Волновой пакет

Волновой пакет (цуг волн)— определённая совокупность волн, обладающих разными частотами, которые описывают обладающую волновыми свойствами формацию, в общем случае ограниченную во времени и пространстве. Так, в квантовой механике описание частицы в виде волновых пакетов способствовало принятию статистической интерпретации квадрата модуля волновой функции.

Произвольная отдельная волна <math>\psi(\mathbf{r},t)</math> как функция радиус-вектора <math>\mathbf{r}</math> и времени <math>t</math> описывается выражением

<math>{{\psi}({\mathbf{r}},t)}={A}~{\exp{(-i({\omega}t-{\mathbf{k}}{\mathbf{r}}))}}={A}~{\exp{\frac{-i(Et-{\mathbf{p}}{\mathbf{r}})}{\hbar}}}</math>

где <math>i</math> — мнимая единица, <math>E</math> — энергия, переносимая волной, <math>\hbar</math> — приведённая постоянная Планка, <math>p</math> — импульс, переносимый волной, <math>\omega</math> — её «круговая» частота (обычная частота, умноженная на <math>2\pi</math>), <math>k</math> — волновое число (определяемое как <math>k={\frac{2{\pi}}{\lambda}}={\frac{p}Шаблон:\hbar}</math>; здесь <math>c~-</math> скорость света).

Для волнового описания отдельной частицы, обладающей массой покоя, необходимо просуммировать некоторое количество волн, обладающих близкими частотами,— и в таком случае волновая функция <math>\psi(r,t)</math> будет заметно отлична от нуля лишь в некоторой, сравнительно небольшой области пространства. Получится волновой пакет.

Образуем волновой пакет из суперпозиции (набора) плоских волн, для которых волновое число <math>k</math> изменяется от <math>k_0-\frac{\Delta k}{2}</math> до <math>k_0+\frac{\Delta k}{2}</math> (для простоты предположим, что на имеющем основное значение интервале амплитуды остаются постоянными и равными <math>\frac{A}{\Delta k}</math>):

<math>\psi(r,t)=\frac{A}{\Delta k} \int\limits_{k_0-\frac{\Delta k}{2}}^{k_0+\frac{\Delta k}{2}} \exp\big(-i(\omega t-kr)\big)\,dk=\sum J_n \psi_n</math>

где теперь <math>\psi(r,t)</math> обозначает результирующую волновую функцию, а величины <math>J_n</math> обозначают вклады волн <math>\psi_n</math>, из которых образован пакет, в результирующую волну, причем <math>\sum J_n^2=1</math>.

Групповая скорость

Групповая скорость — это кинематическая характеристика диспергирующей волновой среды, обычно интерпретируемая, как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей узкого квазимонохроматического волнового пакета.

Разложим частоту <math>\omega</math> в ряд Тейлора как функцию от <math>k</math>:

<math>\omega(k)=\omega_0+(k-k_0)\omega_0'+\frac{(k-k_0)^2}{2}\omega_0+\dots</math>

После этого, ограничившись лишь членами первого порядка малости относительно <math>\Delta k=k-k_0</math>, найдём:

<math>\omega(k) = \omega_0+(k-k_0)\omega_0'+\dots = \omega_0+\omega_1+\dots</math>

Опять-таки учитывая лишь члены первого порядка малости, после интегрирования по <math>dk</math>, получим:

<math>\psi(r,t)=B\exp\big(-i(\omega_0 t-k_0 r)\big)</math>,

и результирующая амплитуда волнового пакета <math>B</math> будет равна

<math>B = A \frac{\sin \xi}{\xi} \,\qquad \xi=\frac{\Delta k}{2}\ (r-\omega_0' t)</math>

Отсюда следует, что амплитуда <math>B</math> не остается постоянной ни в пространстве, ни во времени. Также видно, что пространственное распределение волнового пакета подчиняется аналогичному закону <math>a\frac{\sin(bx)}{cx}</math>, где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — некоторые величины, в общем случае переменные и зависящие от расстояния <math>x</math> до точки главного максимума и от времени.

