Цепь Маркова

Це́пь Ма́ркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Названа в честь А. А. Маркова (старшего).

Цепь Маркова с дискретным временем

Определение

Последовательность дискретных случайных величин <math>\{X_n\}_{n \geqslant 0}</math> называется простой цепью Маркова (с дискретным временем), если

<math>\mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n, X_{n-1} = i_{n-1},\ldots, X_0 = i_0) = \mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n)</math>.

Таким образом, в простейшем случае условное распределение последующего состояния цепи Маркова зависит только от текущего состояния и не зависит от всех предыдущих состояний (в отличие от цепей Маркова высших порядков).

Область значений случайных величин <math>\{X_n\}</math> называется простра́нством состоя́ний цепи, а номер <math>n</math> — номером шага.

Переходная матрица и однородные цепи

Матрица <math>P{(n)}</math>, где

<math>P_{ij}{(n)} \equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = j \mid X_n = i)</math>

называется ма́трицей перехо́дных вероя́тностей на <math>n</math>-м шаге, а вектор <math>\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top}</math>, где

<math>p_i \equiv \mathbb{P}(X_0 = i)</math>

— нача́льным распределе́нием цепи Маркова.

Очевидно, матрица переходных вероятностей является стохастической, то есть

<math>\sum\limits_{j} P_{ij}(n) = 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}</math>.

Цепь Маркова называется одноро́дной, если матрица переходных вероятностей не зависит от номера шага, то есть

<math>P_{ij}{(n)} = P_{ij},\quad \forall n \in \mathbb{N}</math>.

В противном случае цепь Маркова называется неоднородной. В дальнейшем будем предполагать, что имеем дело с однородными цепями Маркова.

Конечномерные распределения и матрица перехода за n шагов

Из свойств условной вероятности и определения однородной цепи Маркова получаем:

<math>\mathbb{P}(X_{n} = i_{n} , \ldots, X_0 = i_0) = P_{i_{n-1},i_n} \cdots P_{i_0,i_1} P_{i_0}</math>,

откуда вытекает специальный случай уравнения Колмогорова — Чепмена:

<math>\mathbb{P}(X_n = i_n \mid X_0 = i_0) = (P^n)_{i_0,i_n}</math>,

то есть матрица переходных вероятностей за <math>n</math> шагов однородной цепи Маркова есть <math>n</math>-я степень матрицы переходных вероятностей за 1 шаг. Наконец,

<math>\mathbb{P}(X_n = i_n) = \left((P^T)^n \mathbf{p}\right)_{i_n}</math>.

Классификация состояний цепи Маркова

• Возвратное состояние;
• Возвратная цепь Маркова;
• Достижимое состояние;
• Неразложимая цепь Маркова;
• Периодическое состояние;
• Периодическая цепь Маркова;
• Поглощающее состояние;
• Эргодическое состояние.

Примеры

• Ветвящийся процесс;
• Случайное блуждание;

Цепь Маркова с непрерывным временем

Определение

Семейство дискретных случайных величин <math>\{X_t\}_{t \geqslant 0}</math> называется цепью Маркова (с непрерывным временем), если

<math>\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_s = x_s,\; 0 < s \leqslant t ) = \mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t)</math>.

Цепь Маркова с непрерывным временем называется однородной, если

<math>\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t) = \mathbb{P}(X_{h} = x_{h} \mid X_0 = x_0)</math>.

Матрица переходных функций и уравнение Колмогорова — Чепмена

Аналогично случаю дискретного времени, конечномерные распределения однородной цепи Маркова с непрерывным временем полностью определены начальным распределением

<math>\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top},\; p_i = \mathbb{P}(X_0 = i),\quad i=1,2,\ldots</math>

и ма́трицей перехо́дных фу́нкций (переходных вероятностей)

<math>\mathbf{P}(h)=(P_{ij}(h)) = \mathbb{P}(X_h = j \mid X_0 = i)</math>.

