Функция (математика)

Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной <math>x</math> однозначно определяет значение выражения <math>x^2</math>, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца.

Аналогично, задуманный заранее алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Определения

Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся понятие функции, то есть описание математического объекта с помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или «соответствие».

Понятие функции

Говорят, что на множестве <math>X</math> имеется функция (отображение, операция, оператор) <math>f</math> со значениями из <math>Y</math>, если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> по правилу <math>f</math> поставлен в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math>.

Говорят также, что функция <math>f</math> отображает множество <math>X</math> в множество <math>Y</math>. Функцию обозначают также записью <math>y=f(x)</math>.

Если используется термин оператор, то говорят, что оператор <math>f</math> действует из множества <math>X</math> в множество <math>Y</math> и добавляют запись <math>y=fx</math>.

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия <math>f</math> считается известным, то говорят, что на множестве <math>X</math> задана функция <math>f</math>, принимающая значения из <math>Y</math>. Если функция <math>f</math> должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что <math>f</math> — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно.

Если элементу <math>x\in X</math> сопоставлен элемент <math>y\in Y</math>, то тем самым на элементе <math>x</math> задано и правило соответствия <math>f</math> (которое может быть разным для разных элементов). Следовательно, задание соответствия на каждом элементе множества <math>X</math> эквивалентно заданию функции <math>f</math> на этом множестве. Поэтому понятие функции можно сформулировать без понятия правило и необходимости его обозначать:

Говорят, что на множестве <math>X</math> задана функция <math>f</math>, принимающая значения из <math>Y</math>, если₽ каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> поставлен в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math>. Функцию обозначают также записью <math>y=f(x)</math>.

Например, функция, заданная на <math>X</math> таблицей пар элементов <math>x</math> и <math>y</math>, содержит и правило соответствия для каждого элемента из <math>X</math>, поскольку значения функции при переходе от элемента к элементу множества <math>X</math> располагаются по вполне определенному правилу.

Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется как соответствие между элементами множеств посредством правила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначений правила и функции:

Если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math>, то указанное соответствие называется функцией <math>y=f(x)</math>, заданной на множестве <math>X</math> со значениями из <math>Y</math>. Буква <math>f</math> в этом обозначении — индивидуальный знак функции.

Итак, функция <math>y=f(x)</math> (или кратко: функция <math>f(x)</math> или <math>f</math>) представляет собой тройку объектов: <math>X,f,Y</math>, где

• множество <math>X</math> называется о́бластью задания функции;
• множество <math>Y</math> называется о́бластью значе́ний функции;
• <math>f</math> — правило, по которому каждому элементу <math>x\in X</math> сопоставляется некоторый элемент <math>y\in Y</math>. Для правила здесь использовано то же обозначение, что и для функции.

Обозначенный буквой <math>x</math> каждый элемент множества <math>X</math> называется независимой переменной или аргументом функции. Множество <math>X</math> при этом называется областью изменения переменной <math>x</math>.

Элемент <math>y</math>, соответствующий фиксированному элементу <math>x</math> называется частным значением функции в точке <math>x</math>.

Совокупность всех частных значений <math>y</math>, обозначаемая символом <math>\{y\}</math>, называется множеством значений функции.

Теоретико-множественное определение

Понятие множества упорядоченных пар (отношения) позволяет исключить из формулировки понятия функции не только понятие правило, но и понятие соответствие, к которому сводится понятие функции в обычных формулировках предыдущего подраздела.

Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:

Функцией <math>f</math> называется множество упорядоченных пар <math>(x,y)\in X\times Y</math>, таких, что пары существуют для всех элементов множества <math>X</math>, и, если первые элементы пар совпадают, то совпадают и вторые их элементы.

При этом:

• Множество <math>X</math> называется областью задания функции;
• множество <math>Y</math> называется областью значений функции
• множество всех элементов <math>y\in Y</math>, для которых существует пара <math>(x,y)\in f</math>, <math>x\in X</math>, называется множеством значений функции;
• множество упорядоченных пар <math>f\subset X\times Y</math> называется также графиком функции; понятие графика функции и понятие функции как множества упорядоченных пар совпадают. При обычной формулировке понятия функции её графиком называется множество пар <math>(x,f(x))</math>.

Функции <math>f</math> и <math>g</math> называются равными, если их графики совпадают.

Поскольку равенство функций (в любой формулировке понятия функции) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции <math>f_1(x) = x^2 : \R \to \R</math> и <math>f_2(x) = x^2 : \R^{+} \to \R</math>, где <math>\R</math> — множество вещественных чисел, а <math>\R^{+}</math> — множество неотрицательных вещественных чисел, являются разными функциями.

Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, является следующее определение функции:

Функцией <math>f</math> называется любое множество упорядоченных пар <math>(x,y)\in X\times Y</math>.

При этом:

• Множество <math>X</math> называется областью отправления функции. Множество всех элементов <math>x\in X</math>, для которых существует пара <math>(x,y)\in f</math>, называется областью задания функции;

• множество <math>Y</math> называется областью прибытия функции. Множество всех элементов <math>y\in Y</math>, для которых существует пара <math>(x,y)\in f</math>, называется множеством значений функции.

