Чебышёвский альтернанс

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Чебышёвский альтерна́нс (или просто альтерна́нс) — в математике такой набор точек <math>x_1<x_2< ... <x_N</math>, в которых непрерывная функция одной переменной <math>g(x)</math> последовательно принимает своё максимальное по модулю значение, при этом знаки функции в этих точках <math>g(x_1),</math> <math>g(x_2), ...,</math> <math>g(x_N)</math> — чередуются.

Такая конструкция впервые встретилась в теореме о характеризации полинома наилучшего приближения, открытой П. Л. Чебышёвым в XIX веке. Сам термин альтернанс был введён И. П. Натансоном в 1950-е годы.





Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен <math> Q_n(x)</math> был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции <math>f(x)</math>, необходимо и достаточно существования на <math>[a,b]</math> по крайней мере <math>n+2</math> точек <math>x_0<...<x_{n+1} </math> таких, что

<math>f(x_i)- Q_n(x_i)= \alpha (-1)^i ||f-Q_n||</math>,

где <math>i=0,...,n+1, \alpha=\pm1 </math> одновременно для всех <math>i</math>.

Точки <math>x_0<...<x_{n+1} </math>, удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени) на интервале (1, 64). Из условия теоремы, нам необходимо найти <math>n+2</math> (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому, в силу выпуклости разности квадратного корня и линейной функции, таковыми точками являются единственная точка экстремума этой разности и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим <math>a=1, b=64</math>. <math>d</math> — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

<math> \sqrt1-(\alpha_0+\alpha_1\times 1)=\alpha L </math>

<math> \sqrt d-(\alpha_0+\alpha_1\times d)=-\alpha L </math>

<math> \sqrt{64}-(\alpha_0+\alpha_1\times 64)=\alpha L </math>

Здесь <math>\alpha L</math> — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

<math>\alpha_1=\frac{1}{9}</math>

Так как <math>d</math> — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение <math>d</math> можно из следующего уравнения:

<math> (\sqrt x)'(d) - \alpha_1 =0 </math>

Отсюда <math>d=20\frac{1}{4}</math>

Теперь можно вычислить <math> \alpha_0 </math>

<math>\alpha_0=\frac{113}{72}</math>

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции <math>\sqrt x</math> на интервале от 1 до 64:

<math>\frac{1}{9}x + \frac{113}{72}</math>.

См. также

Напишите отзыв о статье "Чебышёвский альтернанс"

Литература

  • Бахвалов, Н. С.; Жидков, Н. П.; Кобельков, Г. Н. Численные методы
  • Ульянов, М. В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы.

Ссылки

  • [mmfd.nsu.ru/mmf/persons/matsokin/NumAn.pdf Лекции А. М. Мацокина]

Отрывок, характеризующий Чебышёвский альтернанс

– Видно, еще не все ушли, князь, – сказал Багратион. – До завтрашнего утра, завтра всё узнаем.
– На горе пикет, ваше сиятельство, всё там же, где был с вечера, – доложил Ростов, нагибаясь вперед, держа руку у козырька и не в силах удержать улыбку веселья, вызванного в нем его поездкой и, главное, звуками пуль.
– Хорошо, хорошо, – сказал Багратион, – благодарю вас, г. офицер.
– Ваше сиятельство, – сказал Ростов, – позвольте вас просить.
– Что такое?
– Завтра эскадрон наш назначен в резервы; позвольте вас просить прикомандировать меня к 1 му эскадрону.
– Как фамилия?
– Граф Ростов.
– А, хорошо. Оставайся при мне ординарцем.
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».

Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l'empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.
Под предлогом увода раненых не расстроивать ряда! Каждый да будет вполне проникнут мыслию, что надо победить этих наемников Англии, воодушевленных такою ненавистью против нашей нации. Эта победа окончит наш поход, и мы можем возвратиться на зимние квартиры, где застанут нас новые французские войска, которые формируются во Франции; и тогда мир, который я заключу, будет достоин моего народа, вас и меня.
Наполеон».


В 5 часов утра еще было совсем темно. Войска центра, резервов и правый фланг Багратиона стояли еще неподвижно; но на левом фланге колонны пехоты, кавалерии и артиллерии, долженствовавшие первые спуститься с высот, для того чтобы атаковать французский правый фланг и отбросить его, по диспозиции, в Богемские горы, уже зашевелились и начали подниматься с своих ночлегов. Дым от костров, в которые бросали всё лишнее, ел глаза. Было холодно и темно. Офицеры торопливо пили чай и завтракали, солдаты пережевывали сухари, отбивали ногами дробь, согреваясь, и стекались против огней, бросая в дрова остатки балаганов, стулья, столы, колеса, кадушки, всё лишнее, что нельзя было увезти с собою. Австрийские колонновожатые сновали между русскими войсками и служили предвестниками выступления. Как только показывался австрийский офицер около стоянки полкового командира, полк начинал шевелиться: солдаты сбегались от костров, прятали в голенища трубочки, мешочки в повозки, разбирали ружья и строились. Офицеры застегивались, надевали шпаги и ранцы и, покрикивая, обходили ряды; обозные и денщики запрягали, укладывали и увязывали повозки. Адъютанты, батальонные и полковые командиры садились верхами, крестились, отдавали последние приказания, наставления и поручения остающимся обозным, и звучал однообразный топот тысячей ног. Колонны двигались, не зная куда и не видя от окружавших людей, от дыма и от усиливающегося тумана ни той местности, из которой они выходили, ни той, в которую они вступали.