Чтобы определить групповую скорость <math>u</math> движения волнового пакета в целом необходимо положить <math>\xi=\rm{const}</math>, и тогда

<math>u=\frac{dr}{dt}= \omega_0'</math>

Теперь рассмотрим пространственное распределение волнового пакета. Положим <math>t=0</math>. Тогда <math>\xi=r\frac{\Delta k}{2}</math>. Квадрат амплитуды волнового пакета <math>B^2=A^2 \frac{\sin^2 \xi}{\xi^2}</math> достигает главного максимума в точке с <math>\xi = 0</math>. Остальные максимумы будут соответственно уменьшаться: <math>B^2(\pm\frac{3\pi}{2})=\frac{4A^2}{9\pi^2}</math>, <math>B^2(\pm\frac{5\pi}{2})=\frac{4A^2}{25\pi^2}</math>, <math>\ldots</math>, причём в точках <math>\pm\pi, \pm 2\pi, \dots</math> квадрат амплитуды обращается в нуль.

Благодаря этому мы можем считать, что область локализации основной части волнового пакета <math>\Delta r</math> находится в окрестности главного максимума. Наиболее рационально «постановить», что эта область соответствует половине расстояния <math>\xi</math> между первыми нулями функции <math>B=A \frac{\sin \xi}{\xi}</math> (<math>\xi_0=\pm\pi</math>). Тогда окажется, что <math>\Delta\xi=\frac{\Delta k \Delta r}{2}=\pi</math>. Следовательно,

<math>\Delta k \Delta r=2\pi . </math>

Однако, если говорить математически строго, волновая функция отлична от нуля и за пределами пакета, так что правильнее было бы записать

<math>\Delta k \Delta r \geqslant 2\pi</math>

Так как <math>k=2{\pi}/{\lambda}</math> (<math>{\lambda}</math> — длина волны), а <math>{\lambda}=h/p</math> (<math>h</math> — постоянная Планка (не редуцированная!)), можно переписать это неравенство ещё как

<math>{\Delta}p{\Delta}r{\ge}h</math>

Оно представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга, один из самых фундаментальных принципов квантовой механики. Это соотношение справедливо для всех без исключения волновых процессов независимо от их природы. Так, в радиотехнике и оптике присутствует несовместимость острой локализации соответствующих волновых процессов во времени и пространстве с узким спектром частот. Например, селективный радиоприёмник (<math>{\Delta}{\omega}~{\rightarrow}~0</math>) не в состоянии улавливать сигналы, короткие по времени и т. п.

Расплывание волнового пакета

Наконец, рассмотрим отброшенные в вышеприведенных формулах члены разложения <math>{\omega}</math> в ряд Тэйлора. Очевидно, что такое приближение не всегда физически оправдано. В условиях отсутствия дисперсии (<math>{\omega_2}=0</math>), когда все монохроматические волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью, начальная форма волнового пакета с течением времени не меняется, а максимум его амплитуды перемещается с начальной скоростью, равной фазовой. Однако же если дисперсия отлична от нуля (<math>{\omega_2}~{\not=}~0</math>), то есть если фазовые скорости отдельных волн-составляющих будут различны, начальная форма пакета будет меняться с течением времени, то есть он будет расплываться.

Оценим время расплывания волнового пакета. Для этого нужно учесть при рассмотрении интеграла <math>{\frac{A}{{\Delta}k}}\int\limits_{k_0-\frac{{\Delta}k}{2}}^{k_0+\frac{{\Delta}k}{2}} \mathsf{exp}(-i({\omega}t-kr))\, \mathsf{d}k</math> квадратичный член ряда Тейлора <math>{\omega_2}(k)={\omega_0}{\frac{(k-k_0)^2}{2}}</math>, в первом приближении отбрасываемый. Его учёт приводит к дополнительной фазе

<math>{\Delta}{\xi}~{\sim}~{\frac{({\Delta}k)^2}{2}}{\frac{{{\partial}^2}{\omega}}{{\partial}{k}^2}}t</math>,

которая оказывается существенной, если достигает порядка <math>{\pi}</math>. Отсюда для времени <math>{\Delta}t</math> расплывания волнового пакета получаем выражение

<math>{\Delta}t~{\cong}~{\frac{2{\pi}}{{\frac{{{\partial}^2}{\omega}}{{\partial}{k}^2}}({\Delta}k)^2}}</math>.