Обозначения функции

Если на множестве <math>X</math> задана функция <math>f</math>, принимающая значения из множества <math>Y</math>, то

• этот факт записывают в виде <math>f \colon X \to Y</math> или <math>X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y</math>;
• множество <math>X</math> — область задания функции <math>f</math> — обозначается символом <math>D(f)</math> или <math>\mathrm{dom}\,f;</math>
• множество <math>Y</math> — область значений функции <math>f</math>;
• множество значений <math>\{y\}</math> функции <math>f</math> обозначается символом <math>E(f)</math> или <math>\mathrm{cod}\,f</math> (<math>\mathrm{ran}\,f</math>).
• Если область значений <math>Y</math> и множество значений <math>E(f)</math> совпадают, то говорят, что <math>f</math> отображает множество <math>X</math> на <math>Y</math>.
• Функция, заданная на множестве <math>X</math>, наиболее часто обозначается как соответствие между элементами <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>:

  <math>y=f(x)</math>, или кратко:<math>f(x)</math> или <math>f</math>;

  <math display="inline">x\mapsto y</math> или <math>x\mapsto f(x) </math>;

• для сокращения числа обозначений знак функции, заданной на множестве <math>X</math>, может обозначаться той же буквой, что и каждое значение функции:

  <math>y=y(x)</math>, <math>z=z(x)</math>;

• функция обозначается и как функция <math>f</math>, которая отображает множество <math>X</math> в <math>Y</math>с обозначением соответствия между элементами <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>:

  <math>f\colon x\mapsto y</math> или <math>f\colon y=f(x)</math>;

• реже используется обозначение функции как соответствие между элементами <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math> без скобок: <math>y=fx</math>, <math>y=f\circ x</math> или <math>y=xf</math>,
• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: <math>y=(f,x)</math> или <math>y=(x,f)</math>;
• также существует и операторное обозначение <math>y=x^f</math>, которое можно встретить в общей алгебре.
• В лямбда-исчислении Чёрча используется обозначение <math>\lambda x.y</math> .

Функции нескольких аргументов

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество <math>X</math> представляет собой декартово произведение множеств <math>X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n</math>, тогда отображение <math>f\colon X\to Y</math>, где <math>Y</math> — множество вещественных чисел, оказывается <math>n</math>-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора <math>x=(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math> называются аргументами (данной <math>n</math>-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

<math>x_i\in X_i</math> где <math>i=\overline{1,n}</math>.

В этом случае запись <math>y=f(x)</math> означает, что <math>y=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math>.

Способы задания функции

Аналитический способ

Функцию, заданную аналитически (например, формулой), обозначают как соответствие в форме равенства записью <math>y=f(x),</math> где <math>x</math> есть переменная, пробегающая область задания функции, а соответствующие значения переменной <math>y</math> (или, что то же самое, значения выражения <math>f(x)</math> ) принадлежат области значений функции. Например, равенство <math>y = x^2</math>, где <math>x</math> пробегает множество вещественных чисел, задает числовую функцию <math>y=f(x).\;</math>

Само по себе равенство <math>y=f(x)</math>, без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, <math>y = x^2 </math> есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если <math>f(x)</math> является другим обозначением переменной <math>y</math>, то <math>f(x) = x^2 </math> также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве <math>f(x) = x^2 </math>слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную <math>x</math>, то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание функция <math>y = x^2 \;</math>(или функция <math>f(x) = x^2 </math>) на множестве задания обозначает именно функцию. Более того, часто функцию <math> x\mapsto f(x)</math> (или <math>y=f(x) \;</math> ) для краткости обозначают как функцию <math>f(x)</math> на множестве задания. Это соглашение является удобным и оправданным.

Функция, как математический объект, представляет собой множество упорядоченных пар — двухместное отношение между двумя множествами такое, что для любого элемента из первого множества пара существует, и для любых пар с не совпадающими вторыми элементами первые элементы также не совпадают. Например: <math>f=\{(a,d),(b,e),(c,g)\} \;</math> есть функция <math>f\colon \{a,b,c\} \to \{d,e,g\} \;</math>. Для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции — степенная, линейная, показательная, логарифмическая и другие) множество упорядоченных пар задаётся с помощью аналитического выражения: <math>f=\{(x,y)\},</math> где <math>y = f(x).</math>

Пример с конечными множествами. Пусть имеется множество <math>X = \{ \;</math>яблоко, самолет, груша, стул<math>\}\;</math> и множество <math>Y = \{ \;</math>человек, паровоз, квадрат<math>\}\;</math>.

Если ввести переменную <math>x</math>, пробегающую множество <math>X</math>, и переменную <math>y</math>, пробегающую множество <math>Y \;</math>, то указанную функцию можно задать аналитически в виде <math>y=f(x) \;</math> с помощью условных выражений. Но удобнее задать функцию <math>f</math>, как множество упорядоченных пар <math>f=\{(x,y)\}</math>: <math>f = \{ \;</math>(яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек)<math>\}\;</math>.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть <math>y = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \;</math> — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1) - мерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Выберем в этом пространстве любой базис (<math>\vec e_y, \vec e_1, \vec e_2, \ldots , \vec e_n \;</math>). Каждому набору аргументов и соответствующему значению функции сопоставим вектор <math>y\, \vec e_y + x_1 \vec e_1 + \ldots + x_n \vec e_n</math>. Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства. Точки (концы векторов) соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность — график функции.

Если число аргументов функции <math>f</math> не больше двух, её график можно изобразить в виде чертежа.

Для функций трёх и более аргументов такое представление не применимо. Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения

Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение <math>f\colon X\to Y</math> и <math>M\subset X</math>.

Отображение <math>g\colon M\to Y</math>, которое принимает на <math>M</math> те же значения, что и функция <math>f</math>, называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции <math>f</math> на множество <math>M</math>.

Сужение функции <math>f</math> на множество <math>M</math> обозначается как <math>f\big|_M</math>.

Если функция <math>g\colon M\to Y</math> такова, что она является сужением для некоторой функции <math>f\colon X\to Y</math>, то функция <math>f</math>, в свою очередь, называется продолжением функции <math>g</math> на множество <math>X</math>.

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент <math>y=f(x)</math>, который сопоставлен элементу <math>x</math>, называется образом элемента (точки) <math>x</math> (при отображении <math>f</math>).

