Циклоида

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса <math>r</math>, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса <math>r</math>.

• Циклоида описывается параметрически

  <math>x = rt - r \sin t</math>,

  <math>y = r - r \cos t</math>.

• Уравнение в декартовых координатах:

  <math>x=r \arccos \frac {r-y}{r} - \sqrt{2ry-y^2}</math>

• Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

  <math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.</math>

Свойства

• Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом <math>2\pi r</math>. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида <math>t=2\pi k</math>, где <math>k</math> — произвольное целое число.
• Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• Длина арки циклоиды равна <math>8r</math>. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды. Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.
• Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен <math>4r \sin\frac{t}{2}</math>.
• «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
  • Два последних свойства факта были использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Исторический очерк

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель (фр. Charles de Bovelles, 1479—1566) в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от <math>x, y</math>, циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

Литература

• Берман Г. Н. [ilib.mccme.ru/djvu/geometry/cicloida.htm Циклоида.] М., Наука, 1980, 112 с.
• Гиндикин С. Г. [www.mccme.ru/free-books/gindikin/index.html Рассказы о физиках и математиках]. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9.
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
• Маркушевич А. И. [ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые], [ilib.mccme.ru/plm/ Популярные лекции по математике], выпуск 4, Наука 1978 г., стр. 32.

Ссылки

• [physics.nad.ru/curves.html Циклоидальные кривые] (Анимация).

См. также

• Гипоциклоида
• Эпициклоида
• Трохоида
• Циклоидальная кривая