпатыч, мгновенно узнав голос своего молодого князя.
Князь Андрей, в плаще, верхом на вороной лошади, стоял за толпой и смотрел на Алпатыча.
– Ты как здесь? – спросил он.
– Ваше… ваше сиятельство, – проговорил Алпатыч и зарыдал… – Ваше, ваше… или уж пропали мы? Отец…
– Как ты здесь? – повторил князь Андрей.
Пламя ярко вспыхнуло в эту минуту и осветило Алпатычу бледное и изнуренное лицо его молодого барина. Алпатыч рассказал, как он был послан и как насилу мог уехать.
– Что же, ваше сиятельство, или мы пропали? – спросил он опять.
Князь Андрей, не отвечая, достал записную книжку и, приподняв колено, стал писать карандашом на вырванном листе. Он писал сестре:
«Смоленск сдают, – писал он, – Лысые Горы будут заняты неприятелем через неделю. Уезжайте сейчас в Москву. Отвечай мне тотчас, когда вы выедете, прислав нарочного в Усвяж».
Написав и передав листок Алпатычу, он на словах передал ему, как распорядиться отъездом князя, княжны и сына с учителем и как и куда ответить ему тотчас же. Еще не успел он окончить эти приказания, как верховой штабный начальник, сопутствуемый свитой, подскакал к нему.
– Вы полковник? – кричал штабный начальник, с немецким акцентом, знакомым князю Андрею голосом. – В вашем присутствии зажигают дома, а вы стоите? Что это значит такое? Вы ответите, – кричал Берг, который был теперь помощником начальника штаба левого фланга пехотных войск первой армии, – место весьма приятное и на виду, как говорил Берг.
Князь Андрей посмотрел на него и, не отвечая, продолжал, обращаясь к Алпатычу:
– Так скажи, что до десятого числа жду ответа, а ежели десятого не получу известия, что все уехали, я сам должен буду все бросить и ехать в Лысые Горы.
– Я, князь, только потому говорю, – сказал Берг, узнав князя Андрея, – что я должен исполнять приказания, потому что я всегда точно исполняю… Вы меня, пожалуйста, извините, – в чем то оправдывался Берг.
Что то затрещало в огне. Огонь притих на мгновенье; черные клубы дыма повалили из под крыши. Еще страшно затрещало что то в огне, и завалилось что то огромное.
– Урруру! – вторя завалившемуся потолку амбара, из которого несло запахом лепешек от сгоревшего хлеба, заревела толпа. Пламя вспыхнуло и осветило оживленно радостные и измученные лица людей, стоявших вокруг пожара.
Человек во фризовой шинели, подняв кверху руку, кричал:
– Важно! пошла драть! Ребята, важно!..
– Это сам хозяин, – послышались голоса.
– Так, так, – сказал князь Андрей, обращаясь к Алпатычу, – все передай, как я тебе говорил. – И, ни слова не отвечая Бергу, замолкшему подле него, тронул лошадь и поехал в переулок.


От Смоленска войска продолжали отступать. Неприятель шел вслед за ними. 10 го августа полк, которым командовал князь Андрей, проходил по большой дороге, мимо проспекта, ведущего в Лысые Горы. Жара и засуха стояли более трех недель. Каждый день по небу ходили курчавые облака, изредка заслоняя солнце; но к вечеру опять расчищало, и солнце садилось в буровато красную мглу. Только сильная роса ночью освежала землю. Остававшиеся на корню хлеба сгорали и высыпались. Болота пересохли. Скотина ревела от голода, не находя корма по сожженным солнцем лугам. Только по ночам и в лесах пока еще держалась роса, была прохлада. Но по дороге, по большой дороге, по которой шли войска, даже и ночью, даже и по лесам, не было этой прохлады. Роса не заметна была на песочной пыли дороги, встолченной больше чем на четверть аршина. Как только рассветало, начиналось движение. Обозы, артиллерия беззвучно шли по ступицу, а пехота по щиколку в мягкой, душной, не остывшей за ночь, жаркой пыли. Одна часть этой песочной пыли месилась ногами и колесами, другая поднималась и стояла облаком над войском, влипая в глаза, в волоса, в уши, в ноздри и, главное, в легкие людям и животным, двигавшимся по этой дороге. Чем выше поднималось солнце, тем выше поднималось облако пыли, и сквозь эту тонкую, жаркую пыль на солнце, не закрытое облаками, можно было смотреть простым глазом. Солнце представлялось большим багровым шаром. Ветра не было, и люди задыхались в этой неподвижной атмосфере. Люди шли, обвязавши носы и рты платками. Приходя к деревне, все бросалось к колодцам. Дрались за воду и выпивали ее до грязи.