Матрица переходных вероятностей удовлетворяет уравнению Колмогорова — Чепмена: <math>\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s)</math> или

<math>P_{ij}(t+s)=\sum_k P_{ik}(t)P_{kj}(s).</math>

Матрица интенсивностей и дифференциальные уравнения Колмогорова

По определению, матрица интенсивностей <math>\mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{I}}{h}</math> или, что эквивалентно,

<math>\mathbf{Q}=(q_{ij})=\left(\frac{dP_{ij}(h)}{dh}\right)_{h=0}</math>.

Из уравнения Колмогорова — Чепмена следуют два уравнения:

• Прямое уравнение Колмогорова

  <math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},</math>

• Обратное уравнение Колмогорова

  <math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).</math>

Для обоих уравнений начальным условием выбирается <math>\mathbf{P}(0)=\mathbf{I}</math>. Соответствующее решение <math>\mathbf{P}(t)=\exp(\mathbf{Q}t).</math>

Свойства матриц P и Q

Для любого <math>t>0</math> матрица <math>\mathbf{P}(t)</math> обладает следующими свойствами:

1. Матричные элементы <math>\mathbf{P}(t)</math> неотрицательны: <math>P_{ij}(t) \geqslant 0</math> (неотрицательность вероятностей).
2. Сумма элементов в каждой строке <math>\mathbf{P}(t)</math> равна 1: <math>\sum_j P_{ij}(t) = 1</math> (полная вероятность), то есть матрица <math>\mathbf{P}(t)</math> является стохастической справа (или по строкам).
3. Все собственные числа <math>\lambda</math> матрицы <math>\mathbf{P}(t)</math> не превосходят 1 по абсолютной величине: <math>|\lambda| \leqslant 1</math>. Если <math>|\lambda| = 1</math>, то <math>\lambda = 1</math>.
4. Собственному числу <math>\lambda=1</math> матрицы <math>\mathbf{P}(t)</math> соответствует, как минимум, один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): <math>(p_1^*,\, p_2^*, ...);</math> <math>p_i^* \geqslant 0;</math> <math>\sum_i p_i^*=1;</math> <math>\sum_i p_i^* P_{ij}(t) = p_j^*</math>.
5. Для собственного числа <math>\lambda=1</math> матрицы <math>\mathbf{P}(t)</math> все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Матрица <math>\mathbf{Q}</math> обладает следующими свойствами:

1. Внедиагональные матричные элементы <math>\mathbf{Q}</math> неотрицательны: <math>q_{ij} \geqslant 0 \; i\neq j</math>.
2. Диагональные матричные элементы <math>\mathbf{Q}</math> неположительны: <math>q_{ii} \leqslant 0</math>.
3. Сумма элементов в каждой строке <math>\mathbf{Q}</math> равна 0: <math>\sum_j q_{ij}=0 .</math>
4. Действительная часть всех собственных чисел <math>\mu</math> матрицы <math>\mathbf{Q}</math> неположительна: <math>Re(\mu) \leqslant 0</math>. Если <math>Re(\mu) = 0</math>, то <math>\mu = 0 .</math>
5. Собственному числу <math>\mu=0</math> матрицы <math>\mathbf{Q}</math> соответствует, как минимум, один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): <math>(p_1^*,\, p_2^*, ...);</math> <math>p_i^* \geqslant 0;</math> <math>\sum_i p_i^*=1;</math> <math>\sum_i p_i^* q_{ij}= 0 .</math>
6. Для собственного числа <math>\mu=0</math> матрицы <math>\mathbf{Q}</math> все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Граф переходов, связность и эргодические цепи Маркова

Для цепи Маркова с непрерывным временем строится ориентированный граф переходов (кратко — граф переходов) по следующим правилам:

• Множество вершин графа совпадает со множеством состояний цепи.
• Вершины <math>i,j \, (i\neq j)</math> соединяются ориентированным ребром <math>i \to j </math>, если <math>q_{ij}>0</math> (то есть интенсивность потока из <math>i</math>-го состояния в <math>j</math>-е положительна.

