Элементарные функции

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

• алгебраические:
  • степенная функция с любым действительным показателем;
• трансцендентные:
  • показательная и логарифмическая функции;
  • тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции по Лиувиллю

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция <math>y(x)</math> переменной <math>x</math> — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция <math>y(x)=\phi(x,z_1,...,z_r),</math> причём:

• <math>z_1</math> является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции <math>g_1(x),</math>
• <math>z_2</math> является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции <math>g_2(x,z_1),</math>

...

• <math>z_r</math> является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции <math>g_r(x,z_1,...,z_{r-1}).</math>

Например, <math>y(x)=\sin(x)</math> — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции <math>e^{ix}:</math>

<math>\sin(x)=\frac{(e^{ix})^2-1}{2ie^{ix}}.</math>

Вообще, с помощью указанного тождества все тригонометрические и обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы, экспоненты, арифметические действия, а также операцию взятия квадратного корня. Разумеется, при этом будет использована мнимая единица <math>i=\sqrt{-1}.</math>

Функция <math>y(x)=e^{e^x}</math> тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

<math>y(x)=\phi(x,z_1,z_2),</math> где <math>z_1=e^{x},\ z_2=e^{z_1},\ \phi(x,z_1,z_2)=z_2.</math>

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции <math>z_1, \dots, z_r</math> алгебраически независимыми. Это означает, что алгебраическое соотношение <math>\psi(x,z_1,...,z_r)=0</math> может выполняться для всех <math>x</math>, только если коэффициенты полинома <math>\psi(x,z_1,...,z_r)</math> равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций

Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

<math>y'(x)=\frac{d}{dx}\phi(x,z_1, \dots, z_r)=\frac{\partial \phi}{\partial x} +\sum \limits_{i=1}^r\frac{\partial \phi}{\partial z_i}\frac{dz_i}{dx},</math>

где <math>z_1'(z)</math> равно или <math>g_1'/g_1</math> или <math>z_1g_1'</math> в зависимости от того, логарифм ли <math>z_1</math> или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.

Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае проблема интегрирования элементарных функций решается алгоритмом Риша, основанном на теореме Лиувилля:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции <math>y=\phi(x,z_1, \dots z_r)</math> сам является элементарной функцией, то он представим в виде

<math>\int \phi(x,z_1(x), \dots, z_r(x))\,dx= \sum \limits_i A_i \ln (\psi_i(x,z_1, \dots z_r)) + \psi_0(x,z_1, \dots, z_r) + C,</math>

где <math>A_i</math> — некоторые комплексные числа, а <math>\psi_i</math> — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от <math>y</math> берётся в элементарных функциях, то верно

<math>\int \phi(x, z_1(x), \dots z_r(x))\,dx =\psi(x, z_1(x), \dots z_s(x)) + \operatorname{const} </math>

где <math>\psi</math> — алгебраическая функция, <math>z_{r+1}</math> — логарифм или экспонента алгебраической функции <math>x,z_1, \dots z_r</math> и т. д. Функции <math>z_1, \dots z_s</math> являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

<math>z_1'=\rho_1(x,z_1, \dots, z_s), \dots</math>

где <math>\rho_i</math> — алгебраические функции своих аргументов. Если <math>z_1=z_1(x,C), \dots</math> — семейство решений этой системы, то

<math>\int \phi(x, z_1(x,C), \dots)\,dx = \psi(x, z_1(x, C), \dots z_s(x, C)) +\operatorname{const}</math>

откуда

<math>\psi(x, z_1(x), \dots) = \psi(x, z_1(x, C), \dots z_s(x, C)) +f(C) </math>

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование функций вида <math>p(x)e^{q(x)}</math>

