Метрическое пространство

Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором между любой парой элементов определено обладающее определенными свойствами расстояние, называемое ме́трикой.

Определения

Метрическое пространство есть пара <math> (X,\;d)</math>, где <math>X</math> — множество, а <math>d</math> — числовая функция, которая определена на декартовом произведении <math>X\times X</math>, принимает значения в множестве вещественных чисел, и такова, что

1. <math>d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (аксиома тождества).
2. <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (аксиома симметрии).
3. <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

• множество <math> X</math> называется подлежащим множеством метрического пространства.
• элементы множества <math> X</math> называются точками метрического пространства.
• функция <math>d</math> называется метрикой.

Замечания

• Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

  <math>0=d(x,\;x)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;x)=2{\cdot}d(x,\;y)</math>.

• Если неравенство треугольника представить в виде

  <math>d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(y,z)</math> для всех <math>x,y</math> и <math>z</math>,

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

Обозначения

Обычно расстояние между точками <math>x</math> и <math>y</math> в метрическом пространстве <math>M</math> обозначается <math>d(x,\;y)</math> или <math>\rho(x,\;y)</math>.

• В метрической геометрии принято обозначение <math>|xy|</math> или <math>|xy|_M</math>, если необходимо подчеркнуть что речь идет о <math>M</math>. Реже употребляются обозначения <math>|x-y|</math> и <math>|x-y|_M</math>.
• В классической геометрии приняты обозначения <math>XY</math> или <math>|XY|</math> (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

• Биекция между различными метрическими пространствами <math>(X,\;d_X)</math> и <math>(Y,\;d_Y)</math>, сохраняющая расстояния, называется изометрией; **В этом случае пространства <math>(X,\;d_X)</math> и <math>(Y,\;d_Y)</math> называются изометричными.
• Если <math>M</math> подмножество множества <math>X</math>, то, рассматривая сужение <math>d_M=d_X\Big|_M</math> метрики <math>d_X</math> на множество <math>M</math>, можно получить метрическое пространство <math>(M,\;d_M)</math>, которое называется подпространством пространства <math>(X,\;d)</math>.
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика <math>d</math> на <math>M</math> называется внутренней, если любые две точки <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к <math>d(x,\;y)</math>.
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> можно соединить кривой с длиной равной <math>d(x,\;y)</math>.
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

<math>B(x;\;r)=\{y\in M\mid d(x,\;y)<r\},</math>

где <math>x</math> есть точка в <math>M</math> и <math>r</math> — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество <math>O</math> является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние <math>d(x,\;S)</math> от точки <math>x</math> до подмножества <math>S</math> в <math>M</math> определяется по формуле:

<math>d(x,\;S)=\inf\{d(x,\;s)\mid s\in S\}.</math>

Тогда <math>d(x,\;S)=0</math>, только если <math>x</math> принадлежит замыканию <math>S</math>.

Примеры

• Дискретная метрика: <math>d(x,\;y)=0</math>, если <math>x=y</math>, и <math>d(x,\;y)=1</math> во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния <math>d(x,\;y)=|y-x|</math> и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: <math>d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|</math>, где <math>\mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots,p_n)</math>, <math>\mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)</math> — векторы.
• Пусть <math>F(X,\;Y)</math> — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства <math>X</math> в метрическое пространство <math>Y</math>. Расстояние между двумя отображениями <math>f_1</math> и <math>f_2</math> из этого пространства определяется как

  <math>d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.</math>

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве <math>X</math>.