Князь Андрей командовал полком, и устройство полка, благосостояние его людей, необходимость получения и отдачи приказаний занимали его. Пожар Смоленска и оставление его были эпохой для князя Андрея. Новое чувство озлобления против врага заставляло его забывать свое горе. Он весь был предан делам своего полка, он был заботлив о своих людях и офицерах и ласков с ними. В полку его называли наш князь, им гордились и его любили. Но добр и кроток он был только с своими полковыми, с Тимохиным и т. п., с людьми совершенно новыми и в чужой среде, с людьми, которые не могли знать и понимать его прошедшего; но как только он сталкивался с кем нибудь из своих прежних, из штабных, он тотчас опять ощетинивался; делался злобен, насмешлив и презрителен. Все, что связывало его воспоминание с прошедшим, отталкивало его, и потому он старался в отношениях этого прежнего мира только не быть несправедливым и исполнять свой долг.
Правда, все в темном, мрачном свете представлялось князю Андрею – особенно после того, как оставили Смоленск (который, по его понятиям, можно и должно было защищать) 6 го августа, и после того, как отец, больной, должен был бежать в Москву и бросить на расхищение столь любимые, обстроенные и им населенные Лысые Горы; но, несмотря на то, благодаря полку князь Андрей мог думать о другом, совершенно независимом от общих вопросов предмете – о своем полку. 10 го августа колонна, в которой был его полк, поравнялась с Лысыми Горами. Князь Андрей два дня тому назад получил известие, что его отец, сын и сестра уехали в Москву. Хотя князю Андрею и нечего было делать в Лысых Горах, он, с свойственным ему желанием растравить свое горе, решил, что он должен заехать в Лысые Горы.
Он велел оседлать себе лошадь и с перехода поехал верхом в отцовскую деревню, в которой он родился и провел свое детство. Проезжая мимо пруда, на котором всегда десятки баб, переговариваясь, били вальками и полоскали свое белье, князь Андрей заметил, что на пруде никого не было, и оторванный плотик, до половины залитый водой, боком плавал посредине пруда. Князь Андрей подъехал к сторожке. У каменных ворот въезда никого не было, и дверь была отперта. Дорожки сада уже заросли, и телята и лошади ходили по английскому парку. Князь Андрей подъехал к оранжерее; стекла были разбиты, и деревья в кадках некоторые повалены, некоторые засохли. Он окликнул Тараса садовника. Никто не откликнулся. Обогнув оранжерею на выставку, он увидал, что тесовый резной забор весь изломан и фрукты сливы обдерганы с ветками. Старый мужик (князь Андрей видал его у ворот в детстве) сидел и плел лапоть на зеленой скамеечке.
Он был глух и не слыхал подъезда князя Андрея. Он сидел на лавке, на которой любил сиживать старый князь, и около него было развешено лычко на сучках обломанной и засохшей магнолии.
Князь Андрей подъехал к дому. Несколько лип в старом саду были срублены, одна пегая с жеребенком лошадь ходила перед самым домом между розанами. Дом был заколочен ставнями. Одно окно внизу было открыто. Дворовый мальчик, увидав князя Андрея, вбежал в дом.
Алпатыч, услав семью, один оставался в Лысых Горах; он сидел дома и читал Жития. Узнав о приезде князя Андрея, он, с очками на носу, застегиваясь, вышел из дома, поспешно подошел к князю и, ничего не говоря, заплакал, целуя князя Андрея в коленку.
Потом он отвернулся с сердцем на свою слабость и стал докладывать ему о положении дел. Все ценное и дорогое было отвезено в Богучарово. Хлеб, до ста четвертей, тоже был вывезен; сено и яровой, необыкновенный, как говорил Алпатыч, урожай нынешнего года зеленым взят и скошен – войсками. Мужики разорены, некоторый ушли тоже в Богучарово, малая часть остается.
