Элементарная алгебра

Элемента́рная а́лгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.

Основные понятия

В алгебре принято записывать математические выражения (формулы) в самом общем виде, заменяя конкретные числа на буквенные символы, благодаря чему при решении однотипных задач достигается максимальная общность результата. Основным содержанием алгебры являются правила тождественных преобразований формул, необходимые для решения уравнений, анализа зависимостей, оптимизации изучаемой системы и других практических задач.

Кроме букв и чисел, в формулах элементарной алгебры используются арифметические операции: (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и элементарные функции (логарифм, тригонометрические функции). Две формулы, соединённые знаком равенства, называются уравнением.

Если символ операции между двумя выражениями не указан, подразумевается умножение:

<math>ab = a \cdot b; \;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x; \; \pi(a^2+b^2)= \pi\cdot (a^2+b^2)</math>

Пример формулы: площадь треугольника <math>S</math> следующим образом выражается через длину одной из сторон <math>a</math> и длину высоты <math>h</math>, опущенной на сторону <math>a</math>:

<math>S = {1 \over 2} a h</math>

Простейшее алгебраическое выражение — это одночлен, состоящий из числового множителя, умноженного на один или более буквенных символов. Примеры:

<math>1{,}2\ x; \; \sqrt{2}abc^2; \; x^2w</math>

Алгебраические суммы (то есть суммы и/или разности) одночленов называются многочленами. Выражения, имеющие вид частного от деления одного многочлена на другой, называется алгебраической дробью. Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями — разложение числителя и знаменателя на множители, приведение нескольких дробей к общему знаменателю, сокращение числителя и знаменателя на общий множитель и т. п.

Законы элементарной алгебры

Вычисление значения выражения

Порядок выполнения операций указывается скобками. Если скобок нет, то приоритетность, в порядке убывания, следующая.

1. Возведение в степень.
2. Вычисление функции.
3. Умножение и деление.
4. Сложение и вычитание.

Примеры:

• <math>a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}</math>
• <math>\sin x^2 = \sin (x^2)</math>
• <math>\sin a + b = (\sin a) + b</math>

При вычислении значения выражения вместо буквенных символов подставляют их числовые значения, соответствующие конкретной задаче. Множество числовых значений, при которых выражение имеет смысл, называется областью допустимых значений этого выражения. Пример: для выражения <math>\frac{a+b}{a-b}</math> область допустимых значений — все пары <math>a, b</math>, в которых <math>a \ne b</math>.

Свойства операций

• Коммутативность (перестановочное свойство) сложения:

<math>a + b = b + a. \ </math>

• Вычитание есть действие, обратное сложению.
• Вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b:

<math> a - b = a + (-b). \ </math>

• Коммутативность (перестановочное свойство) умножения:

<math> a \cdot b = b \cdot a \ </math>

• Деление есть действие, обратное умножению.
• Деление на нуль невозможно.
• Деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:

<math> {a \over b} = a \left( {1 \over b} \right). </math>

• Возведение в степень не коммутативно. Поэтому у него имеются две обратные операции: извлечение корня и логарифмирование.
  • Пример: если <math>3^x = 10</math>, то <math>x = \log_3 10 .</math> Если <math>x^{2} = 10</math>, то <math>x=\sqrt{10}.</math>
• Корень чётной степени из отрицательного числа не существует (среди вещественных чисел). См. комплексные числа.
• Ассоциативное (сочетательное) свойство сложения: <math>(a + b) + c = a + (b + c).</math>
• Ассоциативное (сочетательное) свойство умножения: <math>(ab)c = a(bc).</math>
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для умножения: <math>c(a + b) = ca + cb.</math>
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для возведения в степень: <math>(a b)^c = a^c b^c .</math>
• Сложение показателей степени: <math> a^b a^c = a^{b+c} .</math>
• Умножение показателей степени: <math> (a^b)^c = a^{bc} .</math>

Свойства равенства

• Если <math>a = b</math> и <math>b = c</math>, то <math>a = c</math> (транзитивность равенства).
• <math>a = a</math> (рефлексивность).
• Если <math>a = b</math>, то <math>b = a</math> (симметричность).

Другие законы

• Если <math>a = b</math> и <math>c = d</math>, то <math>a + c = b + d.</math> (аддитивность равенства)
  • Если <math>a = b</math>, то <math>a + c = b + c</math> для любого c
• Если <math>a = b</math> и <math>c = d</math>, то <math>ac</math> = <math>bd.</math> (мультипликативность равенства)
  • Если <math>a = b</math>, то <math>ac = bc</math> для любого c
• Если значения двух символов совпадают, то вместо одного можно подставить другой (принцип подстановки).
• Если <math>a > b</math> и <math>b > c</math>, то <math>a > c</math> (транзитивность порядка).
• Если <math>a > b</math>, то <math>a + c > b + c</math> для любого c.
• Если <math>a > b</math> и <math>c > 0</math>, то <math>ac > bc.</math>
• Если <math>a > b</math> и <math>c < 0</math>, то <math>ac < bc.</math>

Некоторые алгебраические тождества

См. также: Бином Ньютона