В частном случае, когда <math>X</math> — компактное пространство, <math>Y</math> — числовая прямая, получается пространство <math>C(X)</math> всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть <math>L[a,\;b]</math>, <math>R[a,\;b]</math>, <math>C[a,\;b]</math> — пространства функций на отрезке <math>[a,\;b]</math>, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  <math>d(f_1,\;f_2)=\int\limits_a^b|f_1(x)-f_2(x)|\,dx.</math>

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций <math>C^k[a,\;b]</math> метрика вводится по формуле:

  <math>d_k(f_1,\;f_2)=\max\{d_0(f_1,\;f_2),\;d_0(f'_1,\;f'_2),\;\ldots,\;d_0(f^{(k)}_1,\;f^{(k)}_2)\},</math>

где <math>d_0</math> — метрика равномерной сходимости на <math>C[a,\;b]</math> (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  <math>d(x,\;y)=\|y-x\|</math>.

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

• Любое связное риманово многообразие <math>M</math> можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного графа <math>G</math> можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
• Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Множество компактных подмножеств <math>K(M)</math> любого метрического пространства <math>M</math> можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

<math>D(X,\;Y)=\inf \left\{ r \; \left| \; \begin{matrix} \forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,\;y)<r \\ \forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,\;y)<r \end{matrix} \right. \right\}.</math>

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. <math>d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=d_X(x_1,\;x_2)+d_Y(y_1,\;y_2);</math>
  2. <math>d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\sqrt{d_X(x_1,\;x_2)^2+d_Y(y_1,\;y_2)^2};</math>
  3. <math>d_{X\times Y}((x_1,\;y_1),\;(x_2,\;y_2))=\max\{d_X(x_1,\;x_2),\;d_Y(y_1,\;y_2)\}.</math>

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

• Для данного множества <math>M</math>, функция <math>d\colon M\times M\to\R</math> называется псевдометрикой или полуметрикой на <math>M</math> если для любых точек <math>x,\;y,\;z</math> из <math>M</math> она удовлетворяет следующим условиям:
  1. <math>d(x,\;x)=0;</math>
  2. <math>d(x,\;y)=d(y,\;x)</math> (симметрия);
  3. <math>d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)</math> (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в <math>M</math> могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве <math>M/\!\sim</math>, где <math>x\sim y\Leftrightarrow d(x,\;y)=0</math>.

• Для данного множества <math>M</math>, функция <math>d\colon M\times M\to\R</math> называется квазиметрикой если для любых точек <math>x,\;y,\;z</math> из <math>M</math> она удовлетворяет следующим условиям:
  1. <math>d(x,\;x)=0;</math>
  2. <math>d(x,\;y)\leqslant c\cdot d(y,\;x)</math> (квази симметрия);
  3. <math>d(x,\;z)\leqslant c\cdot (d(x,\;y)+d(y,\;z))</math> (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> в <math>M</math> <math>d(x,\;z)\leqslant\max(d(x,\;y),\;d(y,\;z))</math>.

• Иногда удобно рассматривать <math>\infty</math>-метрики, то есть метрики со значениями <math>[0;\;\infty]</math>. Для любой <math>\infty</math>-метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

  <math>d'(x,\;y)=\frac{d(x,\;y)}{1+d(x,\;y)}</math> или <math>d(x,\;y)=\min{(1,\;d(x,\;y))}.</math>

Также, для любой точки <math>x</math> такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой <math>x</math>. В частности, любое пространство с <math>\infty</math>-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным <math>\infty</math>.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

См. также

• Индуцированная метрика

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии
• Васильев Н. [kvant.mccme.ru/1990/01/metricheskie_prostranstva.htm Метрические пространства]. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. [kvant.mccme.ru/1970/10/metricheskie_prostranstva.htm Метрические пространства]. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.16.pdf Примеры метрических пространств] // [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php Библиотека «Математическое просвещение»]. — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. [ilib.mccme.ru/plm/ann/a38.htm Что такое расстояние?] // [ilib.mccme.ru/plm/ «Популярные лекции по математике»]. — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.

