Распределение хи-квадрат
Поделись знанием:
{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}</math>|
</center>
Князь Андрей облегчительно вздохнул, улыбнулся и протянул руку.
– Вы? – сказал он. – Как счастливо!
Наташа быстрым, но осторожным движением подвинулась к нему на коленях и, взяв осторожно его руку, нагнулась над ней лицом и стала целовать ее, чуть дотрогиваясь губами.
– Простите! – сказала она шепотом, подняв голову и взглядывая на него. – Простите меня!
– Я вас люблю, – сказал князь Андрей.
– Простите…
– Что простить? – спросил князь Андрей.
– Простите меня за то, что я сделала, – чуть слышным, прерывным шепотом проговорила Наташа и чаще стала, чуть дотрогиваясь губами, целовать руку.
– Я люблю тебя больше, лучше, чем прежде, – сказал князь Андрей, поднимая рукой ее лицо так, чтобы он мог глядеть в ее глаза.
Глаза эти, налитые счастливыми слезами, робко, сострадательно и радостно любовно смотрели на него. Худое и бледное лицо Наташи с распухшими губами было более чем некрасиво, оно было страшно. Но князь Андрей не видел этого лица, он видел сияющие глаза, которые были прекрасны. Сзади их послышался говор.
Петр камердинер, теперь совсем очнувшийся от сна, разбудил доктора. Тимохин, не спавший все время от боли в ноге, давно уже видел все, что делалось, и, старательно закрывая простыней свое неодетое тело, ежился на лавке.
– Это что такое? – сказал доктор, приподнявшись с своего ложа. – Извольте идти, сударыня.
В это же время в дверь стучалась девушка, посланная графиней, хватившейся дочери.
Как сомнамбулка, которую разбудили в середине ее сна, Наташа вышла из комнаты и, вернувшись в свою избу, рыдая упала на свою постель.
С этого дня, во время всего дальнейшего путешествия Ростовых, на всех отдыхах и ночлегах, Наташа не отходила от раненого Болконского, и доктор должен был признаться, что он не ожидал от девицы ни такой твердости, ни такого искусства ходить за раненым.
Как ни страшна казалась для графини мысль, что князь Андрей мог (весьма вероятно, по словам доктора) умереть во время дороги на руках ее дочери, она не могла противиться Наташе. Хотя вследствие теперь установившегося сближения между раненым князем Андреем и Наташей приходило в голову, что в случае выздоровления прежние отношения жениха и невесты будут возобновлены, никто, еще менее Наташа и князь Андрей, не говорил об этом: нерешенный, висящий вопрос жизни или смерти не только над Болконским, но над Россией заслонял все другие предположения.
Пьер проснулся 3 го сентября поздно. Голова его болела, платье, в котором он спал не раздеваясь, тяготило его тело, и на душе было смутное сознание чего то постыдного, совершенного накануне; это постыдное был вчерашний разговор с капитаном Рамбалем.
Часы показывали одиннадцать, но на дворе казалось особенно пасмурно. Пьер встал, протер глаза и, увидав пистолет с вырезным ложем, который Герасим положил опять на письменный стол, Пьер вспомнил то, где он находился и что ему предстояло именно в нынешний день.
«Уж не опоздал ли я? – подумал Пьер. – Нет, вероятно, он сделает свой въезд в Москву не ранее двенадцати». Пьер не позволял себе размышлять о том, что ему предстояло, но торопился поскорее действовать.
Оправив на себе платье, Пьер взял в руки пистолет и сбирался уже идти. Но тут ему в первый раз пришла мысль о том, каким образом, не в руке же, по улице нести ему это оружие. Даже и под широким кафтаном трудно было спрятать большой пистолет. Ни за поясом, ни под мышкой нельзя было поместить его незаметным. Кроме того, пистолет был разряжен, а Пьер не успел зарядить его. «Все равно, кинжал», – сказал себе Пьер, хотя он не раз, обсуживая исполнение своего намерения, решал сам с собою, что главная ошибка студента в 1809 году состояла в том, что он хотел убить Наполеона кинжалом. Но, как будто главная цель Пьера состояла не в том, чтобы исполнить задуманное дело, а в том, чтобы показать самому себе, что не отрекается от своего намерения и делает все для исполнения его, Пьер поспешно взял купленный им у Сухаревой башни вместе с пистолетом тупой зазубренный кинжал в зеленых ножнах и спрятал его под жилет.
