Эллиптический интеграл

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция <math>f</math> над полем действительных чисел или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

<math> f(x) = \int \limits_{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt</math>,

где <math>R</math> — рациональная функция двух аргументов, и <math>P</math> — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени и не имеющего кратных корней, <math>c</math> — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда <math>P</math> имеет кратные корни или когда многочлены в <math>R(x,\;y)</math> не содержит нечетных степеней <math>y</math>.

Однако, для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

История

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

• <math>\alpha</math> — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой <math>o\!\varepsilon</math>);
• <math>k=\sin \alpha</math> — модуль эллиптического интеграла;
• <math>m=k^2=\sin^2 \alpha</math> — параметр;

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

• <math>x=\sin \varphi= \operatorname{\mathrm{sn}}\,u</math>, где <math>\operatorname{\mathrm{sn}}</math> — эллиптическая функция Якоби;
• <math>\varphi = \arcsin x = \operatorname{\mathrm{am}}\,u</math> — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что <math>u</math> зависит также и от <math>m</math>. Несколько дополнительных уравнений связывают <math>u</math> с другими параметрами:

<math>\cos \varphi = \operatorname{\mathrm{cn}}\,u</math>

и

<math>\sqrt{1-m\sin^2 \varphi} = \operatorname{\mathrm{dn}}\,u.</math>

Последее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

<math>\Delta(\varphi)=\operatorname{\mathrm{dn}}\,u</math>.

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительнй модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

• <math>m_1\,=\,1 - m</math> — дополнительный параметр;
• <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math> — дополнительный модуль;
• <math>{k'}^2=m_1</math> — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода <math>F</math> определяется как

<math> F(\varphi,\; k ) =

\int\limits_0^\varphi\!\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}</math>,

или, в форме Якоби,

<math> F(x,\;k) = \int\limits_{0}^{x}\!\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2 z^2)} }</math>.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

<math> F(\sin\varphi,\;\sin \alpha) = F(\varphi\mid\sin^2 \alpha) = F(\varphi\setminus \alpha )</math>.

Частные случаи

<math>F(\varphi \setminus 0) = \varphi</math>;

<math>F(i\varphi \setminus 0) = i\varphi</math>;

<math>F(\varphi \setminus 90^{\circ}) = \ln\left(\operatorname{sec}\,\varphi +\operatorname{tg}\,\varphi\right) = \ln\operatorname{tg}\,\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)</math>;

<math>F(i\varphi \setminus 90^{\circ}) = i\,\operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{sh}\,\varphi\right)</math>;

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

<math> E(\varphi,\; k) = \int\limits_0^\varphi\!\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}\,d\theta</math>

или, используя подстановку <math>x=\sin\varphi</math>,

<math> E(x,\;k) = \int \limits_{0}^{x}\!\frac{\sqrt{1 - k^2 z^2}}{\sqrt{1 - z^2}}\,dz.</math>

Частные случаи

<math>E(\varphi \setminus 0) = \varphi</math>;

<math>E(i\varphi \setminus 0) = i\varphi</math>;

<math>E(\varphi \setminus 90^{\circ}) = \sin\varphi</math>;

<math>E(i\varphi \setminus 90^{\circ}) = i\,\operatorname{sh}\,\varphi</math>;

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода <math>\Pi</math> определяется как

<math> \Pi(c;\; \varphi,\; k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}</math>

или

<math> \Pi(c;\; x,\; k) = \int \limits_{0}^{x}\!\frac{dx}{(1+cx^2)\sqrt{(1-k^2 x^2)(1-x^2)}}</math>

Число <math>c</math> называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла <math>\Pi(1;\; \pi/2 \mid m)</math> стремится к бесконечности для любых <math>m</math>.

