Гребень Дирака
Поделись знанием:
– Гей, Г'ишка, т'убку! – крикнул хриплый голос Васьки Денисова. – Ростов, вставай!
Ростов, протирая слипавшиеся глаза, поднял спутанную голову с жаркой подушки.
– А что поздно? – Поздно, 10 й час, – отвечал Наташин голос, и в соседней комнате послышалось шуршанье крахмаленных платьев, шопот и смех девичьих голосов, и в чуть растворенную дверь мелькнуло что то голубое, ленты, черные волоса и веселые лица. Это была Наташа с Соней и Петей, которые пришли наведаться, не встал ли.
– Николенька, вставай! – опять послышался голос Наташи у двери.
– Сейчас!
В это время Петя, в первой комнате, увидав и схватив сабли, и испытывая тот восторг, который испытывают мальчики, при виде воинственного старшего брата, и забыв, что сестрам неприлично видеть раздетых мужчин, отворил дверь.
– Это твоя сабля? – кричал он. Девочки отскочили. Денисов с испуганными глазами спрятал свои мохнатые ноги в одеяло, оглядываясь за помощью на товарища. Дверь пропустила Петю и опять затворилась. За дверью послышался смех.
(перенаправлено с «Ш-функция»)
Гребень Дирака — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций
- <math>\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)</math>
для некоторого заданного периода T.
Ряды Фурье
Очевидно, что ΔT(t) периодическая с периодом T. Поэтому
- <math>\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)</math>
для всех t. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции
- <math> \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \ </math>
где cn коэффициенты Фурье, равные
<math>c_n</math> <math>= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \ </math> <math>= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \ </math> <math>= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \ </math> <math>= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \ </math> <math>= \frac{1}{T}. \ </math>
В результате того, что все коэффициенты Фурье равны 1/T, получаем окончательное выражение
- <math>\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}</math>.
Напишите отзыв о статье "Гребень Дирака"
Ссылки
- Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised ed.), McGraw-Hill; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
- Córdoba, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics Т. 17: 191–196
Отрывок, характеризующий Гребень Дирака
В предшествующей комнате валялись сабли, сумки, ташки, раскрытые чемоданы, грязные сапоги. Вычищенные две пары со шпорами были только что поставлены у стенки. Слуги приносили умывальники, горячую воду для бритья и вычищенные платья. Пахло табаком и мужчинами.– Гей, Г'ишка, т'убку! – крикнул хриплый голос Васьки Денисова. – Ростов, вставай!
Ростов, протирая слипавшиеся глаза, поднял спутанную голову с жаркой подушки.
– А что поздно? – Поздно, 10 й час, – отвечал Наташин голос, и в соседней комнате послышалось шуршанье крахмаленных платьев, шопот и смех девичьих голосов, и в чуть растворенную дверь мелькнуло что то голубое, ленты, черные волоса и веселые лица. Это была Наташа с Соней и Петей, которые пришли наведаться, не встал ли.
– Николенька, вставай! – опять послышался голос Наташи у двери.
– Сейчас!
В это время Петя, в первой комнате, увидав и схватив сабли, и испытывая тот восторг, который испытывают мальчики, при виде воинственного старшего брата, и забыв, что сестрам неприлично видеть раздетых мужчин, отворил дверь.
– Это твоя сабля? – кричал он. Девочки отскочили. Денисов с испуганными глазами спрятал свои мохнатые ноги в одеяло, оглядываясь за помощью на товарища. Дверь пропустила Петю и опять затворилась. За дверью послышался смех.