(перенаправлено с «Хи-квадрат»)
Плотность вероятности
| |
Функция распределения
| |
| Обозначение | <math>\chi^2(k)</math> или <math>\chi^2_k</math> |
| Параметры | <math>k > 0</math> — число степеней свободы |
| Носитель | <math>x \in [0; +\infty)</math> |
| Плотность вероятности | <math>\frac{(1/2)^{k/2 |
| Функция распределения | {{{cdf}}} |
| Математическое ожидание | {{{mean}}} |
| Медиана | {{{median}}} |
| Мода | {{{mode}}} |
| Дисперсия | {{{variance}}} |
| Коэффициент асимметрии | {{{skewness}}} |
| Коэффициент эксцесса | {{{kurtosis}}} |
| Дифференциальная энтропия | {{{entropy}}} |
| Производящая функция моментов | {{{mgf}}} |
| Характеристическая функция | {{{char}}} |
cdf =<math>\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}</math>|
mean =<math>k</math>|
median =примерно <math>k-2/3</math>|
mode =<math>k-2</math> если <math>k\geq 2</math>|
variance =<math>2\,k</math>|
skewness =<math>\sqrt{8/k}</math>|
kurtosis =<math>12/k</math>|
entropy =<math>\frac{k}{2}\!+\!\ln\left[2\Gamma\left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!\frac{k}{2}\right)\psi\left(\frac{k}{2}\right)</math>
<math>\psi(x) = \Gamma'(x) / \Gamma(x).</math>|
mgf =<math>(1-2\,t)^{-k/2}</math>, если <math>2\,t<1</math>|
char =<math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}</math>
}}
Распределе́ние <math>\chi^2</math> (хи-квадра́т) с <math>k</math> степеня́ми свобо́ды — это распределение суммы квадратов <math>k</math> независимых стандартных нормальных случайных величин.
Содержание
Определение
Пусть <math>z_1, \ldots, z_k</math> — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: <math> z_i \sim N(0,1) </math>. Тогда случайная величина
- <math>x = z_1^2 + \cdots + z_k^2</math>
имеет распределение хи-квадрат с <math>k</math> степенями свободы, то есть <math>x \sim f_{\chi^2(k)}(x)</math>.
Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:
- <math>f_{\chi^2(k)}(x) \equiv \Gamma\!\left({ 2}, {k \over 2}\right) = \frac{(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma\!\left({k \over 2}\right)}\, x^{{k \over 2} - 1}\, e^{-\frac{x}{2}}</math>,
где <math>\Gamma\!\left(2, {k/2}\right)</math> означает гамма-распределение, а <math>\Gamma\!\left({k/2}\right)</math> — гамма-функцию.
Функция распределения имеет следующий вид:
- <math>F_{\chi^2(k)}(x) = \frac{\gamma\left({k \over 2}, {x \over 2}\right)}{\Gamma\left({k \over 2}\right)}</math>,
где <math>\Gamma</math> и <math>\gamma</math> обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.
Свойства распределения хи-квадрат
- Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если <math>Y_1, Y_2</math> независимы, и <math>Y_1 \sim \chi^2(k_1)</math>, а <math>Y_2 \sim \chi^2(k_2)</math>, то
- <math>Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(k_1 + k_2)</math>.
- Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если <math>Y \sim \chi^2(k)</math>, то
- <math>\mathbb{E}[Y] = k</math>,
- <math>\mathrm{D}[Y] = 2k</math>.
- В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины <math>Y \sim \chi^2(k)</math> может быть приближено нормальным <math>Y \approx N( k, 2k )</math>. Более точно
- <math>\frac{Y-k}{\sqrt{2k}} \to N(0,1)</math> по распределению при <math>k \to \infty</math>.
Связь с другими распределениями
- Если <math>X_1 ,\ldots , X_k</math> независимые нормальные случайные величины, то есть: <math>X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, k;\; \mu</math> известно, то случайная величина
- <math>Y = \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2</math>
имеет распределение <math>\chi^2(k)</math>.
- Если <math>k=2</math>, то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:
- <math> \chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(1/2)</math>.
- Если <math>Y_1 \sim \chi^2(k_1)</math> и <math>Y_2 \sim \chi^2(k_2)</math>, то случайная величина
- <math>F = \frac{Y_1/k_1}{Y_2 / k_2}</math>
имеет распределение Фишера со степенями свободы <math>(k_1,k_2)</math>.
Квантили
Квантиль хи-квадрат — это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной, требуемой вероятности.
История
Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году.[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029.
Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.[2]
См. также
Напишите отзыв о статье "Распределение хи-квадрат"
Примечания
- ↑ Karl Pearson. «On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, Series 5 50 (302): 157-175. DOI:10.1080/14786440009463897.
- ↑ William G. Cochran (1952). «[www.jstor.org/stable/2236678 The χ2 Test of Goodness of Fit]». Annals Math. Stat. 23 (3): 315-345.