Топологические свойства графа переходов связаны со спектральными свойствами матрицы <math>\mathbf{Q}</math>. В частности, для конечных цепей Маркова верны следующие теоремы:

• Следующие три свойства А, Б, В конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи иногда называют слабо эргодическими):

А. Для любых двух различных вершин графа переходов <math>i,j \, (i\neq j)</math> найдется такая вершина <math>k</math> графа («общий сток»), что существуют ориентированные пути от вершины <math>i</math> к вершине <math>k</math> и от вершины <math>j</math> к вершине <math>k</math>. Замечание: возможен случай <math>k=i</math> или <math>k=j</math>; в этом случае тривиальный (пустой) путь от <math>i</math> к <math>i</math> или от <math>j</math> к <math>j</math> также считается ориентированным путём.

Б. Нулевое собственное число матрицы <math>\mathbf{Q}</math> невырождено.

В. При <math>t \to \infty</math> матрица <math>\mathbf{P}(t)</math> стремится к матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

• Следующие пять свойств А, Б, В, Г, Д конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи называют эргодическими):

А. Граф переходов цепи ориентированно связен.

Б. Нулевое собственное число матрицы <math>\mathbf{Q}</math> невырождено и ему соответствует строго положительный левый собственный вектор (равновесное распределение).

В. Для некоторого <math>t>0</math> матрица <math>\mathbf{P}(t)</math> строго положительна (то есть <math>P_{ij}(t) > 0</math> для всех <math>i, j</math>).

Г. Для всех <math>t>0</math> матрица <math>\mathbf{P}(t)</math> строго положительна.

Д. При <math>t \to \infty</math> матрица <math>\mathbf{P}(t)</math> стремится к строго положительной матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

Примеры

Рассмотрим цепи Маркова с тремя состояниями и с непрерывным временем, соответствующие графам переходов, представленным на рис. В случае (a) отличны от нуля только следующие недиагональные элементы матрицы интенсивностей — <math>q_{12}, \, q_{13}</math>, в случае (b) отличны от нуля только <math>q_{12}, \, q_{31} \, q_{32}</math>, а в случае (c) — <math>q_{12}, \, q_{31} \, q_{23}</math>. Остальные элементы определяются свойствами матрицы <math>\mathbf{Q}</math> (сумма элементов в каждой строке равна 0). В результате для графов (a), (b), (c) матрицы интенсивностей имеют вид: <math>\mathbf{Q}_a=\begin{pmatrix} -(q_{12}+q_{13})& q_{12} & q_{13}\\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix},</math> <math>\mathbf{Q}_b=\begin{pmatrix} -q_{12}& q_{12} & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ q_{31}& q_{32} & -(q_{31}+q_{32}) \end{pmatrix},</math> <math> \mathbf{Q}_c=\begin{pmatrix} -q_{12}& q_{12} & 0 \\ 0& -q_{23} & q_{23} \\ q_{31}& 0& -q_{31} \end{pmatrix},</math>

Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение описывает эволюцию распределения вероятностей в цепи Маркова с непрерывным временем. «Основное уравнение» здесь — не эпитет, а перевод термина англ. Master equation. Для вектора-строки распределения вероятностей <math>\pi</math> основное кинетическое уравнение имеет вид:

<math>\frac{d \pi}{d t} = \pi \mathbf{Q}</math>

и совпадает, по существу, с прямым уравнением Колмогорова. В физической литературе чаще используют векторы-столбцы вероятностей и записывают основное кинетическое уравнение в виде, который явно использует закон сохранения полной вероятности:

<math>\frac{d p_i}{d t} = \sum_{j, \, j \neq i} (T_{ij}p_j - T_{ji}p_i),</math>

где <math>T_{ij}=q_{ji}.</math>

Если для основного кинетического уравнения существует положительное равновесие <math>p_i^* > 0</math>, то его можно записать в форме

