Экспонента
Экспоне́нта — показательная функция <math>f(x)=\exp(x)=e^x</math>, где <math>e</math> — число Эйлера<math>(e \approx 2,718)</math>.
Содержание
Определение
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:
- <math>e^x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
или через предел:
<math>e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n</math>
Здесь <math>x</math> — любое комплексное число.
Свойства
- <math>(e^x)'=e^x</math>, а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения <math>y'=y</math> с начальными данными <math>y(0)=1</math>. Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
- Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
- Экспонента — выпуклая функция.
- Обратная функция к ней — натуральный логарифм <math>(\ln x)</math>.
- Фурье-образ экспоненты не существует.
- Однако преобразование Лапласа существует.
- Производная в нуле равна <math>1</math>, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом <math>45^{\circ} ~ \Big( \frac{\pi}{4} \Big)</math>.
- Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
- <math>\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)</math>.
- Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна <math>0</math>, либо имеет вид <math>\exp(cx)</math>, где <math>c</math> — некоторая константа.
- <math>e^x = \sinh x + \cosh x</math>, где <math>\sinh</math> и <math>\cosh</math> — гиперболические синус и косинус.
Комплексная экспонента
Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением <math>f(z)=e^z</math>, где <math>z</math> есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты <math>f(x)=e^x</math> вещественного переменного <math>x</math>:
Определим формальное выражение
<math>e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}</math>.
Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции <math>e^z</math>, то есть показать, что <math>e^z</math> разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:
<math>f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math>
Сходимость данного ряда легко доказывается:
<math>\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{|x|^n}{n!} =e^{|x|}</math>.
Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции <math>f(z)=e^z</math>. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция <math>e^z</math> всюду определена и аналитична.
Свойства
- Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
- <math>e^z</math> — периодическая функция с основным периодом 2πi: <math>e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}</math>. В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой <math>2 \pi</math>.
- <math>e^z</math> — единственная функция, производная (а также соответственно и интеграл) которой равен самой себе.
- Алгебраически экспонента от комплексного аргумента <math>z=x+iy</math> может быть определена следующим образом:
- <math>e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos \, y + i\sin \, y)</math> (формула Эйлера)
- В частности, имеет место (тождество Эйлера),
- <math>e^{i\pi}+1=0</math>
Вариации и обобщения
Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.
Матричная экспонента
Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:
- <math>\exp A=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}.</math>
Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора <math>A</math> с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы <math>A:</math> <math>\exp \|A\|.</math> Следовательно, экспонента от матрицы <math>A \in \Bbb{R}^{n\times n}</math> всегда определена и сама является матрицей.
С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение <math>\dot x=Ax, ~~~ x\in \mathbb R^n</math> с начальным условием <math>x(0)=x_0</math> имеет своим решением <math>x(t)=\exp (At) x_0.</math>
h-экспонента
Введение <math>h</math>-экспоненты основано на втором замечательном пределе:
<math>e_{h}(x)=(1+h)^\frac{x}{h}.</math>
При <math>h\to 0</math> получается обычная экспонента[1].
Обратная функция
Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается <math>\ln x</math>:
<math>\ln x = \log_{e} x.</math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Экспонента"
Литература
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
- Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
Ссылки
- "[ru.yasno.tv/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-prosto-i-ponyatno Экспонента и число е: просто и понятно]" — перевод статьи [betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained] (англ.)
Примечания
- ↑ [www.essuir.sumdu.edu.ua/bitstream/123456789/2746/1/Statistical%20field%20theories%20deformed%20within%20different%20calculi.pdf A.I. Olemskoi, S.S. Borysov,a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi]
Отрывок, характеризующий Экспонента
Пьеру он ничего не сказал, только пожал с чувством его руку пониже плеча. Пьер с Анной Михайловной прошли в petit salon. [маленькую гостиную.]– II n'y a rien qui restaure, comme une tasse de cet excellent the russe apres une nuit blanche, [Ничто так не восстановляет после бессонной ночи, как чашка этого превосходного русского чаю.] – говорил Лоррен с выражением сдержанной оживленности, отхлебывая из тонкой, без ручки, китайской чашки, стоя в маленькой круглой гостиной перед столом, на котором стоял чайный прибор и холодный ужин. Около стола собрались, чтобы подкрепить свои силы, все бывшие в эту ночь в доме графа Безухого. Пьер хорошо помнил эту маленькую круглую гостиную, с зеркалами и маленькими столиками. Во время балов в доме графа, Пьер, не умевший танцовать, любил сидеть в этой маленькой зеркальной и наблюдать, как дамы в бальных туалетах, брильянтах и жемчугах на голых плечах, проходя через эту комнату, оглядывали себя в ярко освещенные зеркала, несколько раз повторявшие их отражения. Теперь та же комната была едва освещена двумя свечами, и среди ночи на одном маленьком столике беспорядочно стояли чайный прибор и блюда, и разнообразные, непраздничные люди, шопотом переговариваясь, сидели в ней, каждым движением, каждым словом показывая, что никто не забывает и того, что делается теперь и имеет еще совершиться в спальне. Пьер не стал есть, хотя ему и очень хотелось. Он оглянулся вопросительно на свою руководительницу и увидел, что она на цыпочках выходила опять в приемную, где остался князь Василий с старшею княжной. Пьер полагал, что и это было так нужно, и, помедлив немного, пошел за ней. Анна Михайловна стояла подле княжны, и обе они в одно время говорили взволнованным шопотом:
– Позвольте мне, княгиня, знать, что нужно и что ненужно, – говорила княжна, видимо, находясь в том же взволнованном состоянии, в каком она была в то время, как захлопывала дверь своей комнаты.
