Эллипс

Не следует путать с Эллипсис.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Определение

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек <math>F_1</math> и <math>F_2</math> (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

<math>|F_1M|+|F_2M|=2\cdot a, </math> причём <math> |F_1F_2|<2\cdot a.</math>

Комментарии

• Эллипс также можно определить как
  • фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость.
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Связанные определения

• Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
• Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
• Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
• Расстояния <math>r_1</math> и <math>r_2</math> от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Расстояние <math>c=\frac{|F_1 F_2|}{2}</math> называется фокальным расстоянием.
• Величина <math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math> называется эксцентриситетом.
• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
• Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле <math>r=\frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2\varphi + a^2 \sin^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2 \cos^2\varphi}}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между радиусом и большой полуосью.
• Фокальным параметром <math>p=\frac{b^2}{a}</math> называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: <math>k = \frac{b}{a}.</math> Величина, равная <math>(1-k) = \frac{a-b}{a},</math> называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением <math>k^2=1-e^2.</math>
• Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как <math>x = \pm\frac{p}{e\left(1+e\right)}</math> для фокусов <math>\left(\mp\frac{p}{1+e},\,0\right)</math> соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно <math>\frac{p}{e}.</math>

Соотношения между элементами эллипса

• <math>\boldsymbol a</math> — большая полуось;
• <math>\boldsymbol b</math> — малая полуось;
• <math>\boldsymbol c</math> — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
• <math>\boldsymbol p</math> — фокальный параметр;
• <math>\boldsymbol r_p</math> — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
• <math>\boldsymbol r_a</math> — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

<math>a^2 = b^2 + c^2</math>

<math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1).</math>.

<math>p = \frac{b^2}{a}</math>

	<math>\boldsymbol a</math>	<math>\boldsymbol b</math>	<math>\boldsymbol c</math>	<math>\boldsymbol p</math>	<math>\boldsymbol {r_p}</math>	<math>\boldsymbol {r_a}</math>
<math>\boldsymbol a</math> — большая полуось	<math>\boldsymbol a</math>	<math>a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}}</math>	<math>a = \frac{c}{e}</math>	<math>a = \frac{p}{1-e^2}</math>	<math>a = \frac{r_p}{1-e}</math>	<math>a = \frac{r_a}{1+e}</math>
<math>\boldsymbol b</math> — малая полуось	<math>b = a \sqrt{1-e^2}</math>	<math>\boldsymbol b</math>	<math>b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e}</math>	<math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}</math>	<math>b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}</math>	<math>b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}</math>
<math>\boldsymbol c</math> — фокальное расстояние	<math>c = ae</math>	<math>c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}}</math>	<math>\boldsymbol c</math>	<math>c = \frac{pe}{1-e^2}</math>	<math>c = \frac{r_pe}{1-e}</math>	<math>c = \frac{r_ae}{1+e}</math>
<math>\boldsymbol p</math> — фокальный параметр	<math>p = a(1-e^2)</math>	<math>p = b~\sqrt{1-e^2}</math>	<math>p = c~\frac{1-e^2}{e}</math>	<math>\boldsymbol p</math>	<math>p = r_p (1+e)</math>	<math>p = r_a (1-e)</math>
<math>\boldsymbol r_p</math> — перифокусное расстояние	<math>r_p = a(1-e)</math>	<math>r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}</math>	<math>r_p = c~\frac{1-e}{e}</math>	<math>r_p = \frac{p}{1+e}</math>	<math>\boldsymbol r_p</math>	<math>r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}</math>
<math>\boldsymbol r_a</math> — апофокусное расстояние	<math>r_a = a(1+e)</math>	<math>r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}</math>	<math>r_a = c~\frac{1+e}{e}</math>	<math>r_a = \frac{p}{1-e}</math>	<math>r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e}</math>	<math>\boldsymbol r_a</math>

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

<math>a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,</math>

при инвариантах <math>D > 0</math> и <math>\Delta I < 0,</math> где:

<math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix},</math>

<math>D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2,</math>

<math>I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}.</math>

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и <math style="vertical-align:-15%;">a_{33}=-1</math>):

<math>\Delta = -\frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},</math>

<math>D = \frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},</math>

<math>I = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.</math>

Соотношения  

Если переписать общее уравнение в виде

<math>A X^2 + B X Y + C Y^2 + D X + E Y + F = 0,</math>

то координаты центра эллипса:

<math>h = \frac{B E - 2 C D}{4 A C - B^2}, k = \frac{B D - 2 A E}{4 A C - B^2},</math>

угол вращения определяется из выражения

<math>tg(2 \Theta) = \frac{B}{A - C}.</math>

Направления векторов осей:

<math>\begin{pmatrix}

B & (C-A+\sqrt{(C-A)^2+B^2}) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B & (C-A-\sqrt{(C-A)^2+B^2}) \end{pmatrix}</math>

отсюда

<math>tg(\Theta) = \frac{C-A \pm \sqrt{(C-A)^2+B^2

{B}</math>

Длины полуосей определяются выражениями

<math>a=\sqrt{\frac{2 F' (\sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C)}{4 A C-B^2}}</math>

<math>b=\sqrt{\frac{2 F'}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C}}</math>

Обратное соотношение - коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса - можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку <math>(x_c, y_c)</math>:

<math>\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1</math>

<math>x'=(x-x_c) cos\Theta + (y-y_c) sin\Theta</math>

<math>y'=-(x-x_c) sin\Theta + (y-y_c) cos\Theta</math>

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:

<math>A=a^2 (sin\Theta)^2+b^2 (cos\Theta)^2</math>

<math>B=2(b^2-a^2) sin\Theta cos\Theta</math>

<math>C=a^2 (cos\Theta)^2+b^2 (sin\Theta)^2</math>

<math>D=-2 A x_c-B y_c</math>

<math>E=-B x_c-2 C y_c</math>

<math>F=A x_c^2+C y_c^2+ B x_c y_c-a^2 b^2</math>

Если ввести только угол, а центр эллипса оставить в начале координат, то

<math>D=0</math>

<math>E=0</math>

<math>F=-a^2 b^2</math>

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в Декартовой системе координат, коэффициенты <math style="vertical-align:-15%;">A, B, C, D, E, F</math> (или, что то же самое, <math style="vertical-align:-20%;">a_{11}, 2a_{12}, a_{22}, 2a_{13}, 2a_{23}, a_{33}</math>) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. приведённая выше запись и

<math>A k X^2 + B k X Y + C k Y^2 + D k X + E k Y + F k = 0</math>

где <math style="vertical-align:-25%;">k \ne 0</math>, являются эквивалентными. Нельзя ожидать, что выражение

<math>1/a^2 + 1/b^2 = A k+C k</math>

будет исполнено при любом <math style="vertical-align:+0%;">k</math>.

Соотношение между инвариантой <math style="vertical-align:+0%;">I</math> и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:

<math>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{A+C}{F \cdot (A \cdot h^2+B \cdot h \cdot k+C \cdot k^2 - 1)} = \frac{I}{F'}</math>

где <math style="vertical-align:-30%;">F' = F \cdot (A \cdot h^2+B \cdot h \cdot k+C \cdot k^2 - 1)</math>     - коэффициент <math style="vertical-align:+0%;">F</math> при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду

<math>A X^2 + B X Y + C Y^2 + F' = 0</math>

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:

<math>-\frac{\Delta}{F'^3} = \frac{D}{F'^2} = \frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2}</math>

}}

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.</math>

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Соотношения  

Для определённости положим, что <math>0 < b \leqslant a.</math> В этом случае величины <math>a</math> и <math>b</math> — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

<math>\left

{a}< 1.</math>

Координаты фокусов эллипса:

<math>\left(ae,\,0\right),\;\;\;\left(-ae,\,0\right).</math>

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

<math>x=\frac{a}{e},\;\;\;x=-\frac{a}{e}.</math>

Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

<math>p=\frac{b^2}{a}.</math>

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой <math>\left(x,\,y\right):</math>

<math>r_1 = a + ex,\;\;\;r_2 = a - ex.</math>

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом <math>k:</math>:

<math>y=-\frac{b^2}{a^2k}x.</math>

Уравнение касательной к эллипсу в точке <math>(x_0,y_0)</math> имеет вид <math>:</math>

<math>\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} =1.</math>

Условие касания прямой <math>y=mx+k</math> и эллипса <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> записывается в виде соотношения <math>:</math> <math>k^2=m^2a^2 + b^2</math>

Уравнение касательных, проходящих через точку <math>\left(x_1, y_1\right):</math>

<math>\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{-x_1y_1 \pm \sqrt{b^2x_1^2 + a^2y_1^2 - a^2b^2}}{a^2 - x_1^2}</math>

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент <math>k</math>:

<math>y=kx \pm \sqrt{k^2a^2 + b^2};</math>

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса где касательная имеет угол с тангенсом <math>k</math>):

<math>x=\mp\frac{ka^2}{\sqrt{k^2a^2 + b^2}}, y=\pm\frac {b^2}{\sqrt{k^2a^2 + b^2}}.</math>

Уравнение нормали в точке <math>\left(x_1, y_1\right):</math>

<math>\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}.</math>

}}

Уравнения в параметрической форме

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

<math>\begin{cases} x = a\,\cos t \\ y = b\,\sin t \end{cases}\;\;\; 0 \leqslant t \leqslant 2\pi,</math>

где <math>t</math> — параметр.