Если взять целиком подмножество <math>A</math> области задания функции <math>f</math>, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества <math>A</math>, а именно подмножество области значений (функции <math>f</math>) вида

<math>f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}</math>,

которое, называется образом множества <math>A</math> при отображении <math>f</math>. Это множество иногда обозначается как <math>f[A]</math> или <math>A^f</math>.

Наоборот, взяв некоторое подмножество <math>B</math> области значений функции <math>f</math>, можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции <math>f</math>, чьи образы попадают в множество <math>B</math>, а именно — множество вида

<math>f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}</math>,

которое называется (полным) прообразом множества <math>B</math> (при отображении <math>f</math>).

В том частном случае, когда множество <math>B</math> состоит из одного элемента, скажем, <math>B=\{y\}</math>, множество <math>f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}</math> имеет более простое обозначение <math>f^{-1}(y)</math>.

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование <math>f\colon X\to X</math>, которое сопоставляет каждой точке <math>x</math> множества <math>X</math> её саму или, что то же самое,

<math>f(x)=x</math> для каждого <math>x\in X</math>, называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: <math>id_X</math> или, проще, <math>id</math> (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — <math>1_X</math>. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве <math>X</math>. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений

Пусть <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to Z</math> — два отображения, таких, что область значений первого отображения является подмножеством области задания второго отображения. Тогда для всякого <math>x\in X</math> однозначно определяется элемент <math>y\in Y</math> такой, что <math>y=f(x)</math>, но для этого самого <math>y</math> однозначно определяется элемент <math>z\in Z</math> такой, что <math>z=g(y)</math>. То есть, для всякого <math>x\in X</math> однозначно определяется элемент <math>z\in Z</math> такой, что <math>z=g(f(x))</math>. Другими словами, задано отображение <math>h</math> такое, что

<math>h(x)=g(f(x))</math> для всякого <math>x\in X</math>.

Это отображение называется композицией отображений <math>f</math> и <math>g</math> и обозначается символом <math>g\circ f</math> (именно в таком порядке!).

Обратное отображение

Если отображение <math>f\colon X\to Y</math> является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то существует отображение <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>, у которого

• область задания (множество <math>Y</math>) совпадает с областью значений отображения <math>f</math> ;
• область значений (множество <math>X</math>) совпадает с областью задания отображения <math>f</math>;
• <math>x=f^{-1}(y)</math> тогда и только тогда, когда <math>y=f(x)</math>.

Отображение <math>f^{-1}</math> называется обратным по отношению к отображению <math>f</math>.

Отображение, у которого существует обратное, называется обратимым.

В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: <math>f^{-1}\circ f=id_X</math> и <math>f\circ f^{-1}=id_Y</math>.

Свойства

Свойства образов и прообразов

Свойства образов

Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества области задания функции <math>f\colon X\to Y</math>. Тогда образы множеств <math>A</math> и <math>B</math>, при отображении <math>f</math>, обладают следующими свойствами:

• <math>f(\varnothing)=\varnothing</math>;
• <math>A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing</math>;
• <math>A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)</math>.

• образ объединения множеств равен объединению образов: <math>f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)</math>;
• образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math>.

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Свойства прообразов

Положим, <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества множества <math>Y</math>.

Прообразы множеств <math>A</math> и <math>B</math>, при отображении <math>f</math>, обладает следующими двумя очевидными свойствами:

• прообраз объединения равен объединению прообразов: <math>f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)</math>;
• прообраз пересечения равен пересечению прообразов <math>f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)</math>.

Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

• образ пересечения равен пересечению образов: <math>f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)</math>.

Поведение функций

Сюръективность

Функция <math>f</math> называется сюръективной (или, коротко, <math>f</math> — сюръекция), если каждому элементу множества <math>Y</math> может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества <math>X</math>. То есть, функция <math>f</math> сюръективна, если образ множества <math>X</math> при отображении совпадает с множеством <math>Y</math>: <math>f(X)=Y</math>.

Такое отображение называется ещё отображением множества <math>X</math> на множество <math>Y</math>.

Другими словами, при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент <math>Y</math> не имел прообраза.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением множества <math>X</math> в множество <math>Y</math>.

Инъективность

Функция <math>f</math> называется инъективной (или, коротко, <math>f</math> — инъекция), если любым двум разным элементам из множества <math>X</math> сопоставляются разные элементы из множества <math>Y</math>. Более формально, функция <math>f</math> инъективна, если для любых двух элементов <math>x_1, x_2\in X</math> таких, что <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, следует, что <math>x_1=x_2</math> .

Другими словами, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов из множества <math>X</math> отображались в один и тот же элемент из <math>Y</math>.

Биективность

Если функция является и сюръективной, и инъективной, то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание

Пусть дана функция <math>f\colon M \subset \R \to \R.</math> Тогда

• функция <math>f</math> называется неубывающей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);</math>

• функция <math>f</math> называется возраста́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);</math>

• функция <math>f</math> называется невозраста́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);</math>

• функция <math>f</math> называется убыва́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).</math>

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Периодичность

Функция <math>f\colon M \to N</math> называется периодической с пери́одом <math>T \not= 0</math> , если выполняется равенство

<math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math>.

Если это равенство не выполнено ни для какого <math>T \in M,\, T \not=0</math> , то функция <math>f</math> называется апериоди́ческой.

Чётность

• Функция <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math> называется нечётной, если справедливо равенство

<math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.</math>

• Функция <math>f</math> называется чётной, если справедливо равенство

<math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math>

Экстремумы функции

Пусть задана функция <math>f\colon X \to \R,</math> и <math>x_0 \in X</math> — внутренняя точка области задания <math>f.</math> Тогда

• <math>x_0</math> называется точкой локального максимума, если существует окрестность <math>M</math> точки <math>x_0</math> такая, что

  <math>\forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) < f(x_0);</math>

• <math>x_0</math> называется точкой локального минимума, если существует окрестность <math>M</math> точки <math>x_0</math> такая, что

  <math>\forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) > f(x_0).</math>

Свойства множеств и функций

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

1. абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
2. множества, которые наделены некоторой структурой.

