Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, С.Р. Рао, Б. Рамачандран.

Определение

Пусть есть случайная величина <math>X</math> с распределением <math>\mathbb{P}^X</math>. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

<math>\phi_X(t) = \mathbb{E} \left[e^{itX}\right]</math>.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

<math>\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, \mathbb{P}^X(dx)</math>,

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина <math>X</math> принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве <math>\mathcal{H}</math>, то её характеристическая функция имеет вид:

<math>\phi_{X}(t) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle t, X \rangle }\right],\; \forall t \in \mathcal{H}</math>,

где <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> обозначает скалярное произведение в <math>\mathcal{H}</math>.

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина <math>X</math> дискретна, то есть <math>\mathbb{P}(X = x_k) = p_k,\; k=1,2,\ldots</math>, то

<math>\phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itx_k}\, p_k</math>.

Пример. Пусть <math>X</math> имеет распределение Бернулли. Тогда

<math>\phi_X(t) = e^{it \cdot 1} \cdot p + e^{it \cdot 0} \cdot q = p e^{it} + q</math>.

Если случайная величина <math>X</math> абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность <math>f_X(x)</math>, то

<math>\phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\, f_X(x)\, dx</math>.

Пример. Пусть <math>X \sim U[0,1]</math> имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

<math>\phi_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{itx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{itx}}{it}\right\vert_0^1 = \frac{e^{it}-1}{it}</math>.

Свойства характеристических функций

• Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть <math>X,Y</math> суть две случайные величины, и <math>\phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t</math>. Тогда <math>\mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y</math>. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
• Характеристическая функция всегда ограничена:

<math>|\phi_X(t)| \leq 1,\ \forall t \in \mathbb{R}</math>.

• Характеристическая функция в нуле равна единице:

<math>\phi_X(0) \ = 1</math>.

• Характеристическая функция всегда непрерывна: <math>\phi_X \in C(\mathbb{R})</math>.
• Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

<math>\phi_{aX}(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}</math>.

• Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть <math>X_1,\ldots, X_n</math> суть независимые случайные величины. Обозначим <math>S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i</math>. Тогда

<math>\phi_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \phi_{X_i}(t)</math>.

• Для всех вещественных <math>t</math> верно равенство <math>\phi_X(-t) = \overline \phi_X(t)</math>, где <math>\overline \phi_X(t)</math> означает комплексно сопряжённую с <math>\phi_X(t)</math> функцию.
• Теорема обращения (Леви). Пусть <math>F</math> - функция распределения, а <math>\phi</math> - её характеристическая функция. Если <math>a</math> и <math>b</math> - точки непрерывности <math>F</math>, то

<math>F(b) - F(a) = \frac{1} {2\pi} \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} \frac{e^{-ita} - e^{-itb}} {it}\, \phi(t)\, dt.</math>

Вычисление моментов

Если случайная величина <math>X</math> имеет начальный <math>n</math>-ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную <math>n</math>-ю производную, то есть <math>\phi_X \in C^n(\mathbb{R})</math>, и более того:

<math>i^n \left.\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{d^n}{dt^n}\phi_X(t)\right\vert_{t=0}</math>.

Обратное преобразование Фурье

Пусть дана случайная величина <math>X</math>, чья характеристическая функция равна <math>\phi_X(t) \ </math>. Тогда

• если <math>X</math> дискретна и принимает целые значения, то

<math>\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} e^{-itk}\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb{Z}</math>;

• если <math>X</math> абсолютно непрерывна, и <math>f_X(x)</math> — её плотность, то

<math>f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\, \phi_X(t)\, dt,\; x \in \mathbb{R}</math>.

См. также

• Теорема Леви о непрерывности (метод характеристических функций).
• Прямая и обратная предельная теорема

Литература

• Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.