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

<math>\int p(x)e^{q(x)}\,dx,</math>

где <math>p,q</math> — полиномы, берётся в элементарных функциях, то

<math>\int p(x)e^{q(x)}\,dx= r(x) e^{q(x)}</math>,

где <math>r(x)</math> — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

<math> r'+ q'(x) r= p(x)</math>

Пример. В частности, интеграл

<math>\int e^{x^2}\,dx</math>

не берётся, поскольку подстановка

<math>r=Ax^n+\dots \quad (A\not =0)</math>

в уравнение

<math> r'+ 2x r= 1</math>

даёт <math>A=0</math>. Интеграл же

<math>\int xe^{x^2}\,dx</math>

берётся, поскольку

<math> r'+ 2x r= x</math>

имеет решение <math>r=1/2</math>. При этом, конечно,

<math>\int xe^{x^2}\,dx=\frac{e^{x^2}}{2}+ \operatorname{const}</math>

Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля

<math>\int p(x)e^{q(x)}\,dx= \psi_0(x, e^{q(x)}) + \sum A_i\ln \psi_i(x,e^{q(x)})+ \operatorname{const}</math>

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе <math>C</math> верно

<math>\int p(x)C e^{q(x)}\,dx= \psi_0(x, Ce^{q(x)}) +\sum A_i\ln \psi_i(x,Ce^{q(x)})+ f(C)</math>

Дифференцируя по <math>C</math> и полагая <math>C=1</math>, видим, что интеграл выражается алгебраически через <math>x,e^{q(x)}</math>, то есть

<math>\int p(x)e^{q(x)}\,dx= \psi(x,e^{q(x)}).</math>

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

<math>C\psi(x,e^{q(x)})= \psi(x,Ce^{q(x)}) + f(C).</math>

Дифференцируя по <math>C</math> и полагая <math>C=1</math>, имеем

<math>\psi(x,z) = z \frac{\partial \psi(x,z)}{\partial z} + B \quad (B=\operatorname{const})</math>

при <math>z=e^{q(x)}</math>, а следовательно, в силу алгебраической независимости <math>x, e^{q(x)}</math>, при всех <math>x,z</math>. Поэтому

<math>\psi(x,z)= -B + z r(x),</math>

где <math>r</math> — некоторая алгебраическая функция <math>x</math>. Таким образом,

<math>\int p(x)e^{q(x)}\,dx = r(x)e^{q(x)} + \operatorname{const},</math>

Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией <math>x</math>, то <math>r</math> — полином. Следствие доказано.

Интегрирование алгебраических функций

Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов, которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса, Пташицкого и Риша.

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple.

См. также: Список интегралов элементарных функций

Вычисление пределов

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность <math>\frac{1}{n^3 \sin n}</math>.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Хованский А. Г. [www.mccme.ru/free-books/hov-galois/hov-galois.html Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде]. Гл. 1. M, 2007
• Liouville J. [dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D267366 Mémoire sur l’intégration d’une classe de fonctions transcendantes] // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)