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

• конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
• счётные множества — множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;
• множества мощности континуума (например, отрезок вещественной прямой или сама вещественная прямая).

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

• конечные функции — отображения конечных множеств;
• последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
• континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае 2, основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура (дополнительные свойства элементов множества) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

• структура порядка — частичный или линейный порядок элементов множества;
• алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле, заданные на элементах множества;
• структура метрического пространства — на элементах множества задаётся функция расстояния;
• структура евклидового пространства — на элементах множества задаётся скалярное произведение;
• структура топологического пространства — на множестве задаётся совокупность «открытых множеств»;
• структура измеримого пространства — на множестве задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)

Функции с конкретным свойством могут не существовать на множествах, не обладающих соответствующей структурой. Например, формулировка свойства непрерывности функции, заданной на множестве, требует задания на этом множестве топологической структуры.

Обобщения

Частично определённые функции

Частично определённая функция <math>f</math> из множества <math> X</math> в множество <math>Y</math> есть функция <math>f\colon X'\to Y</math> с областью задания <math>X'\subset X</math>.

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например, возможна запись <math>f\colon \R\to\R</math>, где <math>f(x)=1/x</math> в этом случае <math>\mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}</math>.

Многозначные функции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые многозначные функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть <math>f\colon X\to \mathbb{B}</math>, где <math>\mathbb{B}</math> — семейство подмножеств множества <math>Y</math>. Тогда <math>f(x)</math> будет множеством для всякого <math>x\in X</math>.

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции.

См. также

• Функциональное уравнение
• Алгоритм
• Уравнение
• Булева функция

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
• А. Н. Колмогоров [kvant.mccme.ru/1970/01/chto_takoe_funkciya.htm «Что такое функция»] // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27—36. — ISSN [www.sigla.ru/table.jsp?f=8&t=3&v0=0130-2221&f=1003&t=1&v1=&f=4&t=2&v2=&f=21&t=3&v3=&f=1016&t=3&v4=&f=1016&t=3&v5=&bf=4&b=&d=0&ys=&ye=&lng=&ft=&mt=&dt=&vol=&pt=&iss=&ps=&pe=&tr=&tro=&cc=UNION&i=1&v=tagged&s=0&ss=0&st=0&i18n=ru&rlf=&psz=20&bs=20&ce=hJfuypee8JzzufeGmImYYIpZKRJeeOeeWGJIZRrRRrdmtdeee88NJJJJpeeefTJ3peKJJ3UWWPtzzzzzzzzzzzzzzzzzbzzvzzpy5zzjzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzztzzzzzzzbzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvzzzzzzyeyTjkDnyHzTuueKZePz9decyzzLzzzL*.c8.NzrGJJvufeeeeeJheeyzjeeeeJh*peeeeKJJJJJJJJJJmjHvOJJJJJJJJJfeeeieeeeSJJJJJSJJJ3TeIJJJJ3..E.UEAcyhxD.eeeeeuzzzLJJJJ5.e8JJJheeeeeeeeeeeeyeeK3JJJJJJJJ*s7defeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeSJJJJJJJJZIJJzzz1..6LJJJJJJtJJZ4....EK*&debug=false 0130-2221].

• Виленкин Н. [kvant.mccme.ru/1977/07/kak_vozniklo_i_razvivalos_pony.htm «Как возникло и развивалось понятие функции»] // «Квант». — М.: «Наука», 1977. — Вып. 7. — С. 41—45. — ISSN [www.sigla.ru/table.jsp?f=8&t=3&v0=0130-2221&f=1003&t=1&v1=&f=4&t=2&v2=&f=21&t=3&v3=&f=1016&t=3&v4=&f=1016&t=3&v5=&bf=4&b=&d=0&ys=&ye=&lng=&ft=&mt=&dt=&vol=&pt=&iss=&ps=&pe=&tr=&tro=&cc=UNION&i=1&v=tagged&s=0&ss=0&st=0&i18n=ru&rlf=&psz=20&bs=20&ce=hJfuypee8JzzufeGmImYYIpZKRJeeOeeWGJIZRrRRrdmtdeee88NJJJJpeeefTJ3peKJJ3UWWPtzzzzzzzzzzzzzzzzzbzzvzzpy5zzjzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzztzzzzzzzbzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvzzzzzzyeyTjkDnyHzTuueKZePz9decyzzLzzzL*.c8.NzrGJJvufeeeeeJheeyzjeeeeJh*peeeeKJJJJJJJJJJmjHvOJJJJJJJJJfeeeieeeeSJJJJJSJJJ3TeIJJJJ3..E.UEAcyhxD.eeeeeuzzzLJJJJ5.e8JJJheeeeeeeeeeeeyeeK3JJJJJJJJ*s7defeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeSJJJJJJJJZIJJzzz1..6LJJJJJJtJJZ4....EK*&debug=false 0130-2221].
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. [www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Functions.html The function concept]. MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (октябрь 2005).

