Числа Фибоначчи

Чи́сла Фибона́ччи — элементы последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи <math>\left\{F_n\right\}</math> задаётся линейным рекуррентным соотношением:

<math>F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2, \quad n\in \Z.</math>

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений <math>n</math>, как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: <math>F_n=F_{n+2}-F_{n+1}</math>:

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
<math>F_n</math>	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Легко заметить, что <math>F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n</math>.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?

• В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).
• В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)
• В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)
• В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)
• В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)

В конце <math>n</math>-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом: <math>F_n = F_{n-2} + F_{n-1}.</math>

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение <math>F_n</math> как функцию от n:

<math>F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1},</math>

где <math>\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> — золотое сечение. При этом <math>\varphi</math> и <math>(-\varphi )^{-1}=1-\varphi</math> являются корнями характеристического уравнения <math>x^2-x-1=0</math>.

Из формулы Бине следует, что для всех <math>n\geqslant 0</math>, <math>F_n</math> есть ближайшее к <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math> целое число, то есть <math>F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil</math>. В частности, при <math>n\to\infty</math> справедлива асимптотика <math>F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math>.

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

<math>F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right).</math>

При этом соотношение <math> F_{z+2} = F_{z+1} + F_z </math> выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

• <math>F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1</math>
• <math>F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}</math>
• <math>F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1</math>
• <math>F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}</math>
• <math>F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}</math>
• <math>F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}</math>
• <math>F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2</math>
• <math>F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3</math>
• <math>F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}</math>

И более общие формулы:

• <math>F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}</math>
• <math>F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}</math>
• <math>F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}</math>
• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: <math>F_{n+1} = K_n(1,\dots,1)</math>, то есть

<math>F_{n+1} =

\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}</math>, а также <math>\ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & i & 0 &\cdots & 0 \\ i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ 0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\ 0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}</math>,

где матрицы имеют размер <math>n\times n</math>, i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

<math>F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right),</math>

<math>F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right).</math>

• Для любого n,

<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =

      \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                      F_n   & F_{n-1} \end{pmatrix}.</math>

• Следствие. Подсчёт определителей даёт

<math>(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2.</math>

Свойства

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть <math>(F_m,F_n) = F_{(m,n)}</math>. Следствия:
  • <math>F_m</math> делится на <math>F_n</math> тогда и только тогда, когда <math>m</math> делится на <math>n</math> (за исключением <math>n=2</math>). В частности, <math>F_m</math> делится на <math>F_3=2</math> (то есть является чётным) только для <math>m=3k</math>; <math>F_m</math> делится на <math>F_4=3</math> только для <math>m=4k</math>; <math>F_m</math> делится на <math>F_5=5</math> только для <math>m=5k</math> и т. д.
  • <math>F_m</math> может быть простым только для простых <math>m</math> (с единственным исключением <math>m=4</math>). Например, число <math>F_{13}=233</math> простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — <math>F_{19}=4181=37\cdot 113</math>. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен <math>x^2-x-1</math> имеет корни <math>\varphi</math> и <math>-\frac{1}{\varphi}</math>.
• Отношения <math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math> являются подходящими дробями золотого сечения <math>\phi</math> и, в частности, <math>\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi.</math>
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

  <math>F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}</math>.

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

  <math>F_0=0^2=0</math>, <math>F_1=1^2=1</math>, <math>F_2=1^2=1</math>, <math>F_{12}=12^2=144</math>.

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

  <math>x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}</math>

• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

  <math>z(x,y) = 2xy^4 + x^2 y^3 - 2 x^3 y^2 - y^5 - x^4 y + 2y,</math>

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:

  1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)

  • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда <math>5N^2 + 4</math> или <math>5N^2 - 4</math> является квадратом.
• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.
• Число Фибоначчи <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_n</math> равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом <math>F_{n+1}</math> равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а <math>F_n</math> — начинающихся с единицы.
• Число 0,112358132134… (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным.

Вариации и обобщения

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка <math>F_n = U_n(1,-1)</math>, при этом их дополнением являются числа Люка <math>L_n = V_n(1,-1)</math>.

В других областях

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространенный миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат.

В природе

• Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи
• Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.
• Раковины моллюсков, в частности Наутилуса, строятся по спирали, соотносящейся^[как?] с рядом чисел Фибоначчи.

См. также

• Дерево Фибоначчи
• Метод Фибоначчи с запаздываниями
• Метод Фибоначчи поиска экстремума
• Фибоначчи
• Фибоначчиева система счисления
• Числа Леонардо
• Таблица Витхоффа
• Последовательность коров Нараяны

Литература

• Н. Н. Воробьёв. [ilib.mccme.ru/plm/ann/a06.htm Числа Фибоначчи]. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• А. И. Маркушевич. [ilib.mccme.ru/plm/ann/a01.htm Возвратные последовательности]. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• А. Н. Рудаков [www.mccme.ru/free-books/matpros5.html Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷-1] // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
• Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014. — С. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0.

