Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий — множество <math>\Omega</math> всех различных исходов случайного эксперимента.

Элемент этого множества <math>\omega \in \Omega</math> называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его элементов конечно или счётно. Любое пространство элементарных событий, не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произносить случайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называется непрерывным (континуум). Пространство элементарных событий <math>\Omega</math> вместе с алгеброй событий <math>\mathcal{F}</math> и вероятностью <math>\mathbf{P}</math> образует тройку <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})</math>, которая называется вероятностным пространством.

Элементарное событие

В теории вероятностей элементарные события или события-атомы — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Множество всех элементарных событий обычно обозначается <math>\Omega</math>.

Всякое подмножество множества <math>\Omega</math> элементарных событий называется случайным событием. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.

В определении вероятностного пространства на множестве случайных событий вводится сигма-аддитивная конечная мера, называемая вероятностью.

Элементарные события могут иметь вероятности, которые строго положительны, нули, неопределенны, или любая комбинация из этих вариантов. Например, любое дискретное вероятностное распределение определяется вероятностями того, что может быть названо элементарными событиями. Напротив, все элементарные события имеют вероятность нуль для непрерывного распределения. Смешанные распределения, не будучи ни непрерывными, ни дискретными, могут содержать атомы, которые могут мыслиться как элементарные (то есть события-атомы) события с ненулевой вероятностью. В теории меры в определении вероятностного пространства вероятность произвольного элементарного события не могла быть определена до тех пор, пока математики не увидели различие между пространством исходов S и событиями, которые представляют интерес, и которые определяются как элементы σ-алгебры событий из S.

Формально говоря, элементарное событие — это подмножество пространства исходов случайного эксперимента, которое состоит только из одного элемента; то есть элементарное событие — это всё ещё множество, но не сам элемент. Однако элементарные события обычно записываются как элементы, а не как множества с целью упрощения, когда это не может вызвать недоразумения.

Примеры

Примеры пространств исходов эксперимента, <math>\Omega</math>, и элементарных событий:

• Если объекты счётны, а пространство исходов <math>\Omega = \{0, 1, 2, 3, ...\}</math> (натуральные числа), то элементарные события — это любые множества <math>\{ k\}</math>, где <math> k\in \mathbb{N}</math>.
• Если монета бросается дважды, <math>\Omega =\{ OO, OP, PO, PP\}</math>, <math>O</math> для орла, а <math>P</math> для решки, то элементарные события: <math>\{ OO\}</math>, <math>\{ OP\}</math>, <math>\{ PO\}</math> и <math>\{ PP\}</math>.
• Если <math>X</math> — это нормально распределенные случайные величины, <math>\Omega = \{ - \infty ; \infty \}</math>, реальные числа, то элементарные события — любые множества <math>\{ x\}</math>, где <math>x\in \mathbb{R}</math>. Этот пример показывает, что непрерывное вероятностное распределение не определяется вероятностями событий-атомов, поскольку здесь вероятности всех элементарных событий равны нулю.

См. также

• Аксиоматика Колмогорова
• Событие (теория вероятностей)
• Алгебра событий

Отрывок, характеризующий Пространство элементарных событий

Такова судьба не великих людей, не grand homme, которых не признает русский ум, а судьба тех редких, всегда одиноких людей, которые, постигая волю провидения, подчиняют ей свою личную волю. Ненависть и презрение толпы наказывают этих людей за прозрение высших законов.
Для русских историков – странно и страшно сказать – Наполеон – это ничтожнейшее орудие истории – никогда и нигде, даже в изгнании, не выказавший человеческого достоинства, – Наполеон есть предмет восхищения и восторга; он grand. Кутузов же, тот человек, который от начала и до конца своей деятельности в 1812 году, от Бородина и до Вильны, ни разу ни одним действием, ни словом не изменяя себе, являет необычайный s истории пример самоотвержения и сознания в настоящем будущего значения события, – Кутузов представляется им чем то неопределенным и жалким, и, говоря о Кутузове и 12 м годе, им всегда как будто немножко стыдно.
А между тем трудно себе представить историческое лицо, деятельность которого так неизменно постоянно была бы направлена к одной и той же цели. Трудно вообразить себе цель, более достойную и более совпадающую с волею всего народа. Еще труднее найти другой пример в истории, где бы цель, которую поставило себе историческое лицо, была бы так совершенно достигнута, как та цель, к достижению которой была направлена вся деятельность Кутузова в 1812 году.
Кутузов никогда не говорил о сорока веках, которые смотрят с пирамид, о жертвах, которые он приносит отечеству, о том, что он намерен совершить или совершил: он вообще ничего не говорил о себе, не играл никакой роли, казался всегда самым простым и обыкновенным человеком и говорил самые простые и обыкновенные вещи. Он писал письма своим дочерям и m me Stael, читал романы, любил общество красивых женщин, шутил с генералами, офицерами и солдатами и никогда не противоречил тем людям, которые хотели ему что нибудь доказывать. Когда граф Растопчин на Яузском мосту подскакал к Кутузову с личными упреками о том, кто виноват в погибели Москвы, и сказал: «Как же вы обещали не оставлять Москвы, не дав сраженья?» – Кутузов отвечал: «Я и не оставлю Москвы без сражения», несмотря на то, что Москва была уже оставлена. Когда приехавший к нему от государя Аракчеев сказал, что надо бы Ермолова назначить начальником артиллерии, Кутузов отвечал: «Да, я и сам только что говорил это», – хотя он за минуту говорил совсем другое. Какое дело было ему, одному понимавшему тогда весь громадный смысл события, среди бестолковой толпы, окружавшей его, какое ему дело было до того, к себе или к нему отнесет граф Растопчин бедствие столицы? Еще менее могло занимать его то, кого назначат начальником артиллерии.
Не только в этих случаях, но беспрестанно этот старый человек дошедший опытом жизни до убеждения в том, что мысли и слова, служащие им выражением, не суть двигатели людей, говорил слова совершенно бессмысленные – первые, которые ему приходили в голову.
Но этот самый человек, так пренебрегавший своими словами, ни разу во всю свою деятельность не сказал ни одного слова, которое было бы не согласно с той единственной целью, к достижению которой он шел во время всей войны. Очевидно, невольно, с тяжелой уверенностью, что не поймут его, он неоднократно в самых разнообразных обстоятельствах высказывал свою мысль. Начиная от Бородинского сражения, с которого начался его разлад с окружающими, он один говорил, что Бородинское сражение есть победа, и повторял это и изустно, и в рапортах, и донесениях до самой своей смерти. Он один сказал, что потеря Москвы не есть потеря России. Он в ответ Лористону на предложение о мире отвечал, что мира не может быть, потому что такова воля народа; он один во время отступления французов говорил, что все наши маневры не нужны, что все сделается само собой лучше, чем мы того желаем, что неприятелю надо дать золотой мост, что ни Тарутинское, ни Вяземское, ни Красненское сражения не нужны, что с чем нибудь надо прийти на границу, что за десять французов он не отдаст одного русского.