<math>\frac{d p_i}{d t} = \sum_{j, \, j \neq i} T_{ij}p_j^*\left(\frac{p_j}{p_j^*} - \frac{p_i}{p_i^*}\right).</math>

Функции Ляпунова для основного кинетического уравнения

Для основного кинетического уравнения существует богатое семейство выпуклых функций Ляпунова — монотонно меняющихся со временем функций распределения вероятностей. Пусть <math>h(x) \, (x>0) </math> — выпуклая функция одного переменного. Для любого положительного распределения вероятностей (<math>p_i > 0</math>) определим функцию Моримото <math>H_h(p)</math>:

<math>H_h(p)=\sum_i p_i^* h\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)</math>.

Производная <math>H_h(p)</math> по времени, если <math>p(t)</math> удовлетворяет основному кинетическому уравнению, есть

<math>\frac{d H_h(p(t))}{dt }=\sum_{i,j \, i \neq j} T_{ij}p_j^* \left[h\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)- h\left(\frac{p_j}{p_j^*}\right) + h'\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)\left(\frac{p_j}{p_j^*}-\frac{p_i}{p_i^*}\right)\right] \leqslant 0 </math>.

Последнее неравенство справедливо из-за выпуклости <math>h(x)</math>.

Примеры функций Моримото <math>H_h(p)</math>

• <math>h(x)= |x-1|</math>, <math>H_h(p)=\sum_i |p_i-p_i^*|</math>;

эта функция — расстояние от текущего распределения вероятностей до равновесного в <math>l_1</math>-норме. Сдвиг по времени является сжатием пространства вероятностных распределений в этой норме. (О свойствах сжатий см. статью Теорема Банаха о неподвижной точке.)

• <math>h(x)= x \ln x</math>, <math>H_h(p)=\sum_i p_i \ln\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)</math>;

эта функция — (минус) энтропия Кульбака (см. Расстояние Кульбака — Лейблера). В физике она соответствует свободной энергии, деленной на <math>kT</math> (где <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — абсолютная температура):

если <math>p_i^*=\exp(\mu_0-U_i/kT)</math> (распределение Больцмана), то

<math>H_h(p)=\sum_i p_i \ln p_i + \sum_i p_i U_i/kT -\mu_0 = (\langle U \rangle - TS)/kT</math>.

• <math>h(x)= -\ln x</math>, <math>H_h(p)=-\sum_i p_i^* \ln\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)</math>;

эта функция — аналог свободной энергии для энтропии Бурга, широко используемой в обработке сигналов:

<math>S_{\rm Burg}=\sum_i \ln p_i</math>

• <math>h(x)= \frac{(x-1)^2}{2}</math>, <math>H_h(p)=\sum_i \frac{(p_i-p_i^*)^2}{2p_i^*}</math>;

это квадратичное приближение для (минус) энтропии Кульбака вблизи точки равновесия. С точностью до постоянного во времени слагаемого эта функция совпадает с (минус) энтропией Фишера, которую даёт следующий выбор,

• <math>h(x)= \frac{x^2}{2}</math>, <math>H_h(p)=\sum_i \frac{p_i^2}{2p_i^*}</math>;

это (минус) энтропия Фишера.

• <math>h(x)= \frac{x^q - 1}{q-1}, \, q>0, \, q\neq 1</math>, <math>H_h(p)=\frac{1}{q-1}\left[\sum_i p_i^* \left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)^q - 1\right]</math>;

это один из аналогов свободной энергии для энтропии Тсаллиса. Энтропия Тсаллиса (Tsallis entropy)

<math>S_{q {\rm Tsallis}}(p) = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_i p^q_i \right).</math>

служит основой для статистической физики неэкстенсивных величин. При <math>q \to 1</math> она стремится к классической энтропии Больцмана — Гиббса — Шеннона, а соответствующая функция Моримото — к (минус) энтропии Кульбака.