– Но, милая княжна, – кротко и убедительно говорила Анна Михайловна, заступая дорогу от спальни и не пуская княжну, – не будет ли это слишком тяжело для бедного дядюшки в такие минуты, когда ему нужен отдых? В такие минуты разговор о мирском, когда его душа уже приготовлена…
Князь Василий сидел на кресле, в своей фамильярной позе, высоко заложив ногу на ногу. Щеки его сильно перепрыгивали и, опустившись, казались толще внизу; но он имел вид человека, мало занятого разговором двух дам.
– Voyons, ma bonne Анна Михайловна, laissez faire Catiche. [Оставьте Катю делать, что она знает.] Вы знаете, как граф ее любит.
– Я и не знаю, что в этой бумаге, – говорила княжна, обращаясь к князю Василью и указывая на мозаиковый портфель, который она держала в руках. – Я знаю только, что настоящее завещание у него в бюро, а это забытая бумага…
Она хотела обойти Анну Михайловну, но Анна Михайловна, подпрыгнув, опять загородила ей дорогу.
– Я знаю, милая, добрая княжна, – сказала Анна Михайловна, хватаясь рукой за портфель и так крепко, что видно было, она не скоро его пустит. – Милая княжна, я вас прошу, я вас умоляю, пожалейте его. Je vous en conjure… [Умоляю вас…]
Княжна молчала. Слышны были только звуки усилий борьбы зa портфель. Видно было, что ежели она заговорит, то заговорит не лестно для Анны Михайловны. Анна Михайловна держала крепко, но, несмотря на то, голос ее удерживал всю свою сладкую тягучесть и мягкость.
– Пьер, подойдите сюда, мой друг. Я думаю, что он не лишний в родственном совете: не правда ли, князь?
– Что же вы молчите, mon cousin? – вдруг вскрикнула княжна так громко, что в гостиной услыхали и испугались ее голоса. – Что вы молчите, когда здесь Бог знает кто позволяет себе вмешиваться и делать сцены на пороге комнаты умирающего. Интриганка! – прошептала она злобно и дернула портфель изо всей силы.
Но Анна Михайловна сделала несколько шагов, чтобы не отстать от портфеля, и перехватила руку.
– Oh! – сказал князь Василий укоризненно и удивленно. Он встал. – C'est ridicule. Voyons, [Это смешно. Ну, же,] пустите. Я вам говорю.
Княжна пустила.
– И вы!
Анна Михайловна не послушалась его.
– Пустите, я вам говорю. Я беру всё на себя. Я пойду и спрошу его. Я… довольно вам этого.
– Mais, mon prince, [Но, князь,] – говорила Анна Михайловна, – после такого великого таинства дайте ему минуту покоя. Вот, Пьер, скажите ваше мнение, – обратилась она к молодому человеку, который, вплоть подойдя к ним, удивленно смотрел на озлобленное, потерявшее всё приличие лицо княжны и на перепрыгивающие щеки князя Василья.
– Помните, что вы будете отвечать за все последствия, – строго сказал князь Василий, – вы не знаете, что вы делаете.
– Мерзкая женщина! – вскрикнула княжна, неожиданно бросаясь на Анну Михайловну и вырывая портфель.
Князь Василий опустил голову и развел руками.
В эту минуту дверь, та страшная дверь, на которую так долго смотрел Пьер и которая так тихо отворялась, быстро, с шумом откинулась, стукнув об стену, и средняя княжна выбежала оттуда и всплеснула руками.
– Что вы делаете! – отчаянно проговорила она. – II s'en va et vous me laissez seule. [Он умирает, а вы меня оставляете одну.]
Старшая княжна выронила портфель. Анна Михайловна быстро нагнулась и, подхватив спорную вещь, побежала в спальню. Старшая княжна и князь Василий, опомнившись, пошли за ней. Через несколько минут первая вышла оттуда старшая княжна с бледным и сухим лицом и прикушенною нижнею губой. При виде Пьера лицо ее выразило неудержимую злобу.
– Да, радуйтесь теперь, – сказала она, – вы этого ждали.
И, зарыдав, она закрыла лицо платком и выбежала из комнаты.
За княжной вышел князь Василий. Он, шатаясь, дошел до дивана, на котором сидел Пьер, и упал на него, закрыв глаза рукой. Пьер заметил, что он был бледен и что нижняя челюсть его прыгала и тряслась, как в лихорадочной дрожи.
– Ах, мой друг! – сказал он, взяв Пьера за локоть; и в голосе его была искренность и слабость, которых Пьер никогда прежде не замечал в нем. – Сколько мы грешим, сколько мы обманываем, и всё для чего? Мне шестой десяток, мой друг… Ведь мне… Всё кончится смертью, всё. Смерть ужасна. – Он заплакал.