Ссылки

• [www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html#100 Первые 300 чисел Фибоначчи]  (англ.).
• [www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html Числа Фибоначчи в природе]  (англ.).

Отрывок, характеризующий Числа Фибоначчи

В длинной комнате, ярко освещенной солнцем в большие окна, в два ряда, головами к стенам и оставляя проход по середине, лежали больные и раненые. Большая часть из них были в забытьи и не обратили вниманья на вошедших. Те, которые были в памяти, все приподнялись или подняли свои худые, желтые лица, и все с одним и тем же выражением надежды на помощь, упрека и зависти к чужому здоровью, не спуская глаз, смотрели на Ростова. Ростов вышел на середину комнаты, заглянул в соседние двери комнат с растворенными дверями, и с обеих сторон увидал то же самое. Он остановился, молча оглядываясь вокруг себя. Он никак не ожидал видеть это. Перед самым им лежал почти поперек середняго прохода, на голом полу, больной, вероятно казак, потому что волосы его были обстрижены в скобку. Казак этот лежал навзничь, раскинув огромные руки и ноги. Лицо его было багрово красно, глаза совершенно закачены, так что видны были одни белки, и на босых ногах его и на руках, еще красных, жилы напружились как веревки. Он стукнулся затылком о пол и что то хрипло проговорил и стал повторять это слово. Ростов прислушался к тому, что он говорил, и разобрал повторяемое им слово. Слово это было: испить – пить – испить! Ростов оглянулся, отыскивая того, кто бы мог уложить на место этого больного и дать ему воды.
– Кто тут ходит за больными? – спросил он фельдшера. В это время из соседней комнаты вышел фурштадский солдат, больничный служитель, и отбивая шаг вытянулся перед Ростовым.
– Здравия желаю, ваше высокоблагородие! – прокричал этот солдат, выкатывая глаза на Ростова и, очевидно, принимая его за больничное начальство.
– Убери же его, дай ему воды, – сказал Ростов, указывая на казака.
– Слушаю, ваше высокоблагородие, – с удовольствием проговорил солдат, еще старательнее выкатывая глаза и вытягиваясь, но не трогаясь с места.
– Нет, тут ничего не сделаешь, – подумал Ростов, опустив глаза, и хотел уже выходить, но с правой стороны он чувствовал устремленный на себя значительный взгляд и оглянулся на него. Почти в самом углу на шинели сидел с желтым, как скелет, худым, строгим лицом и небритой седой бородой, старый солдат и упорно смотрел на Ростова. С одной стороны, сосед старого солдата что то шептал ему, указывая на Ростова. Ростов понял, что старик намерен о чем то просить его. Он подошел ближе и увидал, что у старика была согнута только одна нога, а другой совсем не было выше колена. Другой сосед старика, неподвижно лежавший с закинутой головой, довольно далеко от него, был молодой солдат с восковой бледностью на курносом, покрытом еще веснушками, лице и с закаченными под веки глазами. Ростов поглядел на курносого солдата, и мороз пробежал по его спине.
– Да ведь этот, кажется… – обратился он к фельдшеру.
– Уж как просили, ваше благородие, – сказал старый солдат с дрожанием нижней челюсти. – Еще утром кончился. Ведь тоже люди, а не собаки…
– Сейчас пришлю, уберут, уберут, – поспешно сказал фельдшер. – Пожалуйте, ваше благородие.
– Пойдем, пойдем, – поспешно сказал Ростов, и опустив глаза, и сжавшись, стараясь пройти незамеченным сквозь строй этих укоризненных и завистливых глаз, устремленных на него, он вышел из комнаты.