Практическое применение

Одной из первых научных дисциплин, в которой цепи Маркова нашли практическое применение стала лингвистика, в частности, текстология. Сам Марков для иллюстрации своих результатов исследовал зависимость в чередовании гласных и согласных в первых главах «Евгения Онегина» и «Детских годов Багрова-внука».

Литература

• Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. [www.statslab.cam.ac.uk/~yms/KS2.pdf Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. ІІ: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения]. М.: МЦНМО, 2009. — 295 с.: ил.
• Марков А. А., Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.
• Kemeny J. G., Snell J. L., Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.)
• Чжун Кай-лай, Однородные цепи Маркова. Перев. с англ. — М.: Мир, 1964. — 425 с.
• Нуммелин Э., Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. — М.: Мир, 1989. — 207 с.
• Morimoto T., Markov processes and the H-theorem. — J. Phys. Soc. Jap. 12 (1963), 328—331.
• Яглом А. М., Яглом И. М., [ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/yaglom/verojatnost.htm Вероятность и информация]. — М., Наука, 1973. — 512 с.
• Kullback S., Information theory and statistics. — Wiley, New York, 1959.
• Burg J.P., The Relationship Between Maximum Entropy Spectra and Maximum Likelihood Spectra, Geophysics 37(2) (1972), 375—376.
• Tsallis C., Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. J. Stat. Phys. 52 (1988), 479—487.
• Рудой Ю. Г., [mi.mathnet.ru/tmf178 Обобщенная информационная энтропия и неканоническое распределение в равновесной статистической механике], ТМФ, 135:1 (2003), 3-54.
• Gorban, Alexander N.; Gorban, Pavel A.; Judge, George. . [www.mdpi.com/1099-4300/12/5/1145/ Entropy: The Markov Ordering Approach]. [www.mdpi.com/journal/entropy Entropy] 12, no. 5 (2010), 1145-1193.

Ссылки

• SolidMinus. [habrahabr.ru/post/302392/ Разработка класса для работы с цепями Маркова] (С++). Хабрахабр (1 июня 2016). Проверено 18 августа 2016.