Теперь применим полученные выводы к дебройлевским волнам. Прежде всего обратим внимание на то, что амплитуда пакета заметно отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую можно связать с местоположением частицы. Далее, в частном случае дебройлевских волн (<math>E={\hbar}{\omega},~~p={\hbar}k</math>) групповая скорость перемещения частицы как целого

<math>{\bar{u}}=\frac{{\partial}{\omega}}{{\partial}k}=\frac{{\partial}E}{{\partial}p}=\frac{{c^2}p}{E}=v</math>

точно равна скорости <math>v</math> самой частицы. Благодаря этому возможно сопоставить движение главных максимумов волновых пакетов движению отдельных частиц. Поэтому положение частицы в пространстве можно характеризовать квадратом амплитуды волны <math>{B^2}={{\psi}^*}(r,t){\psi}(r,t)</math>, являющимся одновременно квадратом модуля волновой функции.

Теперь выясним: можно ли связать «пси»-волны со структурой самой частицы, или же они описывают лишь её движение? Точка зрения, утверждающая, что можно, была предложена Э.Шрёдингером вскоре после открытия им фундаментального уравнения квантовой механики, который предположил, что частица должна представлять собой сгусток волн, размазанный в пространстве, причём плотность его в данной точке равна <math>{{\psi}^*}(r,t){\psi}(r,t)</math>. Однако такая интерпретация оказалась несостоятельной: как было показано выше, фазовые скорости волн, образующих волновой пакет, различны, и с течением времени он начинает расплываться.

Найдем время расплывания волнового пакета из дебройлевских волн. В таком случае квадратичный член из вышеприведённого ряда Тейлора, определяющий дисперсию, будет равен

<math>{\frac{{{\partial}^2}{\omega}}{{{\partial}k}^2}}={\hbar}{\frac{{{\partial}^2}{E}}{{{\partial}p}^2}}</math>

Ограничимся для простоты нерелятивистским приближением (<math>p~{\ll}~{m_0}c~,</math><math>{m_0}</math> — масса покоя частицы). Тогда:

<math>{\frac{{\partial}E}{{\partial}p}}={\frac{p}{m_0}},~~~~~~{\frac{{{\partial}^2}{E}}{{{\partial}p}^2}}={\frac{1}{m_0}}</math>

Для оценки времени расплывания волнового пакета получаем (согласно соотношению неопределённостей и аналогичной вышеприведённой формуле):

<math>{\Delta}t~{\approx}~{\frac{h}{{\frac{{{\partial}^2}{E}}{{\partial}{p}^2}}({\Delta}p)^2}}~{\approx}~{\frac{{m_0}({\Delta}r)^2}{h}}</math>

В случае макроскопической частицы, имеющей массу, например, 1 грамм и размер <math>{{\Delta}r}=0,1</math> см, время расплывания окажется <math>{{\Delta}t}={10^{25}}</math> сек, то есть такой волновой пакет фактически не будет расплываться. В случае же микрочастицы вроде электрона, чья масса порядка <math>{10^{-27}}</math> грамм, <math>{{\Delta}r}~{\sim}~{10^{-13}}</math> см, волновой пакет расплывется почти мгновенно: <math>{{\Delta}t}~{\sim}~{10^{-26}}</math> сек. Из-за того, что волновой пакет микрочастицы в общем случае расплывается весьма быстро, для их (частиц) успешного описания следует составлять волновой пакет из волн, разброс значений волновых чисел которых невелик, то есть <math>{{\Delta}k}~{\ll}~{k_0}</math>.