Отрывок, характеризующий Функция (математика)

Соня не могла больше говорить и опять спрятала голову в руках и перине. Наташа начинала успокоиваться, но по лицу ее видно было, что она понимала всю важность горя своего друга.
– Соня! – сказала она вдруг, как будто догадавшись о настоящей причине огорчения кузины. – Верно, Вера с тобой говорила после обеда? Да?
– Да, эти стихи сам Николай написал, а я списала еще другие; она и нашла их у меня на столе и сказала, что и покажет их маменьке, и еще говорила, что я неблагодарная, что маменька никогда не позволит ему жениться на мне, а он женится на Жюли. Ты видишь, как он с ней целый день… Наташа! За что?…
И опять она заплакала горьче прежнего. Наташа приподняла ее, обняла и, улыбаясь сквозь слезы, стала ее успокоивать.
– Соня, ты не верь ей, душенька, не верь. Помнишь, как мы все втроем говорили с Николенькой в диванной; помнишь, после ужина? Ведь мы всё решили, как будет. Я уже не помню как, но, помнишь, как было всё хорошо и всё можно. Вот дяденьки Шиншина брат женат же на двоюродной сестре, а мы ведь троюродные. И Борис говорил, что это очень можно. Ты знаешь, я ему всё сказала. А он такой умный и такой хороший, – говорила Наташа… – Ты, Соня, не плачь, голубчик милый, душенька, Соня. – И она целовала ее, смеясь. – Вера злая, Бог с ней! А всё будет хорошо, и маменьке она не скажет; Николенька сам скажет, и он и не думал об Жюли.
И она целовала ее в голову. Соня приподнялась, и котеночек оживился, глазки заблистали, и он готов был, казалось, вот вот взмахнуть хвостом, вспрыгнуть на мягкие лапки и опять заиграть с клубком, как ему и было прилично.
– Ты думаешь? Право? Ей Богу? – сказала она, быстро оправляя платье и прическу.
– Право, ей Богу! – отвечала Наташа, оправляя своему другу под косой выбившуюся прядь жестких волос.
И они обе засмеялись.
– Ну, пойдем петь «Ключ».
– Пойдем.
– А знаешь, этот толстый Пьер, что против меня сидел, такой смешной! – сказала вдруг Наташа, останавливаясь. – Мне очень весело!
И Наташа побежала по коридору.
Соня, отряхнув пух и спрятав стихи за пазуху, к шейке с выступавшими костями груди, легкими, веселыми шагами, с раскрасневшимся лицом, побежала вслед за Наташей по коридору в диванную. По просьбе гостей молодые люди спели квартет «Ключ», который всем очень понравился; потом Николай спел вновь выученную им песню.
В приятну ночь, при лунном свете,
Представить счастливо себе,
Что некто есть еще на свете,
Кто думает и о тебе!
Что и она, рукой прекрасной,
По арфе золотой бродя,
Своей гармониею страстной
Зовет к себе, зовет тебя!
Еще день, два, и рай настанет…
Но ах! твой друг не доживет!
И он не допел еще последних слов, когда в зале молодежь приготовилась к танцам и на хорах застучали ногами и закашляли музыканты.

Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала:
– Мама велела вас просить танцовать.
– Я боюсь спутать фигуры, – сказал Пьер, – но ежели вы хотите быть моим учителем…
И он подал свою толстую руку, низко опуская ее, тоненькой девочке.
Пока расстанавливались пары и строили музыканты, Пьер сел с своей маленькой дамой. Наташа была совершенно счастлива; она танцовала с большим , с приехавшим из за границы . Она сидела на виду у всех и разговаривала с ним, как большая. У нее в руке был веер, который ей дала подержать одна барышня. И, приняв самую светскую позу (Бог знает, где и когда она этому научилась), она, обмахиваясь веером и улыбаясь через веер, говорила с своим кавалером.
– Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу.
Наташа покраснела и засмеялась.
– Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного?

В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке:
– Семен! Данилу Купора знаешь?
Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза .)
– Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале.
Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина.
– Батюшка то наш! Орел! – проговорила громко няня из одной двери.
Граф танцовал хорошо и знал это, но его дама вовсе не умела и не хотела хорошо танцовать. Ее огромное тело стояло прямо с опущенными вниз мощными руками (она передала ридикюль графине); только одно строгое, но красивое лицо ее танцовало. Что выражалось во всей круглой фигуре графа, у Марьи Дмитриевны выражалось лишь в более и более улыбающемся лице и вздергивающемся носе. Но зато, ежели граф, всё более и более расходясь, пленял зрителей неожиданностью ловких выверток и легких прыжков своих мягких ног, Марья Дмитриевна малейшим усердием при движении плеч или округлении рук в поворотах и притопываньях, производила не меньшее впечатление по заслуге, которую ценил всякий при ее тучности и всегдашней суровости. Пляска оживлялась всё более и более. Визави не могли ни на минуту обратить на себя внимания и даже не старались о том. Всё было занято графом и Марьею Дмитриевной. Наташа дергала за рукава и платье всех присутствовавших, которые и без того не спускали глаз с танцующих, и требовала, чтоб смотрели на папеньку. Граф в промежутках танца тяжело переводил дух, махал и кричал музыкантам, чтоб они играли скорее. Скорее, скорее и скорее, лише, лише и лише развертывался граф, то на цыпочках, то на каблуках, носясь вокруг Марьи Дмитриевны и, наконец, повернув свою даму к ее месту, сделал последнее па, подняв сзади кверху свою мягкую ногу, склонив вспотевшую голову с улыбающимся лицом и округло размахнув правою рукой среди грохота рукоплесканий и хохота, особенно Наташи. Оба танцующие остановились, тяжело переводя дыхание и утираясь батистовыми платками.
– Вот как в наше время танцовывали, ma chere, – сказал граф.
– Ай да Данила Купор! – тяжело и продолжительно выпуская дух и засучивая рукава, сказала Марья Дмитриевна.