Отрывок, характеризующий Метрическое пространство

В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.
У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
Новостью дня в этот день в Петербурге была болезнь графини Безуховой. Графиня несколько дней тому назад неожиданно заболела, пропустила несколько собраний, которых она была украшением, и слышно было, что она никого не принимает и что вместо знаменитых петербургских докторов, обыкновенно лечивших ее, она вверилась какому то итальянскому доктору, лечившему ее каким то новым и необыкновенным способом.
Все очень хорошо знали, что болезнь прелестной графини происходила от неудобства выходить замуж сразу за двух мужей и что лечение итальянца состояло в устранении этого неудобства; но в присутствии Анны Павловны не только никто не смел думать об этом, но как будто никто и не знал этого.
– On dit que la pauvre comtesse est tres mal. Le medecin dit que c'est l'angine pectorale. [Говорят, что бедная графиня очень плоха. Доктор сказал, что это грудная болезнь.]
– L'angine? Oh, c'est une maladie terrible! [Грудная болезнь? О, это ужасная болезнь!]
– On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l'angine… [Говорят, что соперники примирились благодаря этой болезни.]
Слово angine повторялось с большим удовольствием.
– Le vieux comte est touchant a ce qu'on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Старый граф очень трогателен, говорят. Он заплакал, как дитя, когда доктор сказал, что случай опасный.]
– Oh, ce serait une perte terrible. C'est une femme ravissante. [О, это была бы большая потеря. Такая прелестная женщина.]
– Vous parlez de la pauvre comtesse, – сказала, подходя, Анна Павловна. – J'ai envoye savoir de ses nouvelles. On m'a dit qu'elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c'est la plus charmante femme du monde, – сказала Анна Павловна с улыбкой над своей восторженностью. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m'empeche pas de l'estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Вы говорите про бедную графиню… Я посылала узнавать о ее здоровье. Мне сказали, что ей немного лучше. О, без сомнения, это прелестнейшая женщина в мире. Мы принадлежим к различным лагерям, но это не мешает мне уважать ее по ее заслугам. Она так несчастна.] – прибавила Анна Павловна.
Полагая, что этими словами Анна Павловна слегка приподнимала завесу тайны над болезнью графини, один неосторожный молодой человек позволил себе выразить удивление в том, что не призваны известные врачи, а лечит графиню шарлатан, который может дать опасные средства.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes, – вдруг ядовито напустилась Анна Павловна на неопытного молодого человека. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C'est le medecin intime de la Reine d'Espagne. [Ваши известия могут быть вернее моих… но я из хороших источников знаю, что этот доктор очень ученый и искусный человек. Это лейб медик королевы испанской.] – И таким образом уничтожив молодого человека, Анна Павловна обратилась к Билибину, который в другом кружке, подобрав кожу и, видимо, сбираясь распустить ее, чтобы сказать un mot, говорил об австрийцах.
– Je trouve que c'est charmant! [Я нахожу, что это прелестно!] – говорил он про дипломатическую бумагу, при которой отосланы были в Вену австрийские знамена, взятые Витгенштейном, le heros de Petropol [героем Петрополя] (как его называли в Петербурге).
– Как, как это? – обратилась к нему Анна Павловна, возбуждая молчание для услышания mot, которое она уже знала.
И Билибин повторил следующие подлинные слова дипломатической депеши, им составленной:
– L'Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens, – сказал Билибин, – drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [Император отсылает австрийские знамена, дружеские и заблудшиеся знамена, которые он нашел вне настоящей дороги.] – докончил Билибин, распуская кожу.
– Charmant, charmant, [Прелестно, прелестно,] – сказал князь Василий.
– C'est la route de Varsovie peut etre, [Это варшавская дорога, может быть.] – громко и неожиданно сказал князь Ипполит. Все оглянулись на него, не понимая того, что он хотел сказать этим. Князь Ипполит тоже с веселым удивлением оглядывался вокруг себя. Он так же, как и другие, не понимал того, что значили сказанные им слова. Он во время своей дипломатической карьеры не раз замечал, что таким образом сказанные вдруг слова оказывались очень остроумны, и он на всякий случай сказал эти слова, первые пришедшие ему на язык. «Может, выйдет очень хорошо, – думал он, – а ежели не выйдет, они там сумеют это устроить». Действительно, в то время как воцарилось неловкое молчание, вошло то недостаточно патриотическое лицо, которого ждала для обращения Анна Павловна, и она, улыбаясь и погрозив пальцем Ипполиту, пригласила князя Василия к столу, и, поднося ему две свечи и рукопись, попросила его начать. Все замолкло.
– Всемилостивейший государь император! – строго провозгласил князь Василий и оглянул публику, как будто спрашивая, не имеет ли кто сказать что нибудь против этого. Но никто ничего не сказал. – «Первопрестольный град Москва, Новый Иерусалим, приемлет Христа своего, – вдруг ударил он на слове своего, – яко мать во объятия усердных сынов своих, и сквозь возникающую мглу, провидя блистательную славу твоея державы, поет в восторге: «Осанна, благословен грядый!» – Князь Василий плачущим голосом произнес эти последние слова.
Билибин рассматривал внимательно свои ногти, и многие, видимо, робели, как бы спрашивая, в чем же они виноваты? Анна Павловна шепотом повторяла уже вперед, как старушка молитву причастия: «Пусть дерзкий и наглый Голиаф…» – прошептала она.
Князь Василий продолжал:
– «Пусть дерзкий и наглый Голиаф от пределов Франции обносит на краях России смертоносные ужасы; кроткая вера, сия праща российского Давида, сразит внезапно главу кровожаждущей его гордыни. Се образ преподобного Сергия, древнего ревнителя о благе нашего отечества, приносится вашему императорскому величеству. Болезную, что слабеющие мои силы препятствуют мне насладиться любезнейшим вашим лицезрением. Теплые воссылаю к небесам молитвы, да всесильный возвеличит род правых и исполнит во благих желания вашего величества».
– Quelle force! Quel style! [Какая сила! Какой слог!] – послышались похвалы чтецу и сочинителю. Воодушевленные этой речью, гости Анны Павловны долго еще говорили о положении отечества и делали различные предположения об исходе сражения, которое на днях должно было быть дано.
– Vous verrez, [Вы увидите.] – сказала Анна Павловна, – что завтра, в день рождения государя, мы получим известие. У меня есть хорошее предчувствие.