Таким образом, если точка зрения, которой придерживался в этом отношении Шрёдингер, была бы верна, электрон не мог бы представлять собой устойчивое образование. Кроме того, невозможно было бы объяснить явление дифракции, заменив пучок электронов множеством волновых пакетов.

В настоящее время принята другая, «статистическая», интерпретация <math>{\psi}</math>-волны, предложенная Максом Борном. Согласно этой интерпретации, величина <math>{{{\mid}{\psi}{\mid}}^2}={{\psi}^*}{\psi}</math> имеет смысл вероятности (либо плотности вероятности) нахождения частицы в данной точке пространства либо бесконечно малом (в общем случае — просто очень малом) элементе объёма.

Статистическая интерпретация, предложенная Борном, не связывает волновую функцию со структурой частицы. В частности, ничто не «мешает» электрону оставаться вообще точечным. При изменении волновой функции изменяется лишь вероятность обнаружения частицы в какой-то точке пространства. В свете этого представления расплывание волнового пакета противоречит устойчивости частицы. В предельном случае монохроматической волны частица равновероятно может быть обнаружена в любой точке пространства.

См. также

• Волны де Бройля
• Статистическая интерпретация волновой функции

Литература

• А. А. Соколов, И. М. Тернов Квантовая механика и атомная физика. — М.: «Просвещение», 1970. § 3.
• Л. А. Грибов, С. П. Муштакова Квантовая химия. — М.: «Гардарики», 1999. Глава 1, с. 14.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, стереотипное. — М.: Физматлит, МФТИ, 2002. — Т. IV. Оптика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1.

Отрывок, характеризующий Волновой пакет

Он, выдвинувшись вперед на кресле, сказал: Le Roi de Prusse! [Прусский король!] и сказав это, засмеялся. Все обратились к нему: Le Roi de Prusse? – спросил Ипполит, опять засмеялся и опять спокойно и серьезно уселся в глубине своего кресла. Анна Павловна подождала его немного, но так как Ипполит решительно, казалось, не хотел больше говорить, она начала речь о том, как безбожный Бонапарт похитил в Потсдаме шпагу Фридриха Великого.
– C'est l'epee de Frederic le Grand, que je… [Это шпага Фридриха Великого, которую я…] – начала было она, но Ипполит перебил ее словами:
– Le Roi de Prusse… – и опять, как только к нему обратились, извинился и замолчал. Анна Павловна поморщилась. MorteMariet, приятель Ипполита, решительно обратился к нему:
– Voyons a qui en avez vous avec votre Roi de Prusse? [Ну так что ж о прусском короле?]
Ипполит засмеялся, как будто ему стыдно было своего смеха.
– Non, ce n'est rien, je voulais dire seulement… [Нет, ничего, я только хотел сказать…] (Он намерен был повторить шутку, которую он слышал в Вене, и которую он целый вечер собирался поместить.) Je voulais dire seulement, que nous avons tort de faire la guerre рour le roi de Prusse. [Я только хотел сказать, что мы напрасно воюем pour le roi de Prusse . (Непереводимая игра слов, имеющая значение: «по пустякам».)]
Борис осторожно улыбнулся так, что его улыбка могла быть отнесена к насмешке или к одобрению шутки, смотря по тому, как она будет принята. Все засмеялись.
– Il est tres mauvais, votre jeu de mot, tres spirituel, mais injuste, – грозя сморщенным пальчиком, сказала Анна Павловна. – Nous ne faisons pas la guerre pour le Roi de Prusse, mais pour les bons principes. Ah, le mechant, ce prince Hippolytel [Ваша игра слов не хороша, очень умна, но несправедлива; мы не воюем pour le roi de Prusse (т. e. по пустякам), а за добрые начала. Ах, какой он злой, этот князь Ипполит!] – сказала она.
Разговор не утихал целый вечер, обращаясь преимущественно около политических новостей. В конце вечера он особенно оживился, когда дело зашло о наградах, пожалованных государем.
– Ведь получил же в прошлом году NN табакерку с портретом, – говорил l'homme a l'esprit profond, [человек глубокого ума,] – почему же SS не может получить той же награды?
– Je vous demande pardon, une tabatiere avec le portrait de l'Empereur est une recompense, mais point une distinction, – сказал дипломат, un cadeau plutot. [Извините, табакерка с портретом Императора есть награда, а не отличие; скорее подарок.]
– Il y eu plutot des antecedents, je vous citerai Schwarzenberg. [Были примеры – Шварценберг.]
– C'est impossible, [Это невозможно,] – возразил другой.
– Пари. Le grand cordon, c'est different… [Лента – это другое дело…]
Когда все поднялись, чтоб уезжать, Элен, очень мало говорившая весь вечер, опять обратилась к Борису с просьбой и ласковым, значительным приказанием, чтобы он был у нее во вторник.
– Мне это очень нужно, – сказала она с улыбкой, оглядываясь на Анну Павловну, и Анна Павловна той грустной улыбкой, которая сопровождала ее слова при речи о своей высокой покровительнице, подтвердила желание Элен. Казалось, что в этот вечер из каких то слов, сказанных Борисом о прусском войске, Элен вдруг открыла необходимость видеть его. Она как будто обещала ему, что, когда он приедет во вторник, она объяснит ему эту необходимость.
Приехав во вторник вечером в великолепный салон Элен, Борис не получил ясного объяснения, для чего было ему необходимо приехать. Были другие гости, графиня мало говорила с ним, и только прощаясь, когда он целовал ее руку, она с странным отсутствием улыбки, неожиданно, шопотом, сказала ему: Venez demain diner… le soir. Il faut que vous veniez… Venez. [Приезжайте завтра обедать… вечером. Надо, чтоб вы приехали… Приезжайте.]
В этот свой приезд в Петербург Борис сделался близким человеком в доме графини Безуховой.