Гиперболический случай

(0 < c < m)

Введем дополнительные обозначения:

<math>\varepsilon = \operatorname{arcsin}\,\sqrt{\frac{n}{\sin^2\alpha}}, \qquad 0\leqslant\varepsilon\leqslant\frac{\pi}{2}</math>;

<math>\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}</math>;

<math>q=q(\alpha)</math>;

<math>\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}</math>;

<math>\delta_1 = \sqrt{\frac{c}{(1-c)(\sin^2\alpha - c)}}</math>;

<math>K(\alpha)</math> — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции:

<math>\Pi(c;\; \varphi\setminus\alpha) = \delta_1\left[-\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} + \nu\,\frac{\vartheta_1'(\beta)}{\vartheta_1(\beta)}\right]</math>,

где

<math>\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}</math>

и

<math>\frac{\vartheta_1'(\beta)}{\vartheta_1(\beta)} = \operatorname{ctg}\,\beta + 4\sum_{s=1}^{\infty} \frac{q^{2s}}{1 - 2q^{2s}\cos{2\beta} + q^{4s}}\sin{2\beta}</math>

(c > 1)

С помощью подстановки <math>C = \frac{\sin^2\alpha}{c}</math> этот случай сводится к предыдущему, так как <math> 0 < C < \sin^2\alpha</math>.

Введем дополнительно величину

<math>p_1 = \sqrt{(c-1)\left(1 - \frac{\sin^2\alpha}{c}\right)}</math>.

Тогда:

<math>\Pi(c;\; \varphi\setminus\alpha) = - \Pi(C;\; \varphi\setminus\alpha) + F(\varphi \setminus \alpha) + \frac{1}{2p_1}\ln\left[\frac{\Delta(\varphi) + p_1\operatorname{tg}\,\varphi}{\Delta(\varphi) - p_1\operatorname{tg}\,\varphi}\right]</math>

Круговой случай

(m < c < 1)

Введем дополнительные обозначения:

<math>\varepsilon = \operatorname{arcsin}\,\sqrt{\frac{1-n}{\cos^2\alpha}}, \qquad 0\leqslant\varepsilon\leqslant\frac{\pi}{2}</math>;

<math>\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ}-\alpha)}{2\,K(\alpha)}</math>;

<math>q=q(\alpha)</math>;

<math>\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}</math>;

<math>\delta_2 = \sqrt{\frac{c}{(1-c)(c - \sin^2\alpha)}}</math>

Тогда эллиптический интеграл равен:

<math>\Pi(c;\; \varphi\setminus\alpha) = \delta_2(\lambda - 4\mu\nu)</math>,

где

<math>\lambda = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{th}\,\beta\,\operatorname{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{(-1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\operatorname{sh}\,{2s\beta}</math>

и

<math>\mu = \dfrac{\sum\limits_{s=1}^{\infty} sq^{s^2}\,\operatorname{sh}\,{2s\beta}}{1+\sum\limits_{s=1}^{\infty} q^{s^2}\,\operatorname{ch}\,{2s\beta}}</math>

(c < 0)

С помощью подстановки <math>C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}</math> этот случай сводится к предыдущему, так как <math> \sin^2\alpha\ < C < 1</math>.

Введем дополнительно величину

<math>p_2 = \sqrt{\frac{-c\,(\sin^2\alpha-c)}{1-c}}</math>.

Тогда:

<math>\sqrt{(1-c)\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{c}\right)}\,\Pi(c;\; \varphi \setminus \alpha) = \sqrt{(1-C)\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{C}\right)}\,\Pi(C;\; \varphi \setminus \alpha)\, +\, \frac{\sin^2\alpha\,F(\varphi \setminus \alpha)}{p_2}\, +\, \operatorname{arctg}\,\left[\frac{p_2}{2}\frac{\sin{2\varphi}}{\Delta(\varphi)}\right]</math>

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда <math>\varphi</math> нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна <math>\pi/2</math>, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

<math>K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = F(\pi/2,\; k)</math>

или

<math>K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2)}}.</math>

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

<math>K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 k^{2n}</math>,

что эквивалентно выражению

<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \ldots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \ldots \right\}</math>,