В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим.
Великолепная приемная комната была полна. Все почтительно встали, когда главнокомандующий, пробыв около получаса наедине с больным, вышел оттуда, слегка отвечая на поклоны и стараясь как можно скорее пройти мимо устремленных на него взглядов докторов, духовных лиц и родственников. Князь Василий, похудевший и побледневший за эти дни, провожал главнокомандующего и что то несколько раз тихо повторил ему.
Проводив главнокомандующего, князь Василий сел в зале один на стул, закинув высоко ногу на ногу, на коленку упирая локоть и рукою закрыв глаза. Посидев так несколько времени, он встал и непривычно поспешными шагами, оглядываясь кругом испуганными глазами, пошел чрез длинный коридор на заднюю половину дома, к старшей княжне.
Находившиеся в слабо освещенной комнате неровным шопотом говорили между собой и замолкали каждый раз и полными вопроса и ожидания глазами оглядывались на дверь, которая вела в покои умирающего и издавала слабый звук, когда кто нибудь выходил из нее или входил в нее.
– Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши.
– Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.
– Таинство, матушка, великое, – отвечало духовное лицо, проводя рукою по лысине, по которой пролегало несколько прядей зачесанных полуседых волос.
– Это кто же? сам главнокомандующий был? – спрашивали в другом конце комнаты. – Какой моложавый!…
– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
– Tres beau, – говорил доктор, отвечая на вопрос о погоде, – tres beau, princesse, et puis, a Moscou on se croit a la campagne. [прекрасная погода, княжна, и потом Москва так похожа на деревню.]
– N'est ce pas? [Не правда ли?] – сказала княжна, вздыхая. – Так можно ему пить?
Лоррен задумался.
– Он принял лекарство?
– Да.
Доктор посмотрел на брегет.
– Возьмите стакан отварной воды и положите une pincee (он своими тонкими пальцами показал, что значит une pincee) de cremortartari… [щепотку кремортартара…]
– Не пило слушай , – говорил немец доктор адъютанту, – чтопи с третий удар шивь оставался .
– А какой свежий был мужчина! – говорил адъютант. – И кому пойдет это богатство? – прибавил он шопотом.
– Окотник найдутся , – улыбаясь, отвечал немец.
Все опять оглянулись на дверь: она скрипнула, и вторая княжна, сделав питье, показанное Лорреном, понесла его больному. Немец доктор подошел к Лоррену.
– Еще, может, дотянется до завтрашнего утра? – спросил немец, дурно выговаривая по французски.
Лоррен, поджав губы, строго и отрицательно помахал пальцем перед своим носом.
– Сегодня ночью, не позже, – сказал он тихо, с приличною улыбкой самодовольства в том, что ясно умеет понимать и выражать положение больного, и отошел.