Пройдя коридор, фельдшер ввел Ростова в офицерские палаты, состоявшие из трех, с растворенными дверями, комнат. В комнатах этих были кровати; раненые и больные офицеры лежали и сидели на них. Некоторые в больничных халатах ходили по комнатам. Первое лицо, встретившееся Ростову в офицерских палатах, был маленький, худой человечек без руки, в колпаке и больничном халате с закушенной трубочкой, ходивший в первой комнате. Ростов, вглядываясь в него, старался вспомнить, где он его видел.
– Вот где Бог привел свидеться, – сказал маленький человек. – Тушин, Тушин, помните довез вас под Шенграбеном? А мне кусочек отрезали, вот… – сказал он, улыбаясь, показывая на пустой рукав халата. – Василья Дмитриевича Денисова ищете? – сожитель! – сказал он, узнав, кого нужно было Ростову. – Здесь, здесь и Тушин повел его в другую комнату, из которой слышался хохот нескольких голосов.
«И как они могут не только хохотать, но жить тут»? думал Ростов, всё слыша еще этот запах мертвого тела, которого он набрался еще в солдатском госпитале, и всё еще видя вокруг себя эти завистливые взгляды, провожавшие его с обеих сторон, и лицо этого молодого солдата с закаченными глазами.
Денисов, закрывшись с головой одеялом, спал не постели, несмотря на то, что был 12 й час дня.
– А, Г'остов? 3до'ово, здо'ово, – закричал он всё тем же голосом, как бывало и в полку; но Ростов с грустью заметил, как за этой привычной развязностью и оживленностью какое то новое дурное, затаенное чувство проглядывало в выражении лица, в интонациях и словах Денисова.
Рана его, несмотря на свою ничтожность, все еще не заживала, хотя уже прошло шесть недель, как он был ранен. В лице его была та же бледная опухлость, которая была на всех гошпитальных лицах. Но не это поразило Ростова; его поразило то, что Денисов как будто не рад был ему и неестественно ему улыбался. Денисов не расспрашивал ни про полк, ни про общий ход дела. Когда Ростов говорил про это, Денисов не слушал.
Ростов заметил даже, что Денисову неприятно было, когда ему напоминали о полке и вообще о той, другой, вольной жизни, которая шла вне госпиталя. Он, казалось, старался забыть ту прежнюю жизнь и интересовался только своим делом с провиантскими чиновниками. На вопрос Ростова, в каком положении было дело, он тотчас достал из под подушки бумагу, полученную из комиссии, и свой черновой ответ на нее. Он оживился, начав читать свою бумагу и особенно давал заметить Ростову колкости, которые он в этой бумаге говорил своим врагам. Госпитальные товарищи Денисова, окружившие было Ростова – вновь прибывшее из вольного света лицо, – стали понемногу расходиться, как только Денисов стал читать свою бумагу. По их лицам Ростов понял, что все эти господа уже не раз слышали всю эту успевшую им надоесть историю. Только сосед на кровати, толстый улан, сидел на своей койке, мрачно нахмурившись и куря трубку, и маленький Тушин без руки продолжал слушать, неодобрительно покачивая головой. В середине чтения улан перебил Денисова.
– А по мне, – сказал он, обращаясь к Ростову, – надо просто просить государя о помиловании. Теперь, говорят, награды будут большие, и верно простят…
– Мне просить государя! – сказал Денисов голосом, которому он хотел придать прежнюю энергию и горячность, но который звучал бесполезной раздражительностью. – О чем? Ежели бы я был разбойник, я бы просил милости, а то я сужусь за то, что вывожу на чистую воду разбойников. Пускай судят, я никого не боюсь: я честно служил царю, отечеству и не крал! И меня разжаловать, и… Слушай, я так прямо и пишу им, вот я пишу: «ежели бы я был казнокрад…
– Ловко написано, что и говорить, – сказал Тушин. Да не в том дело, Василий Дмитрич, – он тоже обратился к Ростову, – покориться надо, а вот Василий Дмитрич не хочет. Ведь аудитор говорил вам, что дело ваше плохо.
– Ну пускай будет плохо, – сказал Денисов. – Вам написал аудитор просьбу, – продолжал Тушин, – и надо подписать, да вот с ними и отправить. У них верно (он указал на Ростова) и рука в штабе есть. Уже лучше случая не найдете.
– Да ведь я сказал, что подличать не стану, – перебил Денисов и опять продолжал чтение своей бумаги.
Ростов не смел уговаривать Денисова, хотя он инстинктом чувствовал, что путь, предлагаемый Тушиным и другими офицерами, был самый верный, и хотя он считал бы себя счастливым, ежели бы мог оказать помощь Денисову: он знал непреклонность воли Денисова и его правдивую горячность.
Когда кончилось чтение ядовитых бумаг Денисова, продолжавшееся более часа, Ростов ничего не сказал, и в самом грустном расположении духа, в обществе опять собравшихся около него госпитальных товарищей Денисова, провел остальную часть дня, рассказывая про то, что он знал, и слушая рассказы других. Денисов мрачно молчал в продолжение всего вечера.
Поздно вечером Ростов собрался уезжать и спросил Денисова, не будет ли каких поручений?
– Да, постой, – сказал Денисов, оглянулся на офицеров и, достав из под подушки свои бумаги, пошел к окну, на котором у него стояла чернильница, и сел писать.
– Видно плетью обуха не пег'ешибешь, – сказал он, отходя от окна и подавая Ростову большой конверт. – Это была просьба на имя государя, составленная аудитором, в которой Денисов, ничего не упоминая о винах провиантского ведомства, просил только о помиловании.
– Передай, видно… – Он не договорил и улыбнулся болезненно фальшивой улыбкой.


Вернувшись в полк и передав командиру, в каком положении находилось дело Денисова, Ростов с письмом к государю поехал в Тильзит.
13 го июня, французский и русский императоры съехались в Тильзите. Борис Друбецкой просил важное лицо, при котором он состоял, о том, чтобы быть причислену к свите, назначенной состоять в Тильзите.
– Je voudrais voir le grand homme, [Я желал бы видеть великого человека,] – сказал он, говоря про Наполеона, которого он до сих пор всегда, как и все, называл Буонапарте.
– Vous parlez de Buonaparte? [Вы говорите про Буонапарта?] – сказал ему улыбаясь генерал.
Борис вопросительно посмотрел на своего генерала и тотчас же понял, что это было шуточное испытание.
– Mon prince, je parle de l'empereur Napoleon, [Князь, я говорю об императоре Наполеоне,] – отвечал он. Генерал с улыбкой потрепал его по плечу.
– Ты далеко пойдешь, – сказал он ему и взял с собою.
Борис в числе немногих был на Немане в день свидания императоров; он видел плоты с вензелями, проезд Наполеона по тому берегу мимо французской гвардии, видел задумчивое лицо императора Александра, в то время как он молча сидел в корчме на берегу Немана, ожидая прибытия Наполеона; видел, как оба императора сели в лодки и как Наполеон, приставши прежде к плоту, быстрыми шагами пошел вперед и, встречая Александра, подал ему руку, и как оба скрылись в павильоне. Со времени своего вступления в высшие миры, Борис сделал себе привычку внимательно наблюдать то, что происходило вокруг него и записывать. Во время свидания в Тильзите он расспрашивал об именах тех лиц, которые приехали с Наполеоном, о мундирах, которые были на них надеты, и внимательно прислушивался к словам, которые были сказаны важными лицами. В то самое время, как императоры вошли в павильон, он посмотрел на часы и не забыл посмотреть опять в то время, когда Александр вышел из павильона. Свидание продолжалось час и пятьдесят три минуты: он так и записал это в тот вечер в числе других фактов, которые, он полагал, имели историческое значение. Так как свита императора была очень небольшая, то для человека, дорожащего успехом по службе, находиться в Тильзите во время свидания императоров было делом очень важным, и Борис, попав в Тильзит, чувствовал, что с этого времени положение его совершенно утвердилось. Его не только знали, но к нему пригляделись и привыкли. Два раза он исполнял поручения к самому государю, так что государь знал его в лицо, и все приближенные не только не дичились его, как прежде, считая за новое лицо, но удивились бы, ежели бы его не было.
Борис жил с другим адъютантом, польским графом Жилинским. Жилинский, воспитанный в Париже поляк, был богат, страстно любил французов, и почти каждый день во время пребывания в Тильзите, к Жилинскому и Борису собирались на обеды и завтраки французские офицеры из гвардии и главного французского штаба.
24 го июня вечером, граф Жилинский, сожитель Бориса, устроил для своих знакомых французов ужин. На ужине этом был почетный гость, один адъютант Наполеона, несколько офицеров французской гвардии и молодой мальчик старой аристократической французской фамилии, паж Наполеона. В этот самый день Ростов, пользуясь темнотой, чтобы не быть узнанным, в статском платье, приехал в Тильзит и вошел в квартиру Жилинского и Бориса.
В Ростове, также как и во всей армии, из которой он приехал, еще далеко не совершился в отношении Наполеона и французов, из врагов сделавшихся друзьями, тот переворот, который произошел в главной квартире и в Борисе. Все еще продолжали в армии испытывать прежнее смешанное чувство злобы, презрения и страха к Бонапарте и французам. Еще недавно Ростов, разговаривая с Платовским казачьим офицером, спорил о том, что ежели бы Наполеон был взят в плен, с ним обратились бы не как с государем, а как с преступником. Еще недавно на дороге, встретившись с французским раненым полковником, Ростов разгорячился, доказывая ему, что не может быть мира между законным государем и преступником Бонапарте. Поэтому Ростова странно поразил в квартире Бориса вид французских офицеров в тех самых мундирах, на которые он привык совсем иначе смотреть из фланкерской цепи. Как только он увидал высунувшегося из двери французского офицера, это чувство войны, враждебности, которое он всегда испытывал при виде неприятеля, вдруг обхватило его. Он остановился на пороге и по русски спросил, тут ли живет Друбецкой. Борис, заслышав чужой голос в передней, вышел к нему навстречу. Лицо его в первую минуту, когда он узнал Ростова, выразило досаду.