где <math>n!!</math> обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

<math>K(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left(\frac{1}{2},\; \frac{1}{2};\; 1;\; k^2\right).</math>

Частные случаи

<math>K(0) = \frac{\pi}{2}</math>

<math>K(1) = \infty</math>

<math>K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^2}{4 \sqrt{\pi}}</math>

<math>K\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2^{-\frac{7}{3}} 3^{\frac{1}{4}} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\pi}</math>

<math>K\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2^{-\frac{7}{3}} 3^{\frac{3}{4}} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\pi}</math>

<math>\operatorname{sn}\,K = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1</math>

<math>\operatorname{cn}\,K = \cos{\frac{\pi}{2}} = 0</math>

<math>\operatorname{dn}\,K = \sqrt{1-k^2} = k'</math>

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда <math>\varphi</math> нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна <math>\pi/2</math>, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

<math>E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = E(\pi/2,\; k)</math>

или

<math> E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.</math>

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

<math>E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}</math>

что эквивалентно выражению

<math>E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \ldots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \ldots \right\}.</math>

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

<math>E(k) = \frac{\pi}{2} \,2F_1 \left(\frac{1}{2},\; -\frac{1}{2};\; 1;\; k^2\right).</math>

Частные случаи

<math>E\left(0\right) = \frac{\pi}{2}</math>

<math>E\left(1\right) = 1</math>

<math>E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}+\frac{\Gamma\left(\frac{1} {4}\right)^2}{8 \sqrt \pi}</math>

<math>E\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = 2^{\frac{1}{3}} 3^{-\frac{3}{4}} \pi^2 \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} + 2^{-\frac {10}{3}} 3^{-\frac {1}{4}} \frac{\sqrt{3} + 1}{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3</math>

<math>E\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac{1}{4}} \pi^2 \Gamma\left(\frac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10}{3}} 3^{\frac{1}{4}} \frac{\sqrt{3} - 1}{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3</math>

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и второго рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

<math> \Pi(c;\; \pi/2,\; k) = \Pi(c,\; k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}</math>

или

<math> \Pi(c,\; 1,\; k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{(1+cx^2)\sqrt{(1-k^2 x^2)(1-x^2)}}</math>

Гиперболический случай

(0 < c < m)

<math>\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)</math>,

где <math>\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)</math> — дзета-функция Якоби

(c > 1)

<math>\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) - \Pi(C \setminus \alpha)</math>,

Круговой случай

(m < c < 1)

<math>\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \frac{1}{2}\pi\delta_2\left[1-\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)\right]</math>,

где <math>\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)</math> — лямбда-функция Хеймана

(c < 0)

<math>\Pi(c \setminus \alpha) = -\frac{c\cos^2\alpha\, \Pi(C \setminus \alpha)}{(1-c)(\sin^2\alpha-n)} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha - c}K(\alpha)</math>,

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

<math>Z(\varphi\setminus\alpha) = E(\varphi\setminus\alpha) - \frac{E(\alpha)F(\varphi\setminus\alpha)}{K(\alpha)}</math>;

Лямбда-функция Хеймана

<math>\Lambda_0(\varphi\setminus\alpha) = \frac{F(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)}{K'(\alpha)}+\frac{2}{\pi}K(\alpha)\,Z(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)</math>

или

<math>\Lambda_0(\varphi\setminus\alpha) = \frac{2}{\pi}\left\{K(\alpha)\,E(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)-\left[K(\alpha) - E(\alpha)\right]\,F(\varphi\setminus 90^{\circ} - \alpha)\right\}</math>

См. также

• Эллиптические функции
• Эллиптическая кривая
• Специальные функции
• Аппроксимации эллиптических интегралов

Литература

• Бобылёв Д. К.,. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
• Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптический функций. (гл. 3, 7).
• [elliptic.googlecode.com/ Эллиптические функции], Процедуры для Matlab