Между тем князь Василий отворил дверь в комнату княжны.
В комнате было полутемно; только две лампадки горели перед образами, и хорошо пахло куреньем и цветами. Вся комната была установлена мелкою мебелью шифоньерок, шкапчиков, столиков. Из за ширм виднелись белые покрывала высокой пуховой кровати. Собачка залаяла.
– Ах, это вы, mon cousin?
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
Князь Василий замолчал, и щеки его начинали нервически подергиваться то на одну, то на другую сторону, придавая его лицу неприятное выражение, какое никогда не показывалось на лице князя Василия, когда он бывал в гостиных. Глаза его тоже были не такие, как всегда: то они смотрели нагло шутливо, то испуганно оглядывались.
Княжна, своими сухими, худыми руками придерживая на коленях собачку, внимательно смотрела в глаза князю Василию; но видно было, что она не прервет молчания вопросом, хотя бы ей пришлось молчать до утра.
– Вот видите ли, моя милая княжна и кузина, Катерина Семеновна, – продолжал князь Василий, видимо, не без внутренней борьбы приступая к продолжению своей речи, – в такие минуты, как теперь, обо всём надо подумать. Надо подумать о будущем, о вас… Я вас всех люблю, как своих детей, ты это знаешь.
Княжна так же тускло и неподвижно смотрела на него.
– Наконец, надо подумать и о моем семействе, – сердито отталкивая от себя столик и не глядя на нее, продолжал князь Василий, – ты знаешь, Катишь, что вы, три сестры Мамонтовы, да еще моя жена, мы одни прямые наследники графа. Знаю, знаю, как тебе тяжело говорить и думать о таких вещах. И мне не легче; но, друг мой, мне шестой десяток, надо быть ко всему готовым. Ты знаешь ли, что я послал за Пьером, и что граф, прямо указывая на его портрет, требовал его к себе?
Князь Василий вопросительно посмотрел на княжну, но не мог понять, соображала ли она то, что он ей сказал, или просто смотрела на него…
– Я об одном не перестаю молить Бога, mon cousin, – отвечала она, – чтоб он помиловал его и дал бы его прекрасной душе спокойно покинуть эту…
– Да, это так, – нетерпеливо продолжал князь Василий, потирая лысину и опять с злобой придвигая к себе отодвинутый столик, – но, наконец…наконец дело в том, ты сама знаешь, что прошлою зимой граф написал завещание, по которому он всё имение, помимо прямых наследников и нас, отдавал Пьеру.
– Мало ли он писал завещаний! – спокойно сказала княжна. – Но Пьеру он не мог завещать. Пьер незаконный.
– Ma chere, – сказал вдруг князь Василий, прижав к себе столик, оживившись и начав говорить скорей, – но что, ежели письмо написано государю, и граф просит усыновить Пьера? Понимаешь, по заслугам графа его просьба будет уважена…
Княжна улыбнулась, как улыбаются люди, которые думают что знают дело больше, чем те, с кем разговаривают.
– Я тебе скажу больше, – продолжал князь Василий, хватая ее за руку, – письмо было написано, хотя и не отослано, и государь знал о нем. Вопрос только в том, уничтожено ли оно, или нет. Ежели нет, то как скоро всё кончится , – князь Василий вздохнул, давая этим понять, что он разумел под словами всё кончится , – и вскроют бумаги графа, завещание с письмом будет передано государю, и просьба его, наверно, будет уважена. Пьер, как законный сын, получит всё.
– А наша часть? – спросила княжна, иронически улыбаясь так, как будто всё, но только не это, могло случиться.
– Mais, ma pauvre Catiche, c'est clair, comme le jour. [Но, моя дорогая Катишь, это ясно, как день.] Он один тогда законный наследник всего, а вы не получите ни вот этого. Ты должна знать, моя милая, были ли написаны завещание и письмо, и уничтожены ли они. И ежели почему нибудь они забыты, то ты должна знать, где они, и найти их, потому что…
– Этого только недоставало! – перебила его княжна, сардонически улыбаясь и не изменяя выражения глаз. – Я женщина; по вашему мы все глупы; но я настолько знаю, что незаконный сын не может наследовать… Un batard, [Незаконный,] – прибавила она, полагая этим переводом окончательно показать князю его неосновательность.
– Как ты не понимаешь, наконец, Катишь! Ты так умна: как ты не понимаешь, – ежели граф написал письмо государю, в котором просит его признать сына законным, стало быть, Пьер уж будет не Пьер, а граф Безухой, и тогда он по завещанию получит всё? И ежели завещание с письмом не уничтожены, то тебе, кроме утешения, что ты была добродетельна et tout ce qui s'en suit, [и всего, что отсюда вытекает,] ничего не останется. Это верно.
– Я знаю, что завещание написано; но знаю тоже, что оно недействительно, и вы меня, кажется, считаете за совершенную дуру, mon cousin, – сказала княжна с тем выражением, с которым говорят женщины, полагающие, что они сказали нечто остроумное и оскорбительное.
– Милая ты моя княжна Катерина Семеновна, – нетерпеливо заговорил князь Василий. – Я пришел к тебе не за тем, чтобы пикироваться с тобой, а за тем, чтобы как с родной, хорошею, доброю, истинною родной, поговорить о твоих же интересах. Я тебе говорю десятый раз, что ежели письмо к государю и завещание в пользу Пьера есть в бумагах графа, то ты, моя голубушка, и с сестрами, не наследница. Ежели ты мне не веришь, то поверь людям знающим: я сейчас говорил с Дмитрием Онуфриичем (это был адвокат дома), он то же сказал.
Видимо, что то вдруг изменилось в мыслях княжны; тонкие губы побледнели (глаза остались те же), и голос, в то время как она заговорила, прорывался такими раскатами, каких она, видимо, сама не ожидала.
– Это было бы хорошо, – сказала она. – Я ничего не хотела и не хочу.
Она сбросила свою собачку с колен и оправила складки платья.
– Вот благодарность, вот признательность людям, которые всем пожертвовали для него, – сказала она. – Прекрасно! Очень хорошо! Мне ничего не нужно, князь.
– Да, но ты не одна, у тебя сестры, – ответил князь Василий.
Но княжна не слушала его.
– Да, я это давно знала, но забыла, что, кроме низости, обмана, зависти, интриг, кроме неблагодарности, самой черной неблагодарности, я ничего не могла ожидать в этом доме…
– Знаешь ли ты или не знаешь, где это завещание? – спрашивал князь Василий еще с большим, чем прежде, подергиванием щек.
– Да, я была глупа, я еще верила в людей и любила их и жертвовала собой. А успевают только те, которые подлы и гадки. Я знаю, чьи это интриги.
Княжна хотела встать, но князь удержал ее за руку. Княжна имела вид человека, вдруг разочаровавшегося во всем человеческом роде; она злобно смотрела на своего собеседника.
– Еще есть время, мой друг. Ты помни, Катишь, что всё это сделалось нечаянно, в минуту гнева, болезни, и потом забыто. Наша обязанность, моя милая, исправить его ошибку, облегчить его последние минуты тем, чтобы не допустить его сделать этой несправедливости, не дать ему умереть в мыслях, что он сделал несчастными тех людей…
– Тех людей, которые всем пожертвовали для него, – подхватила княжна, порываясь опять встать, но князь не пустил ее, – чего он никогда не умел ценить. Нет, mon cousin, – прибавила она со вздохом, – я буду помнить, что на этом свете нельзя ждать награды, что на этом свете нет ни чести, ни справедливости. На этом свете надо быть хитрою и злою.
– Ну, voyons, [послушай,] успокойся; я знаю твое прекрасное сердце.
– Нет, у меня злое сердце.
– Я знаю твое сердце, – повторил князь, – ценю твою дружбу и желал бы, чтобы ты была обо мне того же мнения. Успокойся и parlons raison, [поговорим толком,] пока есть время – может, сутки, может, час; расскажи мне всё, что ты знаешь о завещании, и, главное, где оно: ты должна знать. Мы теперь же возьмем его и покажем графу. Он, верно, забыл уже про него и захочет его уничтожить. Ты понимаешь, что мое одно желание – свято исполнить его волю; я затем только и приехал сюда. Я здесь только затем, чтобы помогать ему и вам.
– Теперь я всё поняла. Я знаю, чьи это интриги. Я знаю, – говорила княжна.
– Hе в том дело, моя душа.
– Это ваша protegee, [любимица,] ваша милая княгиня Друбецкая, Анна Михайловна, которую я не желала бы иметь горничной, эту мерзкую, гадкую женщину.
– Ne perdons point de temps. [Не будем терять время.]
– Ax, не говорите! Прошлую зиму она втерлась сюда и такие гадости, такие скверности наговорила графу на всех нас, особенно Sophie, – я повторить не могу, – что граф сделался болен и две недели не хотел нас видеть. В это время, я знаю, что он написал эту гадкую, мерзкую бумагу; но я думала, что эта бумага ничего не значит.
– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!


