Циссоида

В геометрии циссоида — это кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L такая, что OP = P₁P₂ (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P₂ от P₁). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP₁ + OP₂. Это определение эквивалентно приведённому, если C₁ заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P₁ и P₂. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».

Уравнения

Если C₁ и C₂ заданы в полярных координатах функциями <math>r=f_1(\theta)</math> и <math>r=f_2(\theta)</math> соответственно, то уравнение <math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta)</math> задаёт циссоиду C₁ и C₂ относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C₁ можно задать как

<math>r=-f_1(\theta+\pi),\ r=-f_1(\theta-\pi),\ r=f_1(\theta+2\pi),\ r=f_1(\theta-2\pi),\ \dots</math>.

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

<math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta+\pi),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta-\pi),\ </math>

<math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta+2\pi),\ r=f_2(\theta)-f_1(\theta-2\pi),\ \dots</math>.

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C₁ и C₂ — это эллипсы

<math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}</math>.

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

<math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}-\frac{1}{2-\cos \theta}=0</math>,

то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

<math>r=\frac{-1}{2+\cos \theta}</math>,

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:<math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}+\frac{1}{2+\cos \theta}</math>, и эта кривая имеет форму овала.

Если C₁ и C₂ заданы параметрическими уравнениями

<math>x = f_1(p),\ y = px</math>

и

<math>x = f_2(p),\ y = px</math>,

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:<math>x = f_2(p)-f_1(p),\ y = px</math>.

Специальные случаи

Если C₁ является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C₂.

Если C₁ и C₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

<math>r=\frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha_1)}</math>

и

<math>r=\frac{a_2}{\cos (\theta-\alpha_2)}</math>.

Мы можем повернуть на угол <math>(\alpha_1-\alpha2)/2</math> так, что можем предположить, что <math>\alpha_1 = \alpha,\ \alpha_2 = -\alpha</math>. Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

<math>r=\frac{a_2}{\cos (\theta+\alpha)} - \frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha)}</math>

<math>=\frac{a_2\cos (\theta-\alpha)-a_1\cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha)\cos (\theta-\alpha)}</math>

<math>=\frac{(a_2\cos\alpha-a_1\cos\alpha)\cos\theta-(a_2\sin\alpha+a_1\sin\alpha)\sin\theta}

{\cos^2\alpha\ \cos^2\theta-\sin^2\alpha\ \sin^2\theta}</math>. Обозначив константные выражения, получим

<math>r=\frac{b\cos\theta+c\sin\theta}{\cos^2\theta-m^2\sin^2\theta}</math>

что в декартовых координатах превращается в

<math>x^2-m^2y^2=bx+cy</math>.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

• Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

<math>2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)</math>

является циссоидой окружности <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> и прямой <math>x={-{a \over 2}}</math> относительно начала координат.

• Правая строфоида

<math>y^2(a+x) = x^2(a-x)</math>

является циссоидой окружности <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> и прямой <math>x=-a</math> относительно начала координат.

• Циссоида Диокла

<math>x(x^2+y^2)+2ay^2=0</math>

является циссоидой окружности <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> и прямой <math>x=-2a</math> относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

• Циссоида окружности <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> и прямой <math>x=ka</math>, где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

• Декартов лист

<math>x^3+y^3=3axy</math>

является циссоидой эллипса <math>x^2-xy+y^2 = -a(x+y)</math> и прямой <math>x+y=-a</math> относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

<math>x=-\frac{a}{1+p},\ y=px</math>,

а эллипс можно задать как

<math>x=-\frac{a(1+p)}{1-p+p^2},\ y=px</math>.

Так что циссоида задаётся уравнением

<math>x=-\frac{a}{1+p}+\frac{a(1+p)}{1-p+p^2} = \frac{3ap}{1+p^3},\ y=px</math>

и это уравнение является параметрической форой листа.

Смотрите также

• Конхоида
• Строфоида

Литература

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53—56. — ISBN 0-486-60288-5.
• Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Cissoid.html Cissoid] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [projecteuclid.org/euclid.bams/1183486856 C. A. Nelson "Note on rational plane cubics" Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76.]
• [2dcurves.com/derived/cissoid.html 2D Curves]
• [mathcurve.com/courbes2d/cissoidale/cissoidale.shtml "Courbe Cissoïdale" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (на французском)
• [mathcurve.com/courbes2d/cissoidaledezahradnik/cissoidaledezahradnik.shtml "Cissoïdales de Zahradnik" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (на французском)