Война разгоралась, и театр ее приближался к русским границам. Всюду слышались проклятия врагу рода человеческого Бонапартию; в деревнях собирались ратники и рекруты, и с театра войны приходили разноречивые известия, как всегда ложные и потому различно перетолковываемые.
Жизнь старого князя Болконского, князя Андрея и княжны Марьи во многом изменилась с 1805 года.
В 1806 году старый князь был определен одним из восьми главнокомандующих по ополчению, назначенных тогда по всей России. Старый князь, несмотря на свою старческую слабость, особенно сделавшуюся заметной в тот период времени, когда он считал своего сына убитым, не счел себя вправе отказаться от должности, в которую был определен самим государем, и эта вновь открывшаяся ему деятельность возбудила и укрепила его. Он постоянно бывал в разъездах по трем вверенным ему губерниям; был до педантизма исполнителен в своих обязанностях, строг до жестокости с своими подчиненными, и сам доходил до малейших подробностей дела. Княжна Марья перестала уже брать у своего отца математические уроки, и только по утрам, сопутствуемая кормилицей, с маленьким князем Николаем (как звал его дед) входила в кабинет отца, когда он был дома. Грудной князь Николай жил с кормилицей и няней Савишной на половине покойной княгини, и княжна Марья большую часть дня проводила в детской, заменяя, как умела, мать маленькому племяннику. M lle Bourienne тоже, как казалось, страстно любила мальчика, и княжна Марья, часто лишая себя, уступала своей подруге наслаждение нянчить маленького ангела (как называла она племянника) и играть с ним.
У алтаря лысогорской церкви была часовня над могилой маленькой княгини, и в часовне был поставлен привезенный из Италии мраморный памятник, изображавший ангела, расправившего крылья и готовящегося подняться на небо. У ангела была немного приподнята верхняя губа, как будто он сбирался улыбнуться, и однажды князь Андрей и княжна Марья, выходя из часовни, признались друг другу, что странно, лицо этого ангела напоминало им лицо покойницы. Но что было еще страннее и чего князь Андрей не сказал сестре, было то, что в выражении, которое дал случайно художник лицу ангела, князь Андрей читал те же слова кроткой укоризны, которые он прочел тогда на лице своей мертвой жены: «Ах, зачем вы это со мной сделали?…»
Вскоре после возвращения князя Андрея, старый князь отделил сына и дал ему Богучарово, большое имение, находившееся в 40 верстах от Лысых Гор. Частью по причине тяжелых воспоминаний, связанных с Лысыми Горами, частью потому, что не всегда князь Андрей чувствовал себя в силах переносить характер отца, частью и потому, что ему нужно было уединение, князь Андрей воспользовался Богучаровым, строился там и проводил в нем большую часть времени.