Предчувствие Анны Павловны действительно оправдалось. На другой день, во время молебствия во дворце по случаю дня рождения государя, князь Волконский был вызван из церкви и получил конверт от князя Кутузова. Это было донесение Кутузова, писанное в день сражения из Татариновой. Кутузов писал, что русские не отступили ни на шаг, что французы потеряли гораздо более нашего, что он доносит второпях с поля сражения, не успев еще собрать последних сведений. Стало быть, это была победа. И тотчас же, не выходя из храма, была воздана творцу благодарность за его помощь и за победу.
Предчувствие Анны Павловны оправдалось, и в городе все утро царствовало радостно праздничное настроение духа. Все признавали победу совершенною, и некоторые уже говорили о пленении самого Наполеона, о низложении его и избрании новой главы для Франции.
Вдали от дела и среди условий придворной жизни весьма трудно, чтобы события отражались во всей их полноте и силе. Невольно события общие группируются около одного какого нибудь частного случая. Так теперь главная радость придворных заключалась столько же в том, что мы победили, сколько и в том, что известие об этой победе пришлось именно в день рождения государя. Это было как удавшийся сюрприз. В известии Кутузова сказано было тоже о потерях русских, и в числе их названы Тучков, Багратион, Кутайсов. Тоже и печальная сторона события невольно в здешнем, петербургском мире сгруппировалась около одного события – смерти Кутайсова. Его все знали, государь любил его, он был молод и интересен. В этот день все встречались с словами:
– Как удивительно случилось. В самый молебен. А какая потеря Кутайсов! Ах, как жаль!
– Что я вам говорил про Кутузова? – говорил теперь князь Василий с гордостью пророка. – Я говорил всегда, что он один способен победить Наполеона.