</center>

Отрывок, характеризующий Цепь Маркова

– Как бы хорошо! – И, взяв ее руку, он поцеловал ее.
Наташа была счастлива и взволнована; и тотчас же она вспомнила, что этого нельзя, что ему нужно спокойствие.
– Однако вы не спали, – сказала она, подавляя свою радость. – Постарайтесь заснуть… пожалуйста.
Он выпустил, пожав ее, ее руку, она перешла к свече и опять села в прежнее положение. Два раза она оглянулась на него, глаза его светились ей навстречу. Она задала себе урок на чулке и сказала себе, что до тех пор она не оглянется, пока не кончит его.
Действительно, скоро после этого он закрыл глаза и заснул. Он спал недолго и вдруг в холодном поту тревожно проснулся.
Засыпая, он думал все о том же, о чем он думал все ото время, – о жизни и смерти. И больше о смерти. Он чувствовал себя ближе к ней.
«Любовь? Что такое любовь? – думал он. – Любовь мешает смерти. Любовь есть жизнь. Все, все, что я понимаю, я понимаю только потому, что люблю. Все есть, все существует только потому, что я люблю. Все связано одною ею. Любовь есть бог, и умереть – значит мне, частице любви, вернуться к общему и вечному источнику». Мысли эти показались ему утешительны. Но это были только мысли. Чего то недоставало в них, что то было односторонне личное, умственное – не было очевидности. И было то же беспокойство и неясность. Он заснул.
Он видел во сне, что он лежит в той же комнате, в которой он лежал в действительности, но что он не ранен, а здоров. Много разных лиц, ничтожных, равнодушных, являются перед князем Андреем. Он говорит с ними, спорит о чем то ненужном. Они сбираются ехать куда то. Князь Андрей смутно припоминает, что все это ничтожно и что у него есть другие, важнейшие заботы, но продолжает говорить, удивляя их, какие то пустые, остроумные слова. Понемногу, незаметно все эти лица начинают исчезать, и все заменяется одним вопросом о затворенной двери. Он встает и идет к двери, чтобы задвинуть задвижку и запереть ее. Оттого, что он успеет или не успеет запереть ее, зависит все. Он идет, спешит, ноги его не двигаются, и он знает, что не успеет запереть дверь, но все таки болезненно напрягает все свои силы. И мучительный страх охватывает его. И этот страх есть страх смерти: за дверью стоит оно. Но в то же время как он бессильно неловко подползает к двери, это что то ужасное, с другой стороны уже, надавливая, ломится в нее. Что то не человеческое – смерть – ломится в дверь, и надо удержать ее. Он ухватывается за дверь, напрягает последние усилия – запереть уже нельзя – хоть удержать ее; но силы его слабы, неловки, и, надавливаемая ужасным, дверь отворяется и опять затворяется.
Еще раз оно надавило оттуда. Последние, сверхъестественные усилия тщетны, и обе половинки отворились беззвучно. Оно вошло, и оно есть смерть. И князь Андрей умер.
Но в то же мгновение, как он умер, князь Андрей вспомнил, что он спит, и в то же мгновение, как он умер, он, сделав над собою усилие, проснулся.
«Да, это была смерть. Я умер – я проснулся. Да, смерть – пробуждение!» – вдруг просветлело в его душе, и завеса, скрывавшая до сих пор неведомое, была приподнята перед его душевным взором. Он почувствовал как бы освобождение прежде связанной в нем силы и ту странную легкость, которая с тех пор не оставляла его.
Когда он, очнувшись в холодном поту, зашевелился на диване, Наташа подошла к нему и спросила, что с ним. Он не ответил ей и, не понимая ее, посмотрел на нее странным взглядом.
Это то было то, что случилось с ним за два дня до приезда княжны Марьи. С этого же дня, как говорил доктор, изнурительная лихорадка приняла дурной характер, но Наташа не интересовалась тем, что говорил доктор: она видела эти страшные, более для нее несомненные, нравственные признаки.
С этого дня началось для князя Андрея вместе с пробуждением от сна – пробуждение от жизни. И относительно продолжительности жизни оно не казалось ему более медленно, чем пробуждение от сна относительно продолжительности сновидения.

Ничего не было страшного и резкого в этом, относительно медленном, пробуждении.
Последние дни и часы его прошли обыкновенно и просто. И княжна Марья и Наташа, не отходившие от него, чувствовали это. Они не плакали, не содрогались и последнее время, сами чувствуя это, ходили уже не за ним (его уже не было, он ушел от них), а за самым близким воспоминанием о нем – за его телом. Чувства обеих были так сильны, что на них не действовала внешняя, страшная сторона смерти, и они не находили нужным растравлять свое горе. Они не плакали ни при нем, ни без него, но и никогда не говорили про него между собой. Они чувствовали, что не могли выразить словами того, что они понимали.
Они обе видели, как он глубже и глубже, медленно и спокойно, опускался от них куда то туда, и обе знали, что это так должно быть и что это хорошо.
Его исповедовали, причастили; все приходили к нему прощаться. Когда ему привели сына, он приложил к нему свои губы и отвернулся, не потому, чтобы ему было тяжело или жалко (княжна Марья и Наташа понимали это), но только потому, что он полагал, что это все, что от него требовали; но когда ему сказали, чтобы он благословил его, он исполнил требуемое и оглянулся, как будто спрашивая, не нужно ли еще что нибудь сделать.
Когда происходили последние содрогания тела, оставляемого духом, княжна Марья и Наташа были тут.
– Кончилось?! – сказала княжна Марья, после того как тело его уже несколько минут неподвижно, холодея, лежало перед ними. Наташа подошла, взглянула в мертвые глаза и поспешила закрыть их. Она закрыла их и не поцеловала их, а приложилась к тому, что было ближайшим воспоминанием о нем.
«Куда он ушел? Где он теперь?..»