Князь Андрей, не дослушав его, спросил, когда уехали отец и сестра, разумея, когда уехали в Москву. Алпатыч отвечал, полагая, что спрашивают об отъезде в Богучарово, что уехали седьмого, и опять распространился о долах хозяйства, спрашивая распоряжении.
– Прикажете ли отпускать под расписку командам овес? У нас еще шестьсот четвертей осталось, – спрашивал Алпатыч.
«Что отвечать ему? – думал князь Андрей, глядя на лоснеющуюся на солнце плешивую голову старика и в выражении лица его читая сознание того, что он сам понимает несвоевременность этих вопросов, но спрашивает только так, чтобы заглушить и свое горе.
– Да, отпускай, – сказал он.
– Ежели изволили заметить беспорядки в саду, – говорил Алпатыч, – то невозмежио было предотвратить: три полка проходили и ночевали, в особенности драгуны. Я выписал чин и звание командира для подачи прошения.
– Ну, что ж ты будешь делать? Останешься, ежели неприятель займет? – спросил его князь Андрей.
Алпатыч, повернув свое лицо к князю Андрею, посмотрел на него; и вдруг торжественным жестом поднял руку кверху.
– Он мой покровитель, да будет воля его! – проговорил он.
Толпа мужиков и дворовых шла по лугу, с открытыми головами, приближаясь к князю Андрею.
– Ну прощай! – сказал князь Андрей, нагибаясь к Алпатычу. – Уезжай сам, увози, что можешь, и народу вели уходить в Рязанскую или в Подмосковную. – Алпатыч прижался к его ноге и зарыдал. Князь Андрей осторожно отодвинул его и, тронув лошадь, галопом поехал вниз по аллее.
На выставке все так же безучастно, как муха на лице дорогого мертвеца, сидел старик и стукал по колодке лаптя, и две девочки со сливами в подолах, которые они нарвали с оранжерейных деревьев, бежали оттуда и наткнулись на князя Андрея. Увидав молодого барина, старшая девочка, с выразившимся на лице испугом, схватила за руку свою меньшую товарку и с ней вместе спряталась за березу, не успев подобрать рассыпавшиеся зеленые сливы.
Князь Андрей испуганно поспешно отвернулся от них, боясь дать заметить им, что он их видел. Ему жалко стало эту хорошенькую испуганную девочку. Он боялся взглянуть на нее, по вместе с тем ему этого непреодолимо хотелось. Новое, отрадное и успокоительное чувство охватило его, когда он, глядя на этих девочек, понял существование других, совершенно чуждых ему и столь же законных человеческих интересов, как и те, которые занимали его. Эти девочки, очевидно, страстно желали одного – унести и доесть эти зеленые сливы и не быть пойманными, и князь Андрей желал с ними вместе успеха их предприятию. Он не мог удержаться, чтобы не взглянуть на них еще раз. Полагая себя уже в безопасности, они выскочили из засады и, что то пища тоненькими голосками, придерживая подолы, весело и быстро бежали по траве луга своими загорелыми босыми ножонками.
Князь Андрей освежился немного, выехав из района пыли большой дороги, по которой двигались войска. Но недалеко за Лысыми Горами он въехал опять на дорогу и догнал свой полк на привале, у плотины небольшого пруда. Был второй час после полдня. Солнце, красный шар в пыли, невыносимо пекло и жгло спину сквозь черный сюртук. Пыль, все такая же, неподвижно стояла над говором гудевшими, остановившимися войсками. Ветру не было, В проезд по плотине на князя Андрея пахнуло тиной и свежестью пруда. Ему захотелось в воду – какая бы грязная она ни была. Он оглянулся на пруд, с которого неслись крики и хохот. Небольшой мутный с зеленью пруд, видимо, поднялся четверти на две, заливая плотину, потому что он был полон человеческими, солдатскими, голыми барахтавшимися в нем белыми телами, с кирпично красными руками, лицами и шеями. Все это голое, белое человеческое мясо с хохотом и гиком барахталось в этой грязной луже, как караси, набитые в лейку. Весельем отзывалось это барахтанье, и оттого оно особенно было грустно.