Отрывок, характеризующий Характеристическая функция случайной величины

– Что за штиль, как он описывает мило! – говорила она, читая описательную часть письма. – И что за душа! Об себе ничего… ничего! О каком то Денисове, а сам, верно, храбрее их всех. Ничего не пишет о своих страданиях. Что за сердце! Как я узнаю его! И как вспомнил всех! Никого не забыл. Я всегда, всегда говорила, еще когда он вот какой был, я всегда говорила…
Более недели готовились, писались брульоны и переписывались набело письма к Николушке от всего дома; под наблюдением графини и заботливостью графа собирались нужные вещицы и деньги для обмундирования и обзаведения вновь произведенного офицера. Анна Михайловна, практическая женщина, сумела устроить себе и своему сыну протекцию в армии даже и для переписки. Она имела случай посылать свои письма к великому князю Константину Павловичу, который командовал гвардией. Ростовы предполагали, что русская гвардия за границей , есть совершенно определительный адрес, и что ежели письмо дойдет до великого князя, командовавшего гвардией, то нет причины, чтобы оно не дошло до Павлоградского полка, который должен быть там же поблизости; и потому решено было отослать письма и деньги через курьера великого князя к Борису, и Борис уже должен был доставить их к Николушке. Письма были от старого графа, от графини, от Пети, от Веры, от Наташи, от Сони и, наконец, 6 000 денег на обмундировку и различные вещи, которые граф посылал сыну.


12 го ноября кутузовская боевая армия, стоявшая лагерем около Ольмюца, готовилась к следующему дню на смотр двух императоров – русского и австрийского. Гвардия, только что подошедшая из России, ночевала в 15 ти верстах от Ольмюца и на другой день прямо на смотр, к 10 ти часам утра, вступала на ольмюцкое поле.
Николай Ростов в этот день получил от Бориса записку, извещавшую его, что Измайловский полк ночует в 15 ти верстах не доходя Ольмюца, и что он ждет его, чтобы передать письмо и деньги. Деньги были особенно нужны Ростову теперь, когда, вернувшись из похода, войска остановились под Ольмюцом, и хорошо снабженные маркитанты и австрийские жиды, предлагая всякого рода соблазны, наполняли лагерь. У павлоградцев шли пиры за пирами, празднования полученных за поход наград и поездки в Ольмюц к вновь прибывшей туда Каролине Венгерке, открывшей там трактир с женской прислугой. Ростов недавно отпраздновал свое вышедшее производство в корнеты, купил Бедуина, лошадь Денисова, и был кругом должен товарищам и маркитантам. Получив записку Бориса, Ростов с товарищем поехал до Ольмюца, там пообедал, выпил бутылку вина и один поехал в гвардейский лагерь отыскивать своего товарища детства. Ростов еще не успел обмундироваться. На нем была затасканная юнкерская куртка с солдатским крестом, такие же, подбитые затертой кожей, рейтузы и офицерская с темляком сабля; лошадь, на которой он ехал, была донская, купленная походом у казака; гусарская измятая шапочка была ухарски надета назад и набок. Подъезжая к лагерю Измайловского полка, он думал о том, как он поразит Бориса и всех его товарищей гвардейцев своим обстреленным боевым гусарским видом.
Гвардия весь поход прошла, как на гуляньи, щеголяя своей чистотой и дисциплиной. Переходы были малые, ранцы везли на подводах, офицерам австрийское начальство готовило на всех переходах прекрасные обеды. Полки вступали и выступали из городов с музыкой, и весь поход (чем гордились гвардейцы), по приказанию великого князя, люди шли в ногу, а офицеры пешком на своих местах. Борис всё время похода шел и стоял с Бергом, теперь уже ротным командиром. Берг, во время похода получив роту, успел своей исполнительностью и аккуратностью заслужить доверие начальства и устроил весьма выгодно свои экономические дела; Борис во время похода сделал много знакомств с людьми, которые могли быть ему полезными, и через рекомендательное письмо, привезенное им от Пьера, познакомился с князем Андреем Болконским, через которого он надеялся получить место в штабе главнокомандующего. Берг и Борис, чисто и аккуратно одетые, отдохнув после последнего дневного перехода, сидели в чистой отведенной им квартире перед круглым столом и играли в шахматы. Берг держал между колен курящуюся трубочку. Борис, с свойственной ему аккуратностью, белыми тонкими руками пирамидкой уставлял шашки, ожидая хода Берга, и глядел на лицо своего партнера, видимо думая об игре, как он и всегда думал только о том, чем он был занят.