Когда одетое, обмытое тело лежало в гробу на столе, все подходили к нему прощаться, и все плакали.
Николушка плакал от страдальческого недоумения, разрывавшего его сердце. Графиня и Соня плакали от жалости к Наташе и о том, что его нет больше. Старый граф плакал о том, что скоро, он чувствовал, и ему предстояло сделать тот же страшный шаг.
Наташа и княжна Марья плакали тоже теперь, но они плакали не от своего личного горя; они плакали от благоговейного умиления, охватившего их души перед сознанием простого и торжественного таинства смерти, совершившегося перед ними.



Для человеческого ума недоступна совокупность причин явлений. Но потребность отыскивать причины вложена в душу человека. И человеческий ум, не вникнувши в бесчисленность и сложность условий явлений, из которых каждое отдельно может представляться причиною, хватается за первое, самое понятное сближение и говорит: вот причина. В исторических событиях (где предметом наблюдения суть действия людей) самым первобытным сближением представляется воля богов, потом воля тех людей, которые стоят на самом видном историческом месте, – исторических героев. Но стоит только вникнуть в сущность каждого исторического события, то есть в деятельность всей массы людей, участвовавших в событии, чтобы убедиться, что воля исторического героя не только не руководит действиями масс, но сама постоянно руководима. Казалось бы, все равно понимать значение исторического события так или иначе. Но между человеком, который говорит, что народы Запада пошли на Восток, потому что Наполеон захотел этого, и человеком, который говорит, что это совершилось, потому что должно было совершиться, существует то же различие, которое существовало между людьми, утверждавшими, что земля стоит твердо и планеты движутся вокруг нее, и теми, которые говорили, что они не знают, на чем держится земля, но знают, что есть законы, управляющие движением и ее, и других планет. Причин исторического события – нет и не может быть, кроме единственной причины всех причин. Но есть законы, управляющие событиями, отчасти неизвестные, отчасти нащупываемые нами. Открытие этих законов возможно только тогда, когда мы вполне отрешимся от отыскиванья причин в воле одного человека, точно так же, как открытие законов движения планет стало возможно только тогда, когда люди отрешились от представления утвержденности земли.