Отрывок, характеризующий Элементарные функции

– Ребята! наших бьют!
В это время первый кузнец поднялся с земли и, расцарапывая кровь на разбитом лице, закричал плачущим голосом:
– Караул! Убили!.. Человека убили! Братцы!..
– Ой, батюшки, убили до смерти, убили человека! – завизжала баба, вышедшая из соседних ворот. Толпа народа собралась около окровавленного кузнеца.
– Мало ты народ то грабил, рубахи снимал, – сказал чей то голос, обращаясь к целовальнику, – что ж ты человека убил? Разбойник!
Высокий малый, стоя на крыльце, мутными глазами водил то на целовальника, то на кузнецов, как бы соображая, с кем теперь следует драться.
– Душегуб! – вдруг крикнул он на целовальника. – Вяжи его, ребята!
– Как же, связал одного такого то! – крикнул целовальник, отмахнувшись от набросившихся на него людей, и, сорвав с себя шапку, он бросил ее на землю. Как будто действие это имело какое то таинственно угрожающее значение, фабричные, обступившие целовальника, остановились в нерешительности.
– Порядок то я, брат, знаю очень прекрасно. Я до частного дойду. Ты думаешь, не дойду? Разбойничать то нонче никому не велят! – прокричал целовальник, поднимая шапку.
– И пойдем, ишь ты! И пойдем… ишь ты! – повторяли друг за другом целовальник и высокий малый, и оба вместе двинулись вперед по улице. Окровавленный кузнец шел рядом с ними. Фабричные и посторонний народ с говором и криком шли за ними.
У угла Маросейки, против большого с запертыми ставнями дома, на котором была вывеска сапожного мастера, стояли с унылыми лицами человек двадцать сапожников, худых, истомленных людей в халатах и оборванных чуйках.
– Он народ разочти как следует! – говорил худой мастеровой с жидкой бородйой и нахмуренными бровями. – А что ж, он нашу кровь сосал – да и квит. Он нас водил, водил – всю неделю. А теперь довел до последнего конца, а сам уехал.
Увидав народ и окровавленного человека, говоривший мастеровой замолчал, и все сапожники с поспешным любопытством присоединились к двигавшейся толпе.
– Куда идет народ то?
– Известно куда, к начальству идет.
– Что ж, али взаправду наша не взяла сила?
– А ты думал как! Гляди ко, что народ говорит.
Слышались вопросы и ответы. Целовальник, воспользовавшись увеличением толпы, отстал от народа и вернулся к своему кабаку.
Высокий малый, не замечая исчезновения своего врага целовальника, размахивая оголенной рукой, не переставал говорить, обращая тем на себя общее внимание. На него то преимущественно жался народ, предполагая от него получить разрешение занимавших всех вопросов.
– Он покажи порядок, закон покажи, на то начальство поставлено! Так ли я говорю, православные? – говорил высокий малый, чуть заметно улыбаясь.
– Он думает, и начальства нет? Разве без начальства можно? А то грабить то мало ли их.
– Что пустое говорить! – отзывалось в толпе. – Как же, так и бросят Москву то! Тебе на смех сказали, а ты и поверил. Мало ли войсков наших идет. Так его и пустили! На то начальство. Вон послушай, что народ то бает, – говорили, указывая на высокого малого.
У стены Китай города другая небольшая кучка людей окружала человека в фризовой шинели, держащего в руках бумагу.
– Указ, указ читают! Указ читают! – послышалось в толпе, и народ хлынул к чтецу.
Человек в фризовой шинели читал афишку от 31 го августа. Когда толпа окружила его, он как бы смутился, но на требование высокого малого, протеснившегося до него, он с легким дрожанием в голосе начал читать афишку сначала.
«Я завтра рано еду к светлейшему князю, – читал он (светлеющему! – торжественно, улыбаясь ртом и хмуря брови, повторил высокий малый), – чтобы с ним переговорить, действовать и помогать войскам истреблять злодеев; станем и мы из них дух… – продолжал чтец и остановился („Видал?“ – победоносно прокричал малый. – Он тебе всю дистанцию развяжет…»)… – искоренять и этих гостей к черту отправлять; я приеду назад к обеду, и примемся за дело, сделаем, доделаем и злодеев отделаем».
Последние слова были прочтены чтецом в совершенном молчании. Высокий малый грустно опустил голову. Очевидно было, что никто не понял этих последних слов. В особенности слова: «я приеду завтра к обеду», видимо, даже огорчили и чтеца и слушателей. Понимание народа было настроено на высокий лад, а это было слишком просто и ненужно понятно; это было то самое, что каждый из них мог бы сказать и что поэтому не мог говорить указ, исходящий от высшей власти.
Все стояли в унылом молчании. Высокий малый водил губами и пошатывался.
– У него спросить бы!.. Это сам и есть?.. Как же, успросил!.. А то что ж… Он укажет… – вдруг послышалось в задних рядах толпы, и общее внимание обратилось на выезжавшие на площадь дрожки полицеймейстера, сопутствуемого двумя конными драгунами.
Полицеймейстер, ездивший в это утро по приказанию графа сжигать барки и, по случаю этого поручения, выручивший большую сумму денег, находившуюся у него в эту минуту в кармане, увидав двинувшуюся к нему толпу людей, приказал кучеру остановиться.
– Что за народ? – крикнул он на людей, разрозненно и робко приближавшихся к дрожкам. – Что за народ? Я вас спрашиваю? – повторил полицеймейстер, не получавший ответа.
– Они, ваше благородие, – сказал приказный во фризовой шинели, – они, ваше высокородие, по объявлению сиятельнейшего графа, не щадя живота, желали послужить, а не то чтобы бунт какой, как сказано от сиятельнейшего графа…
– Граф не уехал, он здесь, и об вас распоряжение будет, – сказал полицеймейстер. – Пошел! – сказал он кучеру. Толпа остановилась, скучиваясь около тех, которые слышали то, что сказало начальство, и глядя на отъезжающие дрожки.
Полицеймейстер в это время испуганно оглянулся, что то сказал кучеру, и лошади его поехали быстрее.
– Обман, ребята! Веди к самому! – крикнул голос высокого малого. – Не пущай, ребята! Пущай отчет подаст! Держи! – закричали голоса, и народ бегом бросился за дрожками.
Толпа за полицеймейстером с шумным говором направилась на Лубянку.
– Что ж, господа да купцы повыехали, а мы за то и пропадаем? Что ж, мы собаки, что ль! – слышалось чаще в толпе.