Только в случае окружности (то есть при <math>a=b</math>) параметр <math>t</math> является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах <math>\left(\rho, \varphi\right)</math> будет иметь вид

<math>\rho = \frac{p}{1 \pm e \cos \varphi},</math>

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс - в правый.

Вывод  

Пусть r₁ и r₂ — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов. Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол <math>\varphi</math> отсчитывается от направления на второй фокус. Тогда, из определения эллипса,

<math>r_1 + r_2 = 2a.</math>

Отсюда,

<math>r_2^2=\left( 2a - r_1 \right)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2.</math>

С другой стороны, из теоремы косинусов

<math>r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 - 4r_1c \cos \varphi.</math>

Исключая <math>r_2</math> из последних двух уравнений, получаем

<math>r_1 = \frac{a^2-c^2}{a-c \cos \varphi}.</math>

Учитывая, что

<math>p = a(1 - e^2),</math>

получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах <math>\left(\rho, \varphi\right)</math> будет иметь вид

<math>\rho = \frac{b}{\sqrt{1-e^2 \cos^2 \varphi}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi}}.</math>

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

<math>l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.</math>

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

<math>l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.</math>

После замены <math>b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right)</math> выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

<math>l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.</math>

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода <math>E \left(t,e \right)</math>. В частности, периметр эллипса равен:

<math>l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)</math>,

где <math>E \left(e \right)</math> — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

<math>L \approx 4\frac{\pi ab + (a-b)^2}{a+b}.</math>

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

<math>L \approx 4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)</math>, где <math>x=\frac{\ln 2}{\ln\frac{\pi}{2}}.</math>

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при <math>0,05<a/b<20</math> обеспечивает формула Рамануджана:

<math>L \approx \pi\left[ 3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] .</math>

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Точная формула для периметра

<math>L = \frac{2 \pi a N(1-e^2)}{M(\sqrt{1-e^2})},</math>

где <math>M(x)</math> — Арифметико-геометрическое среднее 1 и <math>x</math>, а <math>N(x)</math> — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и <math>x</math>, которое было введено С.Ф.Адлаем в статье 2012 года.

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

<math>S = \pi a b.</math>

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки <math>\left(x,\,y\right)</math> и <math>\left(x,\,-y\right):</math>

<math>S = \frac{\pi a b}{2} - \frac{b}{a} \left(x\,\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right).</math>

Если эллипс задан уравнением <math>A x^2+ B x y + C y^2 = 1 </math>, то площадь можно определить по формуле

<math>S = \frac{2\pi}{\sqrt{ 4 A C - B^2 }}</math>.

Построение эллипса

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

• эллипсограф;
• две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником

• Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара
• Эллипс Мандарта
• Эллипс Штейнера

Другие свойства

• Оптические
  • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
  • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
• Если <math>F_1</math> и <math>F_2</math> — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой <math>(F_1X)</math> равен углу между этой касательной и прямой <math>(F_2X)</math>.
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
• Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
• Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
• Эксцентриситет эллипса, то есть отношение <math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1),</math> характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: <math>F_1 F_2=0</math>), то эллипс вырождается в окружность.
• Экстремальные свойства
  • Если <math>F</math> выпуклая фигура и <math>T_n</math> вписанный в <math>F</math> <math>n</math>-угольник максимальной площади то

    <math>S(T_n)\ge S(F)\cdot\frac{n}{\sin(2\cdot\pi/n)}{2\cdot\pi},</math>

где <math>S(F)</math> обозначает площадь фигуры <math>F</math>.

• Более того, в равенство достигается в том и только в том случае если <math>F</math> ограничено эллипсом.

• Среди всех выпуклых замкнутых кривых ограничивающих данную площадь эллипс имеет максимальную аффинную длину.

• Если произвольный эллипс, вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение

<math>\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.</math>

• Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.

См. также

• Кривая второго порядка
• Парабола
• Каустика
• Эллипсоид
• Эллипсограф
• Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола,
• постоянного отношения — окружность Аполлония,
• постоянного произведения — овал Кассини.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.
• Селиванов Д. Ф.,. Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

• А. В. Акопян, А. А. Заславский. [math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка,] — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• И. Бронштейн. [kvant.mccme.ru/1970/09/ellips.htm Эллипс] // Квант, № 9, 1970.
• А. И. Маркушевич. [ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые] // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.
• [www.ebyte.it/library/docs/math05a/EllipsePerimeterApprox05.html S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae]
• Grard P. Michon. [www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma06077/arquivos/ellipse.pdf Perimeter of an Ellipse (Final Answers)], 2000—2005. — 20 c.
• [www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI Видео: Как нарисовать эллипс]