Числа Бернулли

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
<math>\displaystyle{B_0=1}</math>
<math>B_1=-\frac12</math>
<math>B_2=\frac16</math>
<math>\displaystyle{B_3=0}</math>
<math>B_4=-\frac1{30}</math>
<math>\displaystyle{B_5=0}</math>
<math>B_6=\frac1{42}</math>
<math>\displaystyle{B_7=0}</math>
<math>B_8=-\frac1{30}</math>
<math>\displaystyle{B_9=0}</math>
<math>B_{10}=\frac5{66}</math>
<math>\displaystyle{B_{11}=0}</math>
<math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>
<math>\displaystyle{B_{13}=0}</math>
<math>B_{14}=1\frac16</math>
<math>\displaystyle{B_{15}=0}</math>
<math>B_{16}=-7\frac{47}{510}</math>
<math>\displaystyle{B_{17}=0}</math>
<math>B_{18}=54\frac{775}{798}</math>
<math>\displaystyle{B_{19}=0}</math>
<math>B_{20}=-529\frac{41}{330}</math>

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел <math>B_0, B_1, B_2, \dots</math>, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

<math>\sum_{n=0}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k \binom{k+1}{s} B_s N^{k+1-s},</math>

где <math>\tbinom{k+1}{s} = \tfrac{(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}</math> — биномиальный коэффициент.





Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

<math>\displaystyle{B_0=1\; ,}</math>
<math>B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.</math>

Свойства

  • Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме <math>{\textstyle{B_1}}</math>, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли <math>{\textstyle{B_n(x)}}</math> при <math>{\textstyle{x=0}}</math>:
<math>\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}</math>
<math>B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}. </math>
А также:
<math>\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\;</math> для всех натуральных n, больших 1.
  • <math>\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.</math>

Напишите отзыв о статье "Числа Бернулли"

Литература

Ссылки

  • [ru.numberempire.com/bernoullinumbers.php Генератор Чисел Бернули]


Отрывок, характеризующий Числа Бернулли

– Уйдет! – щуря глаза, сказал эсаул.
Человек, которого они называли Тихоном, подбежав к речке, бултыхнулся в нее так, что брызги полетели, и, скрывшись на мгновенье, весь черный от воды, выбрался на четвереньках и побежал дальше. Французы, бежавшие за ним, остановились.
– Ну ловок, – сказал эсаул.
– Экая бестия! – с тем же выражением досады проговорил Денисов. – И что он делал до сих пор?
– Это кто? – спросил Петя.
– Это наш пластун. Я его посылал языка взять.
– Ах, да, – сказал Петя с первого слова Денисова, кивая головой, как будто он все понял, хотя он решительно не понял ни одного слова.
Тихон Щербатый был один из самых нужных людей в партии. Он был мужик из Покровского под Гжатью. Когда, при начале своих действий, Денисов пришел в Покровское и, как всегда, призвав старосту, спросил о том, что им известно про французов, староста отвечал, как отвечали и все старосты, как бы защищаясь, что они ничего знать не знают, ведать не ведают. Но когда Денисов объяснил им, что его цель бить французов, и когда он спросил, не забредали ли к ним французы, то староста сказал, что мародеры бывали точно, но что у них в деревне только один Тишка Щербатый занимался этими делами. Денисов велел позвать к себе Тихона и, похвалив его за его деятельность, сказал при старосте несколько слов о той верности царю и отечеству и ненависти к французам, которую должны блюсти сыны отечества.
– Мы французам худого не делаем, – сказал Тихон, видимо оробев при этих словах Денисова. – Мы только так, значит, по охоте баловались с ребятами. Миродеров точно десятка два побили, а то мы худого не делали… – На другой день, когда Денисов, совершенно забыв про этого мужика, вышел из Покровского, ему доложили, что Тихон пристал к партии и просился, чтобы его при ней оставили. Денисов велел оставить его.
Тихон, сначала исправлявший черную работу раскладки костров, доставления воды, обдирания лошадей и т. п., скоро оказал большую охоту и способность к партизанской войне. Он по ночам уходил на добычу и всякий раз приносил с собой платье и оружие французское, а когда ему приказывали, то приводил и пленных. Денисов отставил Тихона от работ, стал брать его с собою в разъезды и зачислил в казаки.
Тихон не любил ездить верхом и всегда ходил пешком, никогда не отставая от кавалерии. Оружие его составляли мушкетон, который он носил больше для смеха, пика и топор, которым он владел, как волк владеет зубами, одинаково легко выбирая ими блох из шерсти и перекусывая толстые кости. Тихон одинаково верно, со всего размаха, раскалывал топором бревна и, взяв топор за обух, выстрагивал им тонкие колышки и вырезывал ложки. В партии Денисова Тихон занимал свое особенное, исключительное место. Когда надо было сделать что нибудь особенно трудное и гадкое – выворотить плечом в грязи повозку, за хвост вытащить из болота лошадь, ободрать ее, залезть в самую середину французов, пройти в день по пятьдесят верст, – все указывали, посмеиваясь, на Тихона.