Вечером 1 го сентября, после своего свидания с Кутузовым, граф Растопчин, огорченный и оскорбленный тем, что его не пригласили на военный совет, что Кутузов не обращал никакого внимания на его предложение принять участие в защите столицы, и удивленный новым открывшимся ему в лагере взглядом, при котором вопрос о спокойствии столицы и о патриотическом ее настроении оказывался не только второстепенным, но совершенно ненужным и ничтожным, – огорченный, оскорбленный и удивленный всем этим, граф Растопчин вернулся в Москву. Поужинав, граф, не раздеваясь, прилег на канапе и в первом часу был разбужен курьером, который привез ему письмо от Кутузова. В письме говорилось, что так как войска отступают на Рязанскую дорогу за Москву, то не угодно ли графу выслать полицейских чиновников, для проведения войск через город. Известие это не было новостью для Растопчина. Не только со вчерашнего свиданья с Кутузовым на Поклонной горе, но и с самого Бородинского сражения, когда все приезжавшие в Москву генералы в один голос говорили, что нельзя дать еще сражения, и когда с разрешения графа каждую ночь уже вывозили казенное имущество и жители до половины повыехали, – граф Растопчин знал, что Москва будет оставлена; но тем не менее известие это, сообщенное в форме простой записки с приказанием от Кутузова и полученное ночью, во время первого сна, удивило и раздражило графа.
Впоследствии, объясняя свою деятельность за это время, граф Растопчин в своих записках несколько раз писал, что у него тогда было две важные цели: De maintenir la tranquillite a Moscou et d'en faire partir les habitants. [Сохранить спокойствие в Москве и выпроводить из нее жителей.] Если допустить эту двоякую цель, всякое действие Растопчина оказывается безукоризненным. Для чего не вывезена московская святыня, оружие, патроны, порох, запасы хлеба, для чего тысячи жителей обмануты тем, что Москву не сдадут, и разорены? – Для того, чтобы соблюсти спокойствие в столице, отвечает объяснение графа Растопчина. Для чего вывозились кипы ненужных бумаг из присутственных мест и шар Леппиха и другие предметы? – Для того, чтобы оставить город пустым, отвечает объяснение графа Растопчина. Стоит только допустить, что что нибудь угрожало народному спокойствию, и всякое действие становится оправданным.