|
Вероятностные распределения | |
|---|---|---|
| Одномерные | Многомерные | |
| Дискретные: | Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное | Мультиномиальное |
| Абсолютно непрерывные: | Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma | Многомерное нормальное | Копула |
Отрывок, характеризующий Распределение хи-квадрат
«О, как тяжел этот неперестающий бред!» – подумал князь Андрей, стараясь изгнать это лицо из своего воображения. Но лицо это стояло пред ним с силою действительности, и лицо это приближалось. Князь Андрей хотел вернуться к прежнему миру чистой мысли, но он не мог, и бред втягивал его в свою область. Тихий шепчущий голос продолжал свой мерный лепет, что то давило, тянулось, и странное лицо стояло перед ним. Князь Андрей собрал все свои силы, чтобы опомниться; он пошевелился, и вдруг в ушах его зазвенело, в глазах помутилось, и он, как человек, окунувшийся в воду, потерял сознание. Когда он очнулся, Наташа, та самая живая Наташа, которую изо всех людей в мире ему более всего хотелось любить той новой, чистой божеской любовью, которая была теперь открыта ему, стояла перед ним на коленях. Он понял, что это была живая, настоящая Наташа, и не удивился, но тихо обрадовался. Наташа, стоя на коленях, испуганно, но прикованно (она не могла двинуться) глядела на него, удерживая рыдания. Лицо ее было бледно и неподвижно. Только в нижней части его трепетало что то.Князь Андрей облегчительно вздохнул, улыбнулся и протянул руку.
– Вы? – сказал он. – Как счастливо!
Наташа быстрым, но осторожным движением подвинулась к нему на коленях и, взяв осторожно его руку, нагнулась над ней лицом и стала целовать ее, чуть дотрогиваясь губами.
– Простите! – сказала она шепотом, подняв голову и взглядывая на него. – Простите меня!
– Я вас люблю, – сказал князь Андрей.
– Простите…
– Что простить? – спросил князь Андрей.
– Простите меня за то, что я сделала, – чуть слышным, прерывным шепотом проговорила Наташа и чаще стала, чуть дотрогиваясь губами, целовать руку.
– Я люблю тебя больше, лучше, чем прежде, – сказал князь Андрей, поднимая рукой ее лицо так, чтобы он мог глядеть в ее глаза.
Глаза эти, налитые счастливыми слезами, робко, сострадательно и радостно любовно смотрели на него. Худое и бледное лицо Наташи с распухшими губами было более чем некрасиво, оно было страшно. Но князь Андрей не видел этого лица, он видел сияющие глаза, которые были прекрасны. Сзади их послышался говор.
Петр камердинер, теперь совсем очнувшийся от сна, разбудил доктора. Тимохин, не спавший все время от боли в ноге, давно уже видел все, что делалось, и, старательно закрывая простыней свое неодетое тело, ежился на лавке.
– Это что такое? – сказал доктор, приподнявшись с своего ложа. – Извольте идти, сударыня.
В это же время в дверь стучалась девушка, посланная графиней, хватившейся дочери.
Как сомнамбулка, которую разбудили в середине ее сна, Наташа вышла из комнаты и, вернувшись в свою избу, рыдая упала на свою постель.
С этого дня, во время всего дальнейшего путешествия Ростовых, на всех отдыхах и ночлегах, Наташа не отходила от раненого Болконского, и доктор должен был признаться, что он не ожидал от девицы ни такой твердости, ни такого искусства ходить за раненым.
Как ни страшна казалась для графини мысль, что князь Андрей мог (весьма вероятно, по словам доктора) умереть во время дороги на руках ее дочери, она не могла противиться Наташе. Хотя вследствие теперь установившегося сближения между раненым князем Андреем и Наташей приходило в голову, что в случае выздоровления прежние отношения жениха и невесты будут возобновлены, никто, еще менее Наташа и князь Андрей, не говорил об этом: нерешенный, висящий вопрос жизни или смерти не только над Болконским, но над Россией заслонял все другие предположения.
Пьер проснулся 3 го сентября поздно. Голова его болела, платье, в котором он спал не раздеваясь, тяготило его тело, и на душе было смутное сознание чего то постыдного, совершенного накануне; это постыдное был вчерашний разговор с капитаном Рамбалем.
Часы показывали одиннадцать, но на дворе казалось особенно пасмурно. Пьер встал, протер глаза и, увидав пистолет с вырезным ложем, который Герасим положил опять на письменный стол, Пьер вспомнил то, где он находился и что ему предстояло именно в нынешний день.
«Уж не опоздал ли я? – подумал Пьер. – Нет, вероятно, он сделает свой въезд в Москву не ранее двенадцати». Пьер не позволял себе размышлять о том, что ему предстояло, но торопился поскорее действовать.
Оправив на себе платье, Пьер взял в руки пистолет и сбирался уже идти. Но тут ему в первый раз пришла мысль о том, каким образом, не в руке же, по улице нести ему это оружие. Даже и под широким кафтаном трудно было спрятать большой пистолет. Ни за поясом, ни под мышкой нельзя было поместить его незаметным. Кроме того, пистолет был разряжен, а Пьер не успел зарядить его. «Все равно, кинжал», – сказал себе Пьер, хотя он не раз, обсуживая исполнение своего намерения, решал сам с собою, что главная ошибка студента в 1809 году состояла в том, что он хотел убить Наполеона кинжалом. Но, как будто главная цель Пьера состояла не в том, чтобы исполнить задуманное дело, а в том, чтобы показать самому себе, что не отрекается от своего намерения и делает все для исполнения его, Пьер поспешно взял купленный им у Сухаревой башни вместе с пистолетом тупой зазубренный кинжал в зеленых ножнах и спрятал его под жилет.