После Бородинского сражения, занятия неприятелем Москвы и сожжения ее, важнейшим эпизодом войны 1812 года историки признают движение русской армии с Рязанской на Калужскую дорогу и к Тарутинскому лагерю – так называемый фланговый марш за Красной Пахрой. Историки приписывают славу этого гениального подвига различным лицам и спорят о том, кому, собственно, она принадлежит. Даже иностранные, даже французские историки признают гениальность русских полководцев, говоря об этом фланговом марше. Но почему военные писатели, а за ними и все, полагают, что этот фланговый марш есть весьма глубокомысленное изобретение какого нибудь одного лица, спасшее Россию и погубившее Наполеона, – весьма трудно понять. Во первых, трудно понять, в чем состоит глубокомыслие и гениальность этого движения; ибо для того, чтобы догадаться, что самое лучшее положение армии (когда ее не атакуют) находиться там, где больше продовольствия, – не нужно большого умственного напряжения. И каждый, даже глупый тринадцатилетний мальчик, без труда мог догадаться, что в 1812 году самое выгодное положение армии, после отступления от Москвы, было на Калужской дороге. Итак, нельзя понять, во первых, какими умозаключениями доходят историки до того, чтобы видеть что то глубокомысленное в этом маневре. Во вторых, еще труднее понять, в чем именно историки видят спасительность этого маневра для русских и пагубность его для французов; ибо фланговый марш этот, при других, предшествующих, сопутствовавших и последовавших обстоятельствах, мог быть пагубным для русского и спасительным для французского войска. Если с того времени, как совершилось это движение, положение русского войска стало улучшаться, то из этого никак не следует, чтобы это движение было тому причиною.
Этот фланговый марш не только не мог бы принести какие нибудь выгоды, но мог бы погубить русскую армию, ежели бы при том не было совпадения других условий. Что бы было, если бы не сгорела Москва? Если бы Мюрат не потерял из виду русских? Если бы Наполеон не находился в бездействии? Если бы под Красной Пахрой русская армия, по совету Бенигсена и Барклая, дала бы сражение? Что бы было, если бы французы атаковали русских, когда они шли за Пахрой? Что бы было, если бы впоследствии Наполеон, подойдя к Тарутину, атаковал бы русских хотя бы с одной десятой долей той энергии, с которой он атаковал в Смоленске? Что бы было, если бы французы пошли на Петербург?.. При всех этих предположениях спасительность флангового марша могла перейти в пагубность.
В третьих, и самое непонятное, состоит в том, что люди, изучающие историю, умышленно не хотят видеть того, что фланговый марш нельзя приписывать никакому одному человеку, что никто никогда его не предвидел, что маневр этот, точно так же как и отступление в Филях, в настоящем никогда никому не представлялся в его цельности, а шаг за шагом, событие за событием, мгновение за мгновением вытекал из бесчисленного количества самых разнообразных условий, и только тогда представился во всей своей цельности, когда он совершился и стал прошедшим.
На совете в Филях у русского начальства преобладающею мыслью было само собой разумевшееся отступление по прямому направлению назад, то есть по Нижегородской дороге. Доказательствами тому служит то, что большинство голосов на совете было подано в этом смысле, и, главное, известный разговор после совета главнокомандующего с Ланским, заведовавшим провиантскою частью. Ланской донес главнокомандующему, что продовольствие для армии собрано преимущественно по Оке, в Тульской и Калужской губерниях и что в случае отступления на Нижний запасы провианта будут отделены от армии большою рекою Окой, через которую перевоз в первозимье бывает невозможен. Это был первый признак необходимости уклонения от прежде представлявшегося самым естественным прямого направления на Нижний. Армия подержалась южнее, по Рязанской дороге, и ближе к запасам. Впоследствии бездействие французов, потерявших даже из виду русскую армию, заботы о защите Тульского завода и, главное, выгоды приближения к своим запасам заставили армию отклониться еще южнее, на Тульскую дорогу. Перейдя отчаянным движением за Пахрой на Тульскую дорогу, военачальники русской армии думали оставаться у Подольска, и не было мысли о Тарутинской позиции; но бесчисленное количество обстоятельств и появление опять французских войск, прежде потерявших из виду русских, и проекты сражения, и, главное, обилие провианта в Калуге заставили нашу армию еще более отклониться к югу и перейти в середину путей своего продовольствия, с Тульской на Калужскую дорогу, к Тарутину. Точно так же, как нельзя отвечать на тот вопрос, когда оставлена была Москва, нельзя отвечать и на то, когда именно и кем решено было перейти к Тарутину. Только тогда, когда войска пришли уже к Тарутину вследствие бесчисленных дифференциальных сил, тогда только стали люди уверять себя, что они этого хотели и давно предвидели.


Знаменитый фланговый марш состоял только в том, что русское войско, отступая все прямо назад по обратному направлению наступления, после того как наступление французов прекратилось, отклонилось от принятого сначала прямого направления и, не видя за собой преследования, естественно подалось в ту сторону, куда его влекло обилие продовольствия.
Если бы представить себе не гениальных полководцев во главе русской армии, но просто одну армию без начальников, то и эта армия не могла бы сделать ничего другого, кроме обратного движения к Москве, описывая дугу с той стороны, с которой было больше продовольствия и край был обильнее.
Передвижение это с Нижегородской на Рязанскую, Тульскую и Калужскую дороги было до такой степени естественно, что в этом самом направлении отбегали мародеры русской армии и что в этом самом направлении требовалось из Петербурга, чтобы Кутузов перевел свою армию. В Тарутине Кутузов получил почти выговор от государя за то, что он отвел армию на Рязанскую дорогу, и ему указывалось то самое положение против Калуги, в котором он уже находился в то время, как получил письмо государя.