Князь Андрей, после Аустерлицкой кампании, твердо pешил никогда не служить более в военной службе; и когда началась война, и все должны были служить, он, чтобы отделаться от действительной службы, принял должность под начальством отца по сбору ополчения. Старый князь с сыном как бы переменились ролями после кампании 1805 года. Старый князь, возбужденный деятельностью, ожидал всего хорошего от настоящей кампании; князь Андрей, напротив, не участвуя в войне и в тайне души сожалея о том, видел одно дурное.
26 февраля 1807 года, старый князь уехал по округу. Князь Андрей, как и большею частью во время отлучек отца, оставался в Лысых Горах. Маленький Николушка был нездоров уже 4 й день. Кучера, возившие старого князя, вернулись из города и привезли бумаги и письма князю Андрею.
Камердинер с письмами, не застав молодого князя в его кабинете, прошел на половину княжны Марьи; но и там его не было. Камердинеру сказали, что князь пошел в детскую.
– Пожалуйте, ваше сиятельство, Петруша с бумагами пришел, – сказала одна из девушек помощниц няни, обращаясь к князю Андрею, который сидел на маленьком детском стуле и дрожащими руками, хмурясь, капал из стклянки лекарство в рюмку, налитую до половины водой.
– Что такое? – сказал он сердито, и неосторожно дрогнув рукой, перелил из стклянки в рюмку лишнее количество капель. Он выплеснул лекарство из рюмки на пол и опять спросил воды. Девушка подала ему.
В комнате стояла детская кроватка, два сундука, два кресла, стол и детские столик и стульчик, тот, на котором сидел князь Андрей. Окна были завешаны, и на столе горела одна свеча, заставленная переплетенной нотной книгой, так, чтобы свет не падал на кроватку.
– Мой друг, – обращаясь к брату, сказала княжна Марья от кроватки, у которой она стояла, – лучше подождать… после…
– Ах, сделай милость, ты всё говоришь глупости, ты и так всё дожидалась – вот и дождалась, – сказал князь Андрей озлобленным шопотом, видимо желая уколоть сестру.
– Мой друг, право лучше не будить, он заснул, – умоляющим голосом сказала княжна.
Князь Андрей встал и, на цыпочках, с рюмкой подошел к кроватке.
– Или точно не будить? – сказал он нерешительно.
– Как хочешь – право… я думаю… а как хочешь, – сказала княжна Марья, видимо робея и стыдясь того, что ее мнение восторжествовало. Она указала брату на девушку, шопотом вызывавшую его.
Была вторая ночь, что они оба не спали, ухаживая за горевшим в жару мальчиком. Все сутки эти, не доверяя своему домашнему доктору и ожидая того, за которым было послано в город, они предпринимали то то, то другое средство. Измученные бессоницей и встревоженные, они сваливали друг на друга свое горе, упрекали друг друга и ссорились.
– Петруша с бумагами от папеньки, – прошептала девушка. – Князь Андрей вышел.
– Ну что там! – проговорил он сердито, и выслушав словесные приказания от отца и взяв подаваемые конверты и письмо отца, вернулся в детскую.
– Ну что? – спросил князь Андрей.
– Всё то же, подожди ради Бога. Карл Иваныч всегда говорит, что сон всего дороже, – прошептала со вздохом княжна Марья. – Князь Андрей подошел к ребенку и пощупал его. Он горел.
– Убирайтесь вы с вашим Карлом Иванычем! – Он взял рюмку с накапанными в нее каплями и опять подошел.
– Andre, не надо! – сказала княжна Марья.