Электрическая ёмкость
| Электрическая ёмкость | |
| <math>C</math> | |
| Размерность |
L-2M-1T4I2 |
|---|---|
| Единицы измерения | |
| СИ | |
| СГС | |
Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками[1].
В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, в системе СГС — в сантиметрах.
Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид
- <math>C = \frac{Q}{\varphi},</math>
где <math>Q</math> — заряд, <math>\varphi</math> — потенциал проводника.
Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):
- <math>C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R,</math>
где ε0 — электрическая постоянная, равная 8,854·10−12 Ф/м, εr — относительная диэлектрическая проницаемость.
|
Вывод формулы
Известно, что <math>\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 E\,dl \Rightarrow \varphi = \int_R^\mathcal{1} E\,dl = \frac {1} {4 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0} \int_R^\mathcal{1} \frac {q} {r^2}\,dr = \frac {1} {4 \pi \varepsilon \varepsilon_0} \frac {q} {R}.</math> Так как <math> C= \frac {q} {\varphi} </math>, то подставив сюда найденный <math>\varphi</math>, получим, что <math>C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R.</math> |
Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:
- <math>C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac S d,</math>
где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, εr — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.
Содержание
Электрическая ёмкость некоторых систем
Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇2φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.
В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца—Кристоффеля.
| Вид | Ёмкость | Комментарий |
|---|---|---|
| Плоский конденсатор | <math> \frac {\varepsilon S} { 4 \pi d} </math> | S: Площадь d: Расстояние |
| Коаксиальный кабель | <math> \frac{2\pi \varepsilon l}{\ln \left( R_{2}/R_{1}\right) } </math> | l: Длина R1: Радиус R2: Радиус |
| Две параллельные проволоки[2] | <math>\frac{\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) }=\frac{\pi \varepsilon l}{\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) }</math> | a: Радиус d: Расстояние, d > 2a |
| Проволока параллельна стене[2] | <math>\frac{2\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right) }=\frac{2\pi \varepsilon l}{\ln \left( \frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) }</math> | a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина |
| Две параллельные копланарные полосы[3] |
<math>\varepsilon l \frac{ K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{ K\left(k \right) }</math> | d: Расстояние w1, w2: Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 |
| Два концентрических шара | <math> \frac{4\pi \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}} </math> | R1: Радиус R2: Радиус |
| Два шара, тот же самый радиус[4][5] |
<math>2\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right) } </math> <math>=2\pi \varepsilon a\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}</math> <math>=2\pi \varepsilon a\left\{ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\}</math> |
a: Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера |
| Шар вблизи стены[4] | <math>4\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) } </math> | a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a |
| Шар | <math> 4\pi \varepsilon a </math> | a: Радиус |
| Круглый диск[6] | <math> 8\varepsilon a </math> | a: Радиус |
| Тонкая прямая проволока, ограниченная длина[7][8][9] |
<math> \frac{2\pi \varepsilon l}{\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} </math> | a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a) |
Эластанс
Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ. [10]
См. также
Напишите отзыв о статье "Электрическая ёмкость"
Примечания
- ↑ Шакирзянов Ф. Н. [www.femto.com.ua/articles/part_1/1161.html Ёмкость электрическая] // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28-29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
- ↑ 1 2 Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — Wiley, 1975. — P. 80.
- ↑ Analysis and computation of electric and magnetic field problems. — Pergamon Press, 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4.
- ↑ 1 2 Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. — Dover, 1873. — P. 266 ff. — ISBN 0-486-60637-6.
- ↑ Rawlins, A. D. (1985). «Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres». IMA Journal of Applied Mathematics 34 (1): 119–120. DOI:10.1093/imamat/34.1.119.
- ↑ Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — Wiley, 1975. — P. 128, problem 3.3.
- ↑ Maxwell, J. C. (1878). «On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness». Proc. London Math. Soc. IX: 94–101. DOI:10.1112/plms/s1-9.1.94.
- ↑ Vainshtein, L. A. (1962). «Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas». Zh. Tekh. Fiz. 32: 1165–1173.
- ↑ Jackson, J. D. (2000). «Charge density on thin straight wire, revisited». Am. J. Phys 68 (9): 789–799. DOI:10.1119/1.1302908. .
- ↑ Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509.
Литература
- Боргман И. И.,. Электроёмкость // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики.. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87-88. — 496 с. — 220 000 экз.
- Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Электрическая ёмкость
Вернувшись поздно вечером, Соня вошла в комнату Наташи и, к удивлению своему, нашла ее не раздетою, спящею на диване. На столе подле нее лежало открытое письмо Анатоля. Соня взяла письмо и стала читать его.
Она читала и взглядывала на спящую Наташу, на лице ее отыскивая объяснения того, что она читала, и не находила его. Лицо было тихое, кроткое и счастливое. Схватившись за грудь, чтобы не задохнуться, Соня, бледная и дрожащая от страха и волнения, села на кресло и залилась слезами.
«Как я не видала ничего? Как могло это зайти так далеко? Неужели она разлюбила князя Андрея? И как могла она допустить до этого Курагина? Он обманщик и злодей, это ясно. Что будет с Nicolas, с милым, благородным Nicolas, когда он узнает про это? Так вот что значило ее взволнованное, решительное и неестественное лицо третьего дня, и вчера, и нынче, думала Соня; но не может быть, чтобы она любила его! Вероятно, не зная от кого, она распечатала это письмо. Вероятно, она оскорблена. Она не может этого сделать!»
Соня утерла слезы и подошла к Наташе, опять вглядываясь в ее лицо.
– Наташа! – сказала она чуть слышно.
Наташа проснулась и увидала Соню.
– А, вернулась?
И с решительностью и нежностью, которая бывает в минуты пробуждения, она обняла подругу, но заметив смущение на лице Сони, лицо Наташи выразило смущение и подозрительность.
– Соня, ты прочла письмо? – сказала она.
– Да, – тихо сказала Соня.
Наташа восторженно улыбнулась.
– Нет, Соня, я не могу больше! – сказала она. – Я не могу больше скрывать от тебя. Ты знаешь, мы любим друг друга!… Соня, голубчик, он пишет… Соня…
Соня, как бы не веря своим ушам, смотрела во все глаза на Наташу.
– А Болконский? – сказала она.
– Ах, Соня, ах коли бы ты могла знать, как я счастлива! – сказала Наташа. – Ты не знаешь, что такое любовь…
– Но, Наташа, неужели то всё кончено?
Наташа большими, открытыми глазами смотрела на Соню, как будто не понимая ее вопроса.
– Что ж, ты отказываешь князю Андрею? – сказала Соня.
– Ах, ты ничего не понимаешь, ты не говори глупости, ты слушай, – с мгновенной досадой сказала Наташа.
– Нет, я не могу этому верить, – повторила Соня. – Я не понимаю. Как же ты год целый любила одного человека и вдруг… Ведь ты только три раза видела его. Наташа, я тебе не верю, ты шалишь. В три дня забыть всё и так…
– Три дня, – сказала Наташа. – Мне кажется, я сто лет люблю его. Мне кажется, что я никого никогда не любила прежде его. Ты этого не можешь понять. Соня, постой, садись тут. – Наташа обняла и поцеловала ее.
– Мне говорили, что это бывает и ты верно слышала, но я теперь только испытала эту любовь. Это не то, что прежде. Как только я увидала его, я почувствовала, что он мой властелин, и я раба его, и что я не могу не любить его. Да, раба! Что он мне велит, то я и сделаю. Ты не понимаешь этого. Что ж мне делать? Что ж мне делать, Соня? – говорила Наташа с счастливым и испуганным лицом.
– Но ты подумай, что ты делаешь, – говорила Соня, – я не могу этого так оставить. Эти тайные письма… Как ты могла его допустить до этого? – говорила она с ужасом и с отвращением, которое она с трудом скрывала.
– Я тебе говорила, – отвечала Наташа, – что у меня нет воли, как ты не понимаешь этого: я его люблю!
– Так я не допущу до этого, я расскажу, – с прорвавшимися слезами вскрикнула Соня.
– Что ты, ради Бога… Ежели ты расскажешь, ты мой враг, – заговорила Наташа. – Ты хочешь моего несчастия, ты хочешь, чтоб нас разлучили…
Увидав этот страх Наташи, Соня заплакала слезами стыда и жалости за свою подругу.
– Но что было между вами? – спросила она. – Что он говорил тебе? Зачем он не ездит в дом?
Наташа не отвечала на ее вопрос.
– Ради Бога, Соня, никому не говори, не мучай меня, – упрашивала Наташа. – Ты помни, что нельзя вмешиваться в такие дела. Я тебе открыла…
– Но зачем эти тайны! Отчего же он не ездит в дом? – спрашивала Соня. – Отчего он прямо не ищет твоей руки? Ведь князь Андрей дал тебе полную свободу, ежели уж так; но я не верю этому. Наташа, ты подумала, какие могут быть тайные причины ?
Наташа удивленными глазами смотрела на Соню. Видно, ей самой в первый раз представлялся этот вопрос и она не знала, что отвечать на него.
– Какие причины, не знаю. Но стало быть есть причины!
Соня вздохнула и недоверчиво покачала головой.
– Ежели бы были причины… – начала она. Но Наташа угадывая ее сомнение, испуганно перебила ее.
– Соня, нельзя сомневаться в нем, нельзя, нельзя, ты понимаешь ли? – прокричала она.
– Любит ли он тебя?
– Любит ли? – повторила Наташа с улыбкой сожаления о непонятливости своей подруги. – Ведь ты прочла письмо, ты видела его?
– Но если он неблагородный человек?
– Он!… неблагородный человек? Коли бы ты знала! – говорила Наташа.
– Если он благородный человек, то он или должен объявить свое намерение, или перестать видеться с тобой; и ежели ты не хочешь этого сделать, то я сделаю это, я напишу ему, я скажу папа, – решительно сказала Соня.
– Да я жить не могу без него! – закричала Наташа.
– Наташа, я не понимаю тебя. И что ты говоришь! Вспомни об отце, о Nicolas.
– Мне никого не нужно, я никого не люблю, кроме его. Как ты смеешь говорить, что он неблагороден? Ты разве не знаешь, что я его люблю? – кричала Наташа. – Соня, уйди, я не хочу с тобой ссориться, уйди, ради Бога уйди: ты видишь, как я мучаюсь, – злобно кричала Наташа сдержанно раздраженным и отчаянным голосом. Соня разрыдалась и выбежала из комнаты.
Наташа подошла к столу и, не думав ни минуты, написала тот ответ княжне Марье, который она не могла написать целое утро. В письме этом она коротко писала княжне Марье, что все недоразуменья их кончены, что, пользуясь великодушием князя Андрея, который уезжая дал ей свободу, она просит ее забыть всё и простить ее ежели она перед нею виновата, но что она не может быть его женой. Всё это ей казалось так легко, просто и ясно в эту минуту.
В пятницу Ростовы должны были ехать в деревню, а граф в среду поехал с покупщиком в свою подмосковную.
В день отъезда графа, Соня с Наташей были званы на большой обед к Карагиным, и Марья Дмитриевна повезла их. На обеде этом Наташа опять встретилась с Анатолем, и Соня заметила, что Наташа говорила с ним что то, желая не быть услышанной, и всё время обеда была еще более взволнована, чем прежде. Когда они вернулись домой, Наташа начала первая с Соней то объяснение, которого ждала ее подруга.
– Вот ты, Соня, говорила разные глупости про него, – начала Наташа кротким голосом, тем голосом, которым говорят дети, когда хотят, чтобы их похвалили. – Мы объяснились с ним нынче.
– Ну, что же, что? Ну что ж он сказал? Наташа, как я рада, что ты не сердишься на меня. Говори мне всё, всю правду. Что же он сказал?
Наташа задумалась.
– Ах Соня, если бы ты знала его так, как я! Он сказал… Он спрашивал меня о том, как я обещала Болконскому. Он обрадовался, что от меня зависит отказать ему.
Соня грустно вздохнула.
– Но ведь ты не отказала Болконскому, – сказала она.