В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.
– Ah, mon ami, oubliez les torts qu'on a pu avoir envers vous, pensez que c'est votre pere… peut etre a l'agonie. – Она вздохнула. – Je vous ai tout de suite aime comme mon fils. Fiez vous a moi, Pierre. Je n'oublirai pas vos interets. [Забудьте, друг мой, в чем были против вас неправы. Вспомните, что это ваш отец… Может быть, в агонии. Я тотчас полюбила вас, как сына. Доверьтесь мне, Пьер. Я не забуду ваших интересов.]
Пьер ничего не понимал; опять ему еще сильнее показалось, что всё это так должно быть, и он покорно последовал за Анною Михайловной, уже отворявшею дверь.
Дверь выходила в переднюю заднего хода. В углу сидел старик слуга княжен и вязал чулок. Пьер никогда не был на этой половине, даже не предполагал существования таких покоев. Анна Михайловна спросила у обгонявшей их, с графином на подносе, девушки (назвав ее милой и голубушкой) о здоровье княжен и повлекла Пьера дальше по каменному коридору. Из коридора первая дверь налево вела в жилые комнаты княжен. Горничная, с графином, второпях (как и всё делалось второпях в эту минуту в этом доме) не затворила двери, и Пьер с Анною Михайловной, проходя мимо, невольно заглянули в ту комнату, где, разговаривая, сидели близко друг от друга старшая княжна с князем Васильем. Увидав проходящих, князь Василий сделал нетерпеливое движение и откинулся назад; княжна вскочила и отчаянным жестом изо всей силы хлопнула дверью, затворяя ее.
Жест этот был так не похож на всегдашнее спокойствие княжны, страх, выразившийся на лице князя Василья, был так несвойствен его важности, что Пьер, остановившись, вопросительно, через очки, посмотрел на свою руководительницу.
Анна Михайловна не выразила удивления, она только слегка улыбнулась и вздохнула, как будто показывая, что всего этого она ожидала.
– Soyez homme, mon ami, c'est moi qui veillerai a vos interets, [Будьте мужчиною, друг мой, я же стану блюсти за вашими интересами.] – сказала она в ответ на его взгляд и еще скорее пошла по коридору.
Пьер не понимал, в чем дело, и еще меньше, что значило veiller a vos interets, [блюсти ваши интересы,] но он понимал, что всё это так должно быть. Коридором они вышли в полуосвещенную залу, примыкавшую к приемной графа. Это была одна из тех холодных и роскошных комнат, которые знал Пьер с парадного крыльца. Но и в этой комнате, посередине, стояла пустая ванна и была пролита вода по ковру. Навстречу им вышли на цыпочках, не обращая на них внимания, слуга и причетник с кадилом. Они вошли в знакомую Пьеру приемную с двумя итальянскими окнами, выходом в зимний сад, с большим бюстом и во весь рост портретом Екатерины. Все те же люди, почти в тех же положениях, сидели, перешептываясь, в приемной. Все, смолкнув, оглянулись на вошедшую Анну Михайловну, с ее исплаканным, бледным лицом, и на толстого, большого Пьера, который, опустив голову, покорно следовал за нею.
На лице Анны Михайловны выразилось сознание того, что решительная минута наступила; она, с приемами деловой петербургской дамы, вошла в комнату, не отпуская от себя Пьера, еще смелее, чем утром. Она чувствовала, что так как она ведет за собою того, кого желал видеть умирающий, то прием ее был обеспечен. Быстрым взглядом оглядев всех, бывших в комнате, и заметив графова духовника, она, не то что согнувшись, но сделавшись вдруг меньше ростом, мелкою иноходью подплыла к духовнику и почтительно приняла благословение одного, потом другого духовного лица.
– Слава Богу, что успели, – сказала она духовному лицу, – мы все, родные, так боялись. Вот этот молодой человек – сын графа, – прибавила она тише. – Ужасная минута!
Проговорив эти слова, она подошла к доктору.
– Cher docteur, – сказала она ему, – ce jeune homme est le fils du comte… y a t il de l'espoir? [этот молодой человек – сын графа… Есть ли надежда?]
Доктор молча, быстрым движением возвел кверху глаза и плечи. Анна Михайловна точно таким же движением возвела плечи и глаза, почти закрыв их, вздохнула и отошла от доктора к Пьеру. Она особенно почтительно и нежно грустно обратилась к Пьеру.
– Ayez confiance en Sa misericorde, [Доверьтесь Его милосердию,] – сказала она ему, указав ему диванчик, чтобы сесть подождать ее, сама неслышно направилась к двери, на которую все смотрели, и вслед за чуть слышным звуком этой двери скрылась за нею.
Пьер, решившись во всем повиноваться своей руководительнице, направился к диванчику, который она ему указала. Как только Анна Михайловна скрылась, он заметил, что взгляды всех, бывших в комнате, больше чем с любопытством и с участием устремились на него. Он заметил, что все перешептывались, указывая на него глазами, как будто со страхом и даже с подобострастием. Ему оказывали уважение, какого прежде никогда не оказывали: неизвестная ему дама, которая говорила с духовными лицами, встала с своего места и предложила ему сесть, адъютант поднял уроненную Пьером перчатку и подал ему; доктора почтительно замолкли, когда он проходил мимо их, и посторонились, чтобы дать ему место. Пьер хотел сначала сесть на другое место, чтобы не стеснять даму, хотел сам поднять перчатку и обойти докторов, которые вовсе и не стояли на дороге; но он вдруг почувствовал, что это было бы неприлично, он почувствовал, что он в нынешнюю ночь есть лицо, которое обязано совершить какой то страшный и ожидаемый всеми обряд, и что поэтому он должен был принимать от всех услуги. Он принял молча перчатку от адъютанта, сел на место дамы, положив свои большие руки на симметрично выставленные колени, в наивной позе египетской статуи, и решил про себя, что всё это так именно должно быть и что ему в нынешний вечер, для того чтобы не потеряться и не наделать глупостей, не следует действовать по своим соображениям, а надобно предоставить себя вполне на волю тех, которые руководили им.