Шестнадцатиячейник
Шестнадцатияче́йник[1] — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб[2] (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[3]. Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.
Содержание
Описание
Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности <math>120^\circ.</math>
Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.
Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.
Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных четырёхмерных пирамиды, приложенные друг к другу своими октаэдрическими основаниями, — либо как четырёхмерную дуопирамиду[en], построенную на двух квадратах.
В координатах
Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты <math>(\pm1;0;0;0),</math> <math>(0;\pm1;0;0),</math> <math>(0;0;\pm1;0),</math> <math>(0;0;0;\pm1).</math>
При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.
Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.
Начало координат <math>(0;0;0;0)</math> будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек <math>(x;y;z;w),</math> чьи координаты удовлетворяют уравнению
- <math>|x|+|y|+|z|+|w|=1,</math>
а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых
- <math>|x|+|y|+|z|+|w|<1.</math>
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины <math>a,</math> то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- <math>V_4 = \frac{1}{6}\;a^4 \approx 0,1666667a^4,</math>
- <math>S_3 = \frac{4\sqrt{2}}{3}\;a^3 \approx 1,8856181a^3.</math>
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
- <math>R = \frac{\sqrt{2}}{2}\;a \approx 0,7071068a,</math>
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho_1 = \frac{1}{2}\;a = 0,5000000a,</math>
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
- <math>\rho_2 = \frac{\sqrt{6}}{6}\;a \approx 0,4082483a,</math>
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
- <math>r = \frac{\sqrt{2}}{4}\;a \approx 0,3535534a.</math>
Заполнение пространства
Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.
Напишите отзыв о статье "Шестнадцатиячейник"
Примечания
- ↑ Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ [www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections.pdf Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники.] — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44.
- ↑ [web.archive.org/web/20070207021813/members.aol.com/Polycell/glossary.html#Hexadecachoron George Olshevsky. Hexadecachoron] // Glossary for Hyperspace.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/16-Cell.html Шестнадцатиячейник] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
|
Шестнадцатиячейник на Викискладе? |
|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Шестнадцатиячейник
– По обстоятельствам нынешним, Софья Даниловна с детьми уехали в торжковскую деревню, ваше сиятельство.– Я все таки войду, мне надо книги разобрать, – сказал Пьер.
– Пожалуйте, милости просим, братец покойника, – царство небесное! – Макар Алексеевич остались, да, как изволите знать, они в слабости, – сказал старый слуга.
Макар Алексеевич был, как знал Пьер, полусумасшедший, пивший запоем брат Иосифа Алексеевича.
– Да, да, знаю. Пойдем, пойдем… – сказал Пьер и вошел в дом. Высокий плешивый старый человек в халате, с красным носом, в калошах на босу ногу, стоял в передней; увидав Пьера, он сердито пробормотал что то и ушел в коридор.
– Большого ума были, а теперь, как изволите видеть, ослабели, – сказал Герасим. – В кабинет угодно? – Пьер кивнул головой. – Кабинет как был запечатан, так и остался. Софья Даниловна приказывали, ежели от вас придут, то отпустить книги.
Пьер вошел в тот самый мрачный кабинет, в который он еще при жизни благодетеля входил с таким трепетом. Кабинет этот, теперь запыленный и нетронутый со времени кончины Иосифа Алексеевича, был еще мрачнее.
Герасим открыл один ставень и на цыпочках вышел из комнаты. Пьер обошел кабинет, подошел к шкафу, в котором лежали рукописи, и достал одну из важнейших когда то святынь ордена. Это были подлинные шотландские акты с примечаниями и объяснениями благодетеля. Он сел за письменный запыленный стол и положил перед собой рукописи, раскрывал, закрывал их и, наконец, отодвинув их от себя, облокотившись головой на руки, задумался.
Несколько раз Герасим осторожно заглядывал в кабинет и видел, что Пьер сидел в том же положении. Прошло более двух часов. Герасим позволил себе пошуметь в дверях, чтоб обратить на себя внимание Пьера. Пьер не слышал его.
– Извозчика отпустить прикажете?
– Ах, да, – очнувшись, сказал Пьер, поспешно вставая. – Послушай, – сказал он, взяв Герасима за пуговицу сюртука и сверху вниз блестящими, влажными восторженными глазами глядя на старичка. – Послушай, ты знаешь, что завтра будет сражение?..
– Сказывали, – отвечал Герасим.
– Я прошу тебя никому не говорить, кто я. И сделай, что я скажу…
– Слушаюсь, – сказал Герасим. – Кушать прикажете?
– Нет, но мне другое нужно. Мне нужно крестьянское платье и пистолет, – сказал Пьер, неожиданно покраснев.
– Слушаю с, – подумав, сказал Герасим.
Весь остаток этого дня Пьер провел один в кабинете благодетеля, беспокойно шагая из одного угла в другой, как слышал Герасим, и что то сам с собой разговаривая, и ночевал на приготовленной ему тут же постели.
Герасим с привычкой слуги, видавшего много странных вещей на своем веку, принял переселение Пьера без удивления и, казалось, был доволен тем, что ему было кому услуживать. Он в тот же вечер, не спрашивая даже и самого себя, для чего это было нужно, достал Пьеру кафтан и шапку и обещал на другой день приобрести требуемый пистолет. Макар Алексеевич в этот вечер два раза, шлепая своими калошами, подходил к двери и останавливался, заискивающе глядя на Пьера. Но как только Пьер оборачивался к нему, он стыдливо и сердито запахивал свой халат и поспешно удалялся. В то время как Пьер в кучерском кафтане, приобретенном и выпаренном для него Герасимом, ходил с ним покупать пистолет у Сухаревой башни, он встретил Ростовых.
1 го сентября в ночь отдан приказ Кутузова об отступлении русских войск через Москву на Рязанскую дорогу.
Первые войска двинулись в ночь. Войска, шедшие ночью, не торопились и двигались медленно и степенно; но на рассвете двигавшиеся войска, подходя к Дорогомиловскому мосту, увидали впереди себя, на другой стороне, теснящиеся, спешащие по мосту и на той стороне поднимающиеся и запружающие улицы и переулки, и позади себя – напирающие, бесконечные массы войск. И беспричинная поспешность и тревога овладели войсками. Все бросилось вперед к мосту, на мост, в броды и в лодки. Кутузов велел обвезти себя задними улицами на ту сторону Москвы.
К десяти часам утра 2 го сентября в Дорогомиловском предместье оставались на просторе одни войска ариергарда. Армия была уже на той стороне